Методика исследования точности формул для вычисления прямоугольных координат проекции Гаусса - Крюгера по геодезическим координатам

В практике геодезических работ возникает необходимость в применении проекции Гаусса – Крюгера для увеличенных по долготе меридианных зон. Решение проблемы выполняется преимущественно путем сохранения дополнительных членов в рядах для определяемых величин. Так, для вычисления плоских прямоугольных координат х и y по заданной геодезической широте B и разности долгот          применяются разложения [1, с. 117]:

(2) где X – длина дуги меридиана от экватора до параллели с широтой B;

Lo – долгота осевого меридиана.

Равенства (1) и (2) представляют степенные ряды, коэффициенты в которых являются функциями широты B. Принимая разность долгот от осевого меридиана за малую величину первого порядка, в работах [1; 2] сохранены величины по восьмой порядок включительно, а в [3; 4] – по десятый порядок. Однако относительно области их применения с миллиметровой погрешностью в [3; 4] приводятся противоречивые сведения: от до .

Для оценки погрешностей таких формул наиболее целесообразно использовать принцип остаточных членов. Основная сложность для проведения таких исследований заключается в отсутствии точных выражений общих членов. В связи с этим невозможно решить вопросы об области и скорости сходимости этих рядов, о соответствии отрезков рядов определяемых величинам, точности полученных результатов.

Не случайно, что такому анализу уделяется очень мало внимания, а заключение по точности формул даются на основе результатов решения отдельных примеров. Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой Тейлора [5]. Однако в этом случае по неизвестным координатам промежуточной точки остаточного члена в форме Лагранжа результаты получаются с завышенной погрешностью. Более достоверные результаты определяются при малых значениях , когда абсолютная величина каждого последующего члена ряда меньше предыдущего не менее чем в десять раз. Такой ряд условно можно считать сходящимся, а остаток частичной суммы находить по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как знаменатель прогрессии        , эта сумма приближенно будет равна величине первого отбрасываемого члена ряда.

Сложность реализации метода заключается в чрезвычайной громоздкости выражений коэффициентов в рядах (1) и (2) с увеличением их порядкового номера. По своей структуре эти коэффициенты являются многочленами, представленными по степеням малой величины , содержащей эсцентриситет . В связи с этим имеется возможность построить остаточный член с помощью величин одного порядка малости, используя закономерности между и .

На эллипсоиде Красовского второй эксцентриситет равен                      Этой величине можно поставить в соответствие разность долгот не только при        , но и до

Поэтому и           можно принять за малые величины первого

порядка малости. Тогда величинами десятого порядка малости будут:

С сохранением этих величин коэффициенты в формуле (1) имеют вид [3] ;

;

_ = _ ■ _:       5     5 - ₇- - : - - _ - ;

/т = — ' 7 ::zz5 • 2; - Е^: -    - 272 : - 5: ::: : -       : - 2= -7 - _ . ■ а3 = —'—Nt cos8 5 ■ (1385 - 3111t2 + 543t4 -16 + 10899т?2 - 32802t2T?2 + 9219t4T?2 +

) 40320

/   = —5 . EEE: 2 - 2272’7-7 _  - .                             ,      (3)

где .V = ——- - радиус кривизны первого вертикала; : = :; 5.

При построении рабочих формул [4] членом -"- _; "" в (1) пренебрегают даже при разности долгот . Оценим величину, вносимую этим членом в значении x. Для этого необхо- димо исследовать на наибольшее и наименьшее значения [5] функцию

⁼ »10^° ^ ~“—“(^пі£ +n₃t³ +и₅(⁵ + n₇t⁷ + n₉t⁹)Z¹⁰ 1U 362SS00 ^{v 1      3        5}        '        ’

в области изменения аргумента 2' <5 < 22', где - :: 2-2 2 222::; :_ = 5 2 5 2 2; :: = 22 7 2 77; 7г = 2222 7 7 ■■_=_?;.-- ■;. = 2 Такие значения функция x ю может принимать в конечных точках отрезка или критических точках, принадлежащих этой области. Но, как следует из (4), . Следовательно, такие значения она будет принимать только в точках, в которых значения производственной функции равны нулю.

Выполним эти преобразования для обобщенной функции широты r(B) = cos^kS (n^ + n₃t³ + n_st⁵ + n₇t⁷ + n₃t^sy

Дифференцируя (5) по переменной B и учитывая производные (cos^ks)_B' = —ktcos^kB; (t^'g = ті^-Чі + t²), из условия 5 =2 получаем уравнение для определения критических точек (9 - k)ngt^1Q + ((7 - fc)n₇ + 9n₉)t⁸ + ((5 - k)n_s + 7n₇)t⁶ + ((3 - /с)п₃ + 5n_s)t⁴ + ((1 - k)n_t + 3n₃)t² + ^ = О

Подставляя в (7) < = 2 2 и значение '' = из (4), получим

-t10 + 14757t3 - 540242t6 + 1949762t4 - 1073517f2 + 50521 = 0

Решая это уравнение численным методом [5], находим корни:

5 =25 5 =5:  5: = 2 2' . Вычисляем значение функции (4) в этих точках:

х₁₀(13’) = 125001¹⁰м; х₁₀(38’) = 4920Z¹⁰m. х₁₀(61’) = 640/¹⁰м.

Отсюда следует, что наибольшее значение * =_;. принимает на широте 5 = 2 5, что при . = 2 составит л _- = 2 2 22 мм и т_. = 2 2 2 мм лр:: . = 2 .

Таким образом, если в (1) пренебречь членами, начиная с - .о "о то координатаx будет определяться с точностью сотых долей миллиметра при 12-градусных зонах и с миллиметровой точностью при . = 2 .

При выводе формулы для x [4] в коэффициенте - - были отброшены величины с " , что образовало погрешность лу--: 7          --:5. . . 3333?_ :3С3^ - 3 3 7 3 ?:у^.              (8)

Как и в случае (4), эта функция v, = 2 при 5 = 2' и 5 = 22 . Критические точки функ ции (8) находим из решения уравнения (7)

при -. = 2 ■:_ = 55 5 5 ::=-1С25- 17 = 5275 :- = ':l=2.

В результате получаем 5 =2- Ъ- = - V 5_: = 2₃' .

Наибольшее значение v; = 275 2.5: функция принимает на широте 5 =2-'. В этом случае при                    , а при                   . Следовательно, при двенадцати градусных зонах абсцисса x будет определяться с точностью десятых долей миллиметра, а при удалении от осевого меридиана на . = 2: - с миллиметровой погрешностью.

Если в .; т сохранить слагаемые с " , величина vE: /5 j составит [3]

, , наибольшее значение которой                 достигается на широте . В связи с этим точность формулы x повышается, так как при      x(η4) = 0,00049 мм, а при x8(η4) = 0,012 мм.

Оценим теперь степень влияния на величину x слагаемых с η ⁴ в коэффициенте a 6

. D X Г Л

По той же методике определяем критические точки функции;

. На широте            наибольшее значение               , что при составляет                  а при.

Итак, по результатам выполненных исследований получаем: если в (1) отбросить , а в коэффициентах и пренебречь соответственно слагаемыми с        , то абсцисса x при будет определяться с погрешностью             а при c

С этой же точностью вычисляются значения x по формуле, рекомендованной в Гос- стандарте РФ [6].

Точность формулы для x повысится, если в (1) пренебречь , а остальные коэффициенты вычислять по выражениям (3). При этих условиях погрешность              при и             при .

Выполним теперь анализ разложения (2), сохранив в нем величины по девятый порядок [3]:

«э

= N cos В ;

= -^cos3B ■ (1-t2 +т72)

=---N cos⁵ В -(5 -18Г 120

Если в равенстве (2) отбросить член , а остальные коэффициенты вычислять по выражениям (9), получим формулу, на основе которой построен алгоритм в [6].

Погрешность этой формулы оценивается не только членом , но и отброшенными величинами с         в членах соответственно [3], т.е.

.

а1

+ Г + 14n4 - 58t2n2 + 13я4 - 62Гп4 + - );

N cos⁷ В • (61 - 479t² + 179t⁴ -

t⁶ + 331J7² - 3298tV + 1771tV + ■■■ );

N cos’ В • (1385 - 19028Г + 18270Г - где

/ vу 5040

.

Для исследования на экстремум образуем обобщенную функцию

.

Дифференцируя ее по переменной В и приравняв нулю, получаем уравнение для вы- числения стационарных точек

(8 - k)n_gt⁸ + ((6 - k)n₆ + 8n_g)t⁶ + ((4 - k)n₄ + 6n₆)t⁴ + ((2 - fc)^ + 4n₄)t² +

Установим наибольшую величину, которую может принимать член         на отрезке        .

Для определения критических точек функции         в уравнении (10) полагаем

В результате решения получаем                    . Вычисляем значения функции в этих точках в конечных точках                               От сюда следует, что наибольшее значение принимает на широте , что при составляет             , а при                  Аналогично исследуем              Для этого решаем уравнение (10) при

Корнями этого уравнения являются широты S₁ = 28 , S₂⁼ 55 , в которых y₇(28⁼) = 18 • Гм.; y₇(553 = 1,1 • Гм. Однако наибольшее значение получается при В = O’; у₇(о’)=41-Гм, что при i = 6 составляет y₇(0’) = 0,0057мм, а при ; = 9’ y₇(0⁼) ⁼ 0,097мм.

Точно также для функции Уб = ®st?№ получаем, что ее наибольшее значение при В = О равно У₅(°") = 0,0б5Гм. , при I — 6 образует у₅ = 0,00082мм., а при г = 9, у₅ = 0,0062мм. В критической точке В = 33^е у₅(33°) = 0,014Гм.

Итак общая погрешность Ду при разности долгот ! = 6 составляет Ду = 0,043мм,, т.е. ордината у определяется с точностью десятых долей миллиметра. При разности долгот ; = 9⁼Ду = 1,5мм.,, поэтому у будет установлена не с миллиметровой точностью, а с миллиметровой погрешностью.

На основании изложенного видим, что задача исследования точности формул приводит к громоздким и сложным преобразованиям. Во многих случаях гораздо проще вывести формулу, чем оценить ее точность. Кроме того, приведенные формулы из (1) и (2) не являются оптимальными и представляют громоздкие выражения для вычислений и исследований. В еще более сложном виде они приведены с Госстандарте РФ [6] и требуют дальнейших упрощений без понижения точности результатов.