Методика определения мест установки балансировочных грузов внутри отсеков космических аппаратов

При разработке конструкторской документации (КД) на космические аппараты (КА) на стадии эскизного или технического проекта определяются массо-центровочные и инерционные требования к изделию и допускаемые отклонения от них. Выполнение этих требований в идеальном случае должно обеспечиваться рациональной компоновкой отсеков КА. На практике многочисленные погрешности (конструкторские, вычислительные, производственные, метрологические и т. д.) приводят к возникновению недопустимых отклонений массоцентровочных и инерционных характеристик (МЦИХ) изделия [1; 2]. Для их устранения осуществляют частичную или полную перекомпоновку отсеков, а когда это невозможно по технико-экономическим соображениям, то применяют балансировочные грузы (БГ).

Для взвешивания и балансировки изделий и их составных частей используются различные балансировочные стенды [2–11]. При испытаниях КА с них получают данные о действительных значениях массы, центра масс (ЦМ) и моментов инерции. Если обнаруживаются недопустимые отклонения МЦИХ, то корректируют компоновку или схему размещения БГ по извещениям об изменении.

Возможны случаи, когда проектной КД установка БГ не предусмотрена. На стадии рабочей КД при её разработке или при испытаниях опытного образца может быть выявлена необходимость установки БГ. Тогда в комплект рабочей КД вводится новая конструктивная группа, а технически приходится определять количество БГ и искать места для их установки на КА. Задача размещения БГ в таких условиях повышает трудоёмкость разработки КД. Эвристическое решение данной задачи не гарантирует использование минимального количества (массы) БГ.

Цель работы – разработать и отработать методику определения мест установки БГ внутри отсеков КА. Задачами работы являются разработка расчётных математических моделей, определение источников и способов обработки исходных данных, разработка алгоритма для программного комплекса, который будет создаваться в дальнейшем, тестирование (отработка) методики на примере отсека КА.

Актуальность темы работы, помимо снижения трудоёмкости разработки КД и минимизации массы БГ, определяется тем, что балансировка КА с использованием добавочных БГ будет осуществляться как на текущих, так и на вновь разрабатываемых изделиях, поэтому надёжный математический аппарат и расчётный программный комплекс для решения задачи определения мест установки БГ будут востребованы достаточно долго.

В данной работе рассматривается статическая балансировка КА. По вопросам динамической балансировки КА рекомендуется обратиться к работам [2; 3; 5; 7–11]. Несмотря на то, что определение действительных значений МЦИХ изделий с помощью методов динамической балансировки может быть более точным, как отмечается в работе [11], для крупногабаритных и негабаритных изделий, где зоны размещения БГ могут покрывать большие площади, и поэтому могут применяться сотни небольших БГ различной конфигурации, методы статической балансировки представляются более рациональными с точки зрения испытательной базы. Данное положение не исключает того факта, что динамическую балансировку изделия также необходимо проводить наравне со статической балансировкой, чтобы не только обеспечить требуемое положение ЦМ, но и требуемые значения моментов инерции.

В данной статье представлены математические модели для расчёта ЦМ и массы установки БГ, определения конфигурации зоны размещения БГ, расчёта массы БГ по отдельности, представлена блок-схема алгоритма действий по предлагаемой методике, приведён перечень необходимых исходных данных с указанием их возможных источников, представлены результаты отработки данной методики.

Центр масс установки балансировочных грузов

В первую очередь необходимо определить координаты ЦМ установки БГ в предположении, что потребуется лишь один БГ. Эта точка образуется при пересечении центровочной прямой с поверхностью размещения БГ. Центровочная прямая – прямая, которая проходит через заданный ЦМ КА и текущий ЦМ КА без БГ. Поверхность размещения БГ – теоретическая поверхность, на которой размещается среднее медианное количество ЦМ БГ. Она отстоит от поверхности обечайки корпуса отсека КА на расстоянии, равном половине толщины h _БГср основных БГ из номенклатуры в виде плиток с равной длиной и шириной l _БГср . В общем случае поверхность не является гладкой. Расчётная схема представлена на рис. 1.

Рис. 1. Расчётная схема для определения ЦМ установки БГ

Fig. 1. Computational model for balancing weights (BW) center of gravity (COG) determination

Каноническое уравнение центровочной прямой имеет вид xБГ  xC = yБГ  yC = zБГ  zC ^ xБГ  xC = yБГ  yC = zБГ  zC

xо - xC   У о - yC   z 0 - zC      A rx       A ry       A rz где r0 = (x0 y0 z0)T - вектор координат заданного положения ЦМ КА; rC = (xC yC zC )T

вектор координат текущего положения ЦМ КА без БГ; г _БГ = ( x _БГ у _БГ z _БГ ) T - вектор координат ЦМ установки БГ; A r = ( A r x A r_y A r_z ) = r ₀ - r_C - вектор отклонений координат ЦМ КА без БГ от заданного положения.

Геометрически корпус отсека КА может представлять собой гиперповерхность – комбинацию из нескольких сегментов различных элементарных поверхностей. Формы таких сегментов поверхности корпуса КА для проектных задач достаточно описать поверхностями не выше второго порядка [12; 13]. В общем виде уравнение поверхности имеет вид

U T AU + 2 bU + a 44 = 0,

где U = ( u_x u_y

T uz ) - вектор координат точек на сегменте поверхности корпуса КА;

A =

' a ¹¹

a ²¹

I a 31

^a 12

a ₂₂

a ₃₂

a ¹³'

a ²³

a 33 J

– аффинор коэффициентов квадратичной части уравнения;

b = ( a ₁₄ a ₂₄ a 34 ) - вектор коэффициентов линейной части уравнения;

a jk : j , k = 1,4 - некоторые коэффициенты уравнения сегмента поверхности корпуса КА.

Коэффициенты уравнения (2) в зависимости от типа сегмента поверхности определяются согласно табл. 1 [14].

Таблица 1

Коэффициенты уравнения сегмента поверхности корпуса КА

Поверхность	a 11	a 22	a 33	a 14	a 24	a 34	a 44
Плоскость	0	0	0	nx	n y	nz	- ( n x X ОТС + n y y ОТС + n z z ОТС )
Сфера	1	1	1	- x ОТС	- y ОТС	- z ОТС	x ОТС + y ОТС + z ОТС - R OТС
Цилиндр	0	1	1	0	- У ОТС	- z ОТС	y ОТС + z ОТС - R OТС
Конус	tg2φ	1	1	- x oтc tg2ф	- У ОТС	- z ОТС	2   2   22 y ОТС + z ОТС x ОТС1д ф

В табл. 1 ( n_x n_y n_z ) - направляющие косинусы нормали к плоскости; г _отс = ( x _ОТС У _ОТС z _ОТС ) - координаты точки на плоскости, центра сферы, цилиндра, конуса; R _ОТС – радиус отсека КА; φ – угол полураствора конуса.

Координаты ЦМ установки БГ можно найти через векторное преобразование канонического уравнения центровочной прямой (1):

^Г БГ = r 0 ^{+ д} r ^{А r} БГ ^{, (3)}

где д r = ( А. х Y ) - некоторые параметры уравнения центровочной прямой в зависимости от формы сегмента поверхности корпуса КА; А г _бг = ( ^ Z ? ) T - отклонения координат ЦМ КА без БГ от заданного положения в зависимости от формы сегмента поверхности корпуса КА.

При подстановке уравнения (3) в уравнение (2) образуются квадратные уравнения относительно неизвестных параметров уравнения центровочной прямой:

42 X 2 + 2 ( Г о - > ., ) Т &  + R ² = 0 - сфера,

‘ Z 2 X 2 + 2 > 0tcZx + Р 2 = 0 — цилиндр,                                                       ⁽⁴⁾

? 2 A Y 2 ^{- 2}? ( ^Г Отс a ^- E ) Y ⁺ Q 2 = ^{0 -} конус-

В системе (4) для уравнения на сфере используются следующие свёртки:

d+ ^ у + z2 = z Т z = z²,

^{( x} о ^Х ОТС ) ^Z x ⁺⁽ У о У ОТС ) ^Z у ^{+ (} z 0 z ОТС ) ^Z z = ⁽ > 0 ^Г отс ) ^Z,

_{2                    2                   2}                        2 ₂

= R ².

^{( Х} 0 - ^Х ОТС ) ^{+ (} y 0 - y ОТС ) ^{+ (} z 0 - z ОТС ) - ( R ОТС - h БГср ) = ^{( Г}0 ^- > ОТС ) - ( R OTC - h БГср

В системе (4) для уравнения на цилиндре используются следующие свёртки:

0 + z y + Z 2 = z T z = z²,

‘ ^{0 + У} OTC ^z у ⁺ z OTC ^z z = ^r OTC ^z,                                         .

^{0 + y} OTC ⁺ z OTC ^-( R OTC - ⁰,⁵ l БГ ) = > OTC ^- ( R OTC - ⁰,⁵ l БГср ) = P ^-

В системе (4) для уравнения на конусе используются следующие свёртки:

d+d+d = ? T ? =d,

( tg²ф 1 1 ) T = A ,

? x ( ^Х OTC tg ^ф - 1 ) ⁺ ? у ^{( y} ОТС - 1 ) ⁺ ? z ⁽ z ОТС - 1 ) = ? ( > ОТС a - E ) ,

, ( ^x 0 - ^x ОТС ) ^{2 t}g²ф ⁺ ( У 0 - У ОТС ) ^{2 +} ( z 0 - ^z ОТС ) ² - ^{2 x} Oтc ^tg²Ф = ( > 0 - ^Г отс ) ² A - ^{2 r} 0tc = Q 2 .

Корни уравнений системы (4) имеют вид

X    ⁽ > 0 - >  . ) T ^Z ± D^ - сфера,

^Z 2

• - > z ±                                                                                     ,

i X =-------- цилиндр,                                                        (5)

z

? ( гОтс a - E ) ± D^Z

Y =------^конус-

В системе (5) используются следующие свёртки:

D сфер =[ ( > 0 ^- > ОТС ) Т ^Z ] ^{- Z} 2 ^{R2 -} сфера,

* ^D цил =[ > OTC ^Z ] ^{2 - Z} 2 ^{Р 2 -} цилиндр,

D кон =[ ^- ^ ( ^Г 0тС a ^- E ) ^{] -} d AQ^{2 -} конус-

В каждом случае из двух возможных решений в системе (5) выбирается одно по критерию:

г _бг ^ min.

Из известного уравнения ЦМ КА можно получить формулу для оценки общей массы БГ:

M БГ = - M КА , (7)

r0 ГБГ где MКА – масса КА без БГ.

Предложенный подход к определению координат ЦМ установки БГ по формуле (3) при значениях коэффициентов (5) по критерию (6) и общей массы БГ по формуле (7) даёт лишь приблизительный результат. Как было сказано ранее, в действительности поверхность размещения БГ не является гладкой, если используются БГ разной конфигурации. Поэтому ЦМ установки БГ будет сдвигаться по окрестности вдоль центровочной прямой от стенки корпуса отсека КА ближе к заданному ЦМ КА без БГ. Следовательно, размещение БГ необходимо моделировать, чтобы считывать с полученной электронной геометрической модели установки БГ окончательные координаты точек ЦМ БГ и затем пересчитывать МЦИХ КА. Для этого, прежде всего, следует идентифицировать свободные места в окрестности ранее найденного ЦМ установки БГ.

Идентификация конфигурации зоны размещения балансировочных грузов

Зона размещения БГ представляет собой совокупность областей пространства, свободных от конструктивных элементов отсека и других составных частей изделия. В общем случае она может быть сепарабельной и содержать разрывы.

При автоматизированном размещении БГ идентификация конфигурации зоны размещения также должна быть автоматизирована, чтобы обеспечить обработку и использование информации с модели для дальнейших действий. Во время выполнения этой процедуры определяются границы свободных областей вдоль поверхности корпуса отсека КА и с заданным шагом сохраняются координаты точек, принадлежащих этим границам.

Точки конструктивных элементов на поверхности корпуса отсека КА образуют слой. В этом слое определяются точки, принадлежащие границам зоны размещения БГ. Они соединяются прямыми линиями и тем самым формируют замкнутые области запрета. Количество таких областей равняется количеству конструктивных элементов на заданной площади окрестности ЦМ установки БГ, так как рассматриваемые точки обладают признаками принадлежности к конкретным электронным геометрическим моделям. Путём логического вычитания областей запрета из поверхности зоны размещения определяется свободное место для установки БГ. Для проверки в пространстве пересечений БГ с окружением используются встроенные процедуры систем автоматизированного проектирования.

Описанная выше последовательность действий известна как алгоритм или метод Джарвиса [15], согласно которому искомые точки определяются по критерию:

cosv i + 1 = ( xi + 1 - xi )( xi - 1 ^- xi ) + ( y i + 1 ^- y i )( y i - 1 ^- y i ) + ( z i + 1 ^- z i )( z i - 1 ^- z i ) ^ min, ⁽⁸⁾ где ( x i - 1 y i - 1 z i - 1 ) - координаты предпоследней идентифицированной точки; ( x i y i z i ) -координаты последней идентифицированной точки; ( x i _{+ 1} y i _{+ 1} z i _{+ 1} ) - координаты очередной идентифицируемой точки; v i _{+ 1} - угол между рассматриваемыми точками.

Преимущество метода Джарвиса, например перед методом Грэхема на быстрой оболочке, состоит в том, что требуется осуществлять меньше вычислений и его удобнее использовать в трёхмерном пространстве [16].

Координаты размещения балансировочных грузов

Идентифицированная зона размещения БГ разлиновывается координатной сеткой, шаг которой равен габариту l _БГср основных БГ из номенклатуры. Разметка должна осуществляться на поверхности размещения БГ.

С целью минимизации общей массы БГ путём определения мест установки БГ по координатной сетке задачу размещения БГ можно представить в виде задачи линейного программирования, где целевая функция имеет вид

^N БГ

M БГ = £ m БГ j ^ ^min,

J = 1

где j = 1, N _БГ - порядковый номер БГ; N _БГ - количество всех БГ; m _БГ j - масса БГ.

На данную целевую функцию накладываются массовые ограничения в зависимости от имеющейся номенклатуры применяемых БГ:

' m БГ j ^ 0, т бг j <  max т бг j

где max m _{БГ j} – максимальная возможная масса БГ по номенклатуре.

Также на целевую функцию (9) накладываются центровочные ограничения:

^N БГ

^M КА ( r 0 ^- min r 0 ) + £ m БГ j ( ^Г БГ j ^- min r 0 Р ⁰,

J = 1

^N БГ

M КА ( r 0 ^- max r 0 ) + £ m БГ j ( ^Г БГ j - max r 0 ) <  ⁰,

J = 1

где min r ₀, max r ₀ – векторы граничных допускаемых значений координат ЦМ КА.

Задача линейного программирования с целевой функцией вида (9) при ограничениях вида (10), (11) решается, например, симплекс-методом или многопараметрическим методом Ньютона [17]:

[ m бг j ] T _{+ 1} =[ m бг j ] T - H . ( M бг ) V I ( M бг ) , (12) где k - порядковый номер расчётной итерации; H — ( M _БГ ) - обратная матрица Гёссе целевой функции (9); V T ( M _БГ ) - оператор Набла целевой функции (9).

Полученные массы БГ из технологических соображений могут быть округлены до целочисленных значений. Номера точек размещения на сетке, в которых масса БГ отлична от нуля, используются для построения электронной геометрической модели установки БГ. Нужно учитывать, что БГ различной массы при одинаковых габаритах l _{БГ j} будут иметь разную толщину h _{БГ j} . Поэтому при возникновении геометрических пересечений с конструктивными элементами некоторые БГ потребуется смещать.

После этого координаты ЦМ установки БГ пересчитываются с учётом крепежа по формуле

£ ^т БГ j ^r j + ^т БГкреп ^Г БГкреп ^j

,

^Г БГ      V

£ ^т БГ j + ^т БГкреп

j где тБГкреп - масса креПежа; /БГкреп =(xБГкреп УБГкреп zБГкреп )^ - вектор координат ЦМ кре- пежа.

При использовании клеевого и прочих неразъёмных видов соединения расчёт по формуле (13) производится в предположении, что слой крепящего материала распределяется равномерно по поверхности стенки корпуса отсека КА. Координаты ЦМ крепежа определяются при моделировании.

Общая блок-схема алгоритма, выполняющего размещение БГ с использованием формул (1)–(13), представлена на рис. 2. Перечень необходимых исходных данных и возможные их источники представлены в табл. 2.

Рис. 2. Общая блок-схема алгоритма определения мест установки БГ

• Fig. 2.    Control flow chart for BW mounting places determination

Таблица 2

Перечень исходных данных и их источников для работы алгоритма

Модуль данных	Параметр	Источники	Варианты сбора	Способы обработки
Координаты заданного положения ЦМ КА	r 0	Пояснительная записка на КА Общие виды КА	Считывание или ввод из КД	Назначение Считывание
Координаты текущего положения ЦМ КА без БГ	r C	Расчет МЦИХ КА Модель отсека КА Баланс. стенд	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели Считывание или ввод со стенда	Считывание Вычисление
Координаты геометрического центра корпуса отсека	r ОТС	Общие виды КА Модель отсека КА	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели	Назначение Считывание
Внутренний радиус корпуса отсека КА	R ОТС	Общие виды КА Модель отсека КА	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели	Назначение Считывание
Масса КА без БГ	M КA	Пояснительная записка на КА Общие виды КА Расчет МЦИХ КА Модель отсека КА Баланс. стенд	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели Считывание или ввод со стенда	Считывание Вычисление
Средняя толщина БГ из номенклатуры	h БГср	КД на БГ Модель отсека КА	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели	Назначение Считывание
Средний габарит БГ из номенклатуры	l БГср	КД на БГ Модель отсека КА	Считывание или ввод из КД Считывание или ввод из модели	Назначение Считывание

Окончание табл. 2

Модуль данных	Параметр	Источники	Варианты сбора	Способы обработки
Массовые ограничения	max m БГ j	Пояснительная записка на КА	Считывание или ввод из КД	Назначение Считывание
Центровочные ограничения	min r 0 max r 0	Пояснительная записка на КА	Считывание или ввод из КД	Назначение Считывание

Методика реализуется по алгоритму, представленному на рис. 2, в следующем порядке действий:

• 1.    Определить (задать) тип поверхности корпуса отсека КА согласно уравнению (2).

• 2.    Рассчитать координаты ЦМ установки БГ по формулам (3)–(6).

• 3.    Рассчитать общую массу БГ по формуле (7).

• 4.    Построить границы зоны размещения БГ и зон запрета по критерию (8) методом Джарвиса.

• 5.    Построить координатную сетку на поверхности зоны размещения БГ с заданным шагом, равным среднему габариту БГ из номенклатуры.

• 6.    Записать координаты узлов сетки в качестве возможных координат размещения БГ.

• 7.    Задать во всех узлах координатной сетки максимальные массы БГ.

• 8.    Рассчитать оптимальные массы БГ в узлах координатной сетки путём решения задачи линейного программирования (9)–(11) методом Ньютона (12) или симплекс-методом.

• 9.    Рассчитать с учётом результатов оптимизации и массы крепежа координаты ЦМ установки БГ по формуле (13).

• 10.    Рассчитать МЦИХ компоновки БА.

• 11.    Проверить выполнение условий по допускаемым отклонениям ЦМ и моментов инерции.

• 12.    Если условия по п. 11 не выполняются, то повторить пп. 6–11 данного порядка действий с учётом текущих результатов оптимизации.

• 13.    Если условия по п. 11 выполняются, то учесть результат балансировки при последующих расчётах МЦИХ отсека КА.

Рис. 3. Результаты определения мест установки БГ:

1 – внутренние стенки корпуса; 2 – сечение корпуса; 3 – конструкция;

4 – БГ тип 1 (массивные); 5 – БГ тип 2; 6 – БГ тип 3; 7 – БГ тип 4

• Fig. 3.    Results of BW mounting places determination:

1 – hull surface inside; 2 – hull sectional view; 3 – construction;

4 – BW type 1 (massive); 5 – BW type 2; 6 – BW type 3; 7 – BW type 4

Результаты тестирования

Для тестирования в качестве примера рассматривался конический отсек КА со сферическим днищем. По результатам расчётов при помощи формул (2)–(6) было определено, что зона размещения БГ должна находиться в районе стыка днища и обечайки корпуса. Была идентифицирована конфигурация зоны размещения с учётом окружающих конструктивных элементов. Были определены координаты размещения БГ и подобраны их массы. 9 из 40 применённых БГ потребовалось сместить для устранения пересечений с конструкцией. После этого определение мест установки БГ было завершено, координаты ЦМ установки БГ были пересчитаны, МЦИХ КА с БГ были также пересчитаны, выполнение типовых массо-центровочных и инерционных требований было обеспечено. Для повышения технологичности сборки 24 смежных БГ были объединены в монолитные массивные БГ со сложной геометрией (топологией). Результат моделирования в облегчённом виде представлен на рис. 3.

Заключение

В результате тестирования методика определения мест установки БГ внутри отсека КА прошла отработку. Для моделирования использовались электронные габаритные модели условного отсека и его конструктивных элементов. Предположительно степень детализации моделей будет влиять на скорость работы алгоритма и качество решения. Пересечения с конструктивными элементами могут возникать, когда их подробные модели заменяются габаритными, а также если элементы окружения не принадлежат поверхности зоны размещения БГ. Также требуется смещать БГ, толщина которых не равняется среднему значению из номенклатуры.

По результатам размещения пользователь на своё усмотрение может объединять смежные БГ в более массивные БГ любой формы, чтобы снизить трудоёмкость их изготовления и установки. Эти действия могут привести к отклонениям массы БГ, поэтому после завершения всех преобразований рекомендуется осуществлять пересчёт МЦИХ КА. Если на предприятии отсутствует номенклатура унифицированных БГ, то в качестве исходных данных следует задавать наиболее подходящие габариты квадратных БГ, руководствуясь аналогами из статистики. При моделировании необходимо учитывать вариацию массы БГ, так что их модели должны быть параметризованными по толщине.

Для определения ЦМ установки БГ, идентификации конфигурации зоны размещения БГ, вычисления координат размещения БГ, проверки требований по МЦИХ КА приходится производить много математических операций. Данную методику целесообразно использовать лишь при наличии специализированного расчётного программного комплекса, включающего модули для статической и динамической балансировки.

Кроме того, нужно учитывать, что полученная по методике модель установки БГ должна быть дополнена моделями крепежа и прочих составных частей. Для выпуска КД по-прежнему потребуется проходить согласования в части конструкции окружения и прочности. Включение вспомогательных разделов в методику для автоматизации этих этапов не имеет смысла, потому что данные результаты моделирования выполняются при помощи специальных программных продуктов. Тем не менее они являются очень полезными, когда необходимо проработать и обсудить несколько вариантов размещения БГ прежде, чем начинать оформлять КД.

Таким образом, в результате проделанной работы была разработана и протестирована методика определения мест установки БГ внутри отсеков КА. С помощью предложенного алгоритма удаётся обеспечивать минимальную общую массу применяемых БГ. Моделирование показало, что для выполнения требований по МЦИХ КА в части допускаемых значений моментов инерции следует проводить динамическую балансировку. Кроме того, были выявлены некоторые замечания к частным процедурам, введённым допущениям и порядку использования данной методики. Тем не менее предлагаемый подход позволяет снижать трудоёмкость разработки КД на установку БГ за счёт ускоренной проработки различных вариантов размещения БГ, оценки возможных пересечений с конструктивными элементами отсека и прочим окружением на стадиях эскизного проекта и рабочей КД. Также не исключается возможность организации процесса передачи исходных данных от программного обеспечения балансировочного стенда.