Методика расчета прибыли изготовителя с учетом достигнутого значения коэффициента готовности в условиях контракта жизненного цикла системы ответственного назначения

Контрактация в Российской Федерации представлена ФЗ № 44 «О контрактной системе в сфере закупок работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд», ФЗ № 275 «О государственном оборонном заказе», стандартом ГОСТ Р 56136-2014 «Управление жизненным циклом продукции военного назначения».

Соглашения между изготовителем и потребителем выглядят достаточно просто: потребитель желает получить изделия определенного качества в указанные сроки за совместно установленную сторонами стоимость, а изготовитель – указанную в контракте сумму, затратив минимальные усилия. Но современные условия диктуют определенные нюансы: со стороны потребителя возникают постоянно нарастающие

EDN JJNBQK потребности, выражающиеся в научно-технических и технологических сложностях; со стороны изготовителя - усложняющиеся условия проектного, технологического и эксплуатационного обеспечения системы. Все это обуславливает появление множества технико-экономических проблем при взаимодействии изготовителя и потребителя систем ответственного назначения, выражающихся в нестыковках, односторонних толкованиях и других особенностях, свойственных цифровой экономике нашего времени [1].

Сказанное выше, как и достижение оптимальных сочетаний параметров системы эксплуатации со стоимостью проекта [2], выявляет необходимость использования моделей контрактов с риск-разделенным партнерством изготовителя и заказчика.

Важным показателем контрактации жизненного цикла (КЖЦ) является готовность технических систем. Готовность технической системы характеризует ее способность находиться в работоспособном состоянии в заданный или произвольный момент времени функционирования. Термин «готовность» регламентируется [3].

Для обеспечения требуемого уровня готовности необходима информационная поддержка жизненного цикла [4]. Одной из составляющих информационной поддержки является интегрированная логистическая поддержка

(ИЛП), охватывающая комплекс управленческих и информационных процессов и процедур, выполняемых в течение всего ЖЦ системы, направленных на сокращение затрат на послепродажное сопровождение при непременном обеспечении заданного уровня готовности [5].

При этом контрактация жизненного цикла и интегрированная логистическая поддержка неразрывно связаны друг с другом и необходимы для поддержания высокой готовности на этапе эксплуатации.

Целесообразным становится рассмотреть работу системы ответственного назначения при риск-разделенном партнерстве изготовителя и потребителя, которое способствует регулированию стоимости контракта жизненного цикла изделия в зависимости от степени ответственности каждой стороны. Данный подход позволяет рассматривать как объект отношений не само изделие, а достижение им определенного уровня тактико-технических характеристик, в том числе коэффициента готовности [1], что положительно влияет на этапы проектирования, производства и эксплуатации изделия, стимулируя изготовителя на достижение указанных в контракте целей. На рисунке 1 представлена схема для расчета коэффициента готовности на основе данных ИЛП и контракта ЖЦ.

Рисунок 1 - Обобщенная схема для обеспечения требуемого уровня готовности системы ответственного назначения

• 1.    Описание системы эксплуатации изделия

Период эксплуатации рассматриваемого изделия охарактеризуем состояниями, каждое из которых либо соответствует работоспособному, либо описывает отказ или процессы ремонта и технического обслуживания. Использование смешанной стратегии технических обслу-живаний [6] позволяет разделить последние на проводящиеся в течение простоев, а также периодические и в связи с внезапным отказом.

Система ответственного назначения состоит из множества элементов, каждый из которых подвержен различным внешним воздействиям, что делает время его работы непостоянным и, следовательно, случайным. Последействие отказов вынуждает рассматривать интенсивность отказов как непостоянную величину, что применимо и к интенсивности восстановления [7].

Для аппроксимации вероятности времени наработки, отказа или восстановления часто применяется экспоненциальный закон рас- пределения. Проблема применения такого закона при рассмотрении технической системы состоит в том, что многие его ограничения спорят с принципом работы изделия [8].

Можно выделить следующие аспекты, согласно которым применение этого распределения для системы ответственного назначения становится спорным:

• 1.    потоки отказов и восстановлений простейшие: обладают свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. В то же время неодновременность работы элементов системы, наличие последействия отказов делает интенсивность отказов системы в целом непостоянной. Время окончательного восстановления зависит от времени, уже затраченного на ремонт (восстановление), следовательно, интенсивность восстановления – случайная величина;

• 2.    показательное распределение описывает работу системы, для которой характерны отказы в самом начале эксплуатации из-за наличия скрытых дефектов;

• 3.    в период нормальной эксплуатации отказ происходит вследствие внешних воздействий (механических воздействий, перепада температур, электромагнитных помех и т.д.),

• 4.    свойство отсутствия памяти, которым обладает распределение, говорит об отсутствии старения системы и противоречит естественным физическим представлениям о ней как о техническом изделии.

новую, а значит нет необходимости в проведении плановых ремонтов. Такое условие не соответствует рассматриваемой модели ремонта и технического обслуживания;

Для аппроксимации времени работы системы взят нормальный закон распределения [9] при следующих допущениях: множество различных факторов, действующих на систему, можно считать равнозначными; отказы происходят постепенно; отказы системы возникают вследствие старения ее элементов, а не в начале эксплуатации в связи со скрытыми дефектами; время работы системы длительное. Также необходимо учесть, что закон распределения Гаусса – предельный закон, к которому приближаются другие законы распределения, следовательно, при довольно длительной эксплуатации можно рассматривать его как общий случай.

Функционирование системы ответственного назначения представлено в виде графа состояний на рисунке 2. Наличие того или иного перехода обусловлено оптимальностью работы следовательно, не удастся устранить причину системы.

отказа, если просто заменить старую деталь на

Рисунок 2 – Граф состояний сложной системы : 1 – работоспособное состояние (подготовка системы к применению по назначению, применение, дежурный режим), 2 – неидентифицированный отказ, 16 – ремонт вследствие внезапного отказа, 4 – техническое обслуживание (во время простоя),

17 5 – плановые работы для предупреждения отказов, 6 – идентифицированный отказ, 7 – задержки при ремонте и ТО

На рисунке введены следующие обозначения: f^fz^J^^t^ -плотности вероятностей распределения времени пребывания системы в состояниях: работоспособном, неидентифицированного отказа, ремонта вследствие внезапного отказа, техниче- ского обслуживания, плановых работ, идентифицированного отказа и задержек соответственно; f12(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из работоспособного состояния в неидентифицированный отказ; f14(t) — плотность вероятности распределения времени перехода из работоспособного состояния в техническое обслуживание (во время простоя); fi5(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из работоспособного состояния в плановые работы; fi6(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из работоспособного состояния в идентифицированный отказ; f23 (0 — плотность вероятности распределения времени перехода из не-идентифицированного отказа в ремонт вследствие внезапного отказа; f26(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из неидентифицированного отказа в идентифицированный отказ; f3i(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из ремонта вследствие внезапного отказа в работоспособное состояние4 f37(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из ремонта вследствие внезапного отказа в задержки при ремонте и ТО; f4i(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из технического обслуживания (во время простоя) в работоспособное состояние; f5i(t) - плотность вероятности распределения времени перехода из плановых работ для предупреждения отказов в работоспособное состояние; f57(f) - плотность вероятности распределения времени перехода из плановых работ для предупреждения отказов в задержки при ремонте и ТО; f63 (t) - плотность вероятности распределения времени перехода из идентифицированного отказа в ремонт вследствие внезапного отказа; f73(f) - плотность вероятности распределения времени перехода из задержки при ремонте и ТО в ремонт вследствие внезапного отказа соответственно.

Отметим, что суммарное время восстановления включает в себя переходы из состояний ремонта в связи с внезапным отказом и технического обслуживания во время простоя; переход из 5-го состояния в 1-е не учитывается, так как состояние 5 является плановым мероприятием, его рассмотрение исключается самим определением коэффициента готовности [3].

Наработка на отказ, как время нахождения в работоспособном состоянии, представлена как сумма наработок от начального момента

времени до первого отказа и после восстановления до очередного отказа. Из всех рассматриваемых состояний работоспособным является

только первое, так как во время технического обслуживания, ремонта, задержки или плановых работ изделие не способно выполнять требуемые функции, что характеризует перечисленные состояния как неработоспособные согласно [3]. Тогда в начальный момент времени получим:

п

^Р<(0) = 1, i=i где i - индекс, характеризующий состояние

системы;

Pi(0) = i; P2(0) = 0; p3(0) = 0;

ад) = 0; P5(0) = 0; p6(0) = 0;

Р7(0) = 0.

Не все состояния и переходы будут

учтены в полученных выражениях, однако они нужны для полного представления о работе системы и могут быть использованы при изменении условий эксплуатации.

Так с учетом совместности событий нахождения в состоянии и перехода из него в

2. Определение         коэффициента готовности

Представим коэффициент готовности в виде отношения (1):

другое время вить в виде:

восстановления можно предста-

Kr(t)

^t i

ti + tB

E^ i t i _n

2™itin + SUtea'

(1)

где    ti - суммарная наработка изделия на от каз в заданном интервале эксплуатации;

tB - суммарное время восстановления изделия за этот же период эксплуатации.

Выражение (1) представляет собой отношение двух нормально распределенных случайных величин, что в свою очередь указывает на признак распределения Коши, однако исследования, проведенные в работах [10] и [11], демонстрируют применимость и отсутствие противоречия в использовании гипотезы о нормальном законе распределения в нашем случае.

t e = J P e ⁽t)dt;

P e ⁽t) = P i ⁽t) • P ii ⁽t) = J f i ⁽t)dt • J f ii ⁽t)dt.

Время нахождения в работоспособном

состоянии:

t i = J P i (f)dt;

P i (t) = J f i (t)dt.

Плотности вероятности распределения времени подчиняются нормальному закону распределения, следовательно:

-£     -(t-MiP fi(t) = ^=e 2°2 ;

f ii ⁽ t) =

1       —Ct—M-fx)2

-= e ^2a2i ;

1      -(t-Hi)2

f 1 (t)=—=e -2 ,

где    Ц; - математическое ожидание времени пребывания в состоянии i;

• & i - среднее квадратическое отклонение времени пребывания в состоянии i;

• Ц ;1 - математическое ожидание времени перехода из состояния i в 1;

• бц - среднее квадратическое отклонение времени перехода из состояния i в 1;

• Ц 1 - математическое ожидание времени пребывания в состоянии 1;

0 1 - среднее квадратическое отклонение времени пребывания в состоянии 1.

Интегрирование экспоненты в степени, представляющей собой сложную функцию, проводилось численно - с разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена. К полученной функции времени применена аппроксимация Паде, заменившая степенной ряд на рациональную функцию в виде отношения двух полиномов [12].

Так время нахождения в работоспособном состоянии и время восстановления можно представить в виде:

-ш2

a₀ + a₁t + a₂t²                     18^ 1 е ^2ai t²

^{£ 1}     1 + b 1 t + b₂t²    36^. 1 0 2 + (4^. 1 0 2 — 3^. 2 + 3a 2 )t² — 12y. 1 a 2 t’

-

2 ^ii

^£ в

а₀ + a 1 t + a₂t² + a₃t³

4^_;1£³^ 1 е ^2a2i

. mi2

2^2

1 + b 1 t + b₂t² + b₃t³    120 2 0 2

—

9o² 1 o 2 t

Коэффициент готовности следующим образом:

(1) можно записать где A - коэффициент, характеризующий нахождение системы в работоспособном состоянии,

A

Kr(t) = A +В + С

A =

-^i2

18ц 1 е ^2а2 t²

36^ 1 0 2 + (4^ 1 0 2

—

В - коэффициент, характеризующий переход системы из 3-го в 1-е состояние,

-^312

-

hi2

в =

4y.31t3y.1e 2a2i   2а2

120 21 0 2 — 9o 2 ₁o 2 t ’

—

3ц 2 + 30 2 )t² — 12^₁0 2 t’

Тогда конечная величина прибыли в зависимости от достижения, заданного в определенный момент времени, значения коэффициента готовности:

^ПК = ^ППЛ ^{+ С}ср ' ( ^КГф^(£ОП ) ^{— К}г _пл ^(£оп⁾⁾ • Изг, где   П_к - конечная прибыль;

С - коэффициент, характеризующий переход системы из 4-го в 1-е состояние,

П пл

^П т1п — ^Ппл

- планируемая прибыль, причем <  ^П тах ^;

c =

-У41

2

4ц41£3ц1е 2a4i

-

Hi

2^2

—

9o 2 ₁o 2 t'

3. Вычисление прибыли изготовителя

Достижение указанного в контракте значения коэффициента готовности должно сопровождаться соответствующими надбавками к получаемой прибыли либо штрафами в противном случае, вследствие этого необходимо ввести параметры, характеризующие планируемое и фактическое значения коэффициента готовности в определенный момент времени, величину планируемой прибыли, средние затраты на поддержание работоспособного состояния. Так как рассчитывается прибыль изготовителя, в выражении должен присутствовать множитель, определяющий степень его ответственности.

С ср - средние затраты на эксплуатацию;

Кгф(£_оп) - стоимость достижения фактического значения коэффициента готовности в определенный момент времени t_on;

К гпл (£ оп ) - стоимость достижения планируемого значения коэффициента готовности в определенный момент времени t_on;

Изг - доля ответственности изготовителя, %.

4. Пример реализации

Чтобы проиллюстрировать поведение коэффициента готовности, зададим следующие значения наработки, математического ожидания и среднего квадратического отклонения: t = 0 ... 1000 ч, Ц 1 = 180 ч, ц₃₁ = 20 ч, ц ₄₁ = 10 ч, 0 1 = 8 ч, о₃₁ = 4 ч, о₄₁ = 1 ч.

При подстановке указанных параметров распределения получаем следующий график зависимости коэффициента готовности от времени (рис. 3):

Рисунок 3 – График зависимости коэффициента готовности от времени

Допустим, что указанное в контракте значение коэффициента готовности при наработке 100 ч: K_г пл (100) = 0,990, рассчитанное значение составило K_г (100) = 0,995, планируемое значение прибыли Π_пл = 60000, тогда конечная прибыль изготовителя при доле ответственности 60% и средних затратах на эксплуатацию 100.000:

Πк = 60000 + 100000 ∙ (0,995 - 0,990) ∙ 0,6= 60300 (усл. денежн. ед. )

Заключение

Предложенная в статье математическая модель определения коэффициента готовности в отличие от множества имеющихся не использует экспоненциального закона распределения времени наработки до отказа и восстановления и соответствующие ему стационарные значения потоков отказов и восстановлений, что предоставляет возможность более точной оценки показателей готовности и надежности.

Выведенная формула конечной прибыли изготовителя учитывает отклонение фактического значения коэффициента готовности от планируемого, установленного в контракте. Такая зависимость позволяет регулировать величину прибыли, дополнительно вводя поощрения и штрафы, стимулировать изготовителя на достижение высоких показателей готовности и надежности.