Методика решения линейных дифференциальных уравнений

Автор: Бессонный С.С.

Журнал: Форум молодых ученых @forum-nauka

Статья в выпуске: 8 (24), 2018 года.

Бесплатный доступ

Данная статья посвящена рассмотрению методики решения линейных дифференциальных уравнений. В ней рассмотрены нахождение общего решение линейного неоднородного уравнение, а также примеры решений конкретных уравнений данного типа.

Дифференциальные уравнения, линейные уравнения, метод лагранжа

Короткий адрес: https://sciup.org/140284112

IDR: 140284112

Текст научной статьи Методика решения линейных дифференциальных уравнений

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида dy + A (x) y = B (x) dx

Данное уравнение линейно относительно искомой функции у, а также относительно ее первой производной. Функции A(x) и B(x) - непрерывны в области, в которой необходимо найти решение исходного уравнения (1). В общем случае такое уравнение является линейным неоднородным уравнением. Это уравнение имеет частный случай, который получается из уравнения (1) при выполнении следующего условия:

B ( x ) ^ 0

В таком случае уравнение (1) называется линейным однородным и имеет вид:

dy + A( x ) y = 0 dx

Применим метод разделения переменных к уравнению (3) и получим:

— = - A ( x ) dx

y

В результате интегрирования общее решение уравнения (3) записывается в следующем виде

In | y | = - f A ( x ) dx + C ,

— Cfe - f A ( x ) dx

Для получения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо воспользоваться методом вариации постоянной (метод Лагранжа), который заключается в нижеследующем. Сначала найдем решение соответствующего однородного уравнения, получающегося из исходного приравниванием его правой части к нулю. Общее решение такого уравнения имеет вид (5). Затем будем считать константу С как функцию, зависящую от x, то есть C(x). При такой замене уравнений (5) запишется как y = C ( x ) e-f A(x) dx                                      (6)

Вычислим производную по х от выражения (6)

dy   dC ( x )   - A ( x ) dx                 - A ( x ) dx

— =--— e J    - C (x) A( x) eJ dx    x

Подставим получившиеся выражения (6) и (7) в исходное уравнение (1)

dC ( x ) - [ A ( x ) dx                  - [ A ( x ) dx                  - A ( x ) dx

---— e      - C ( x ) A( x ) e      + A( x ) C ( x) e      = B ( x), dx dC(x)  -JA(x)dx dx

= B ( x )

Интегрируя (8) получим

C ( x ) = J B ( x ) e J A ( x ) dx dx + C                               (9)

Подставляя значение C(x) из (9) в уравнение (6) получим общее решение неоднородного уравнения y = (J B (x) eJ A(x 1 dxdx + C) e-J A(x) dx

_y = Ce -J A x dx' + e -J Ax dx J в ( x ) e J A ( x ) dx dx

Окончательно получаем, что решение неоднородного линейного уравнения ровняется сумме общего решения однородного уравнения, первое слагаемое в уравнении (10), и частного решения неоднородного уравнения, второе слагаемое в уравнении (10). [1, с. 20]

Рассмотрим применение метода вариации постоянной на следующих примерах.

Пример №1

з dy г

x --+ x y + 1 = 0 dx

Для начала выпишем однородное уравнение, соответствующее начальному уравнению (11)

x3    + x2 y = о                                   (12)

dx

Разделяя переменные и интегрируя получившееся выражение получим общее решение однородного уравнения (12)

dy dx yx

In | y |= - ln | x | + C ln IУ1= ln ICI — ln I x I

C y = x                                (13)

Заменим константу C в последнем выражении функцией C(x)

y = Cx )

x

Подставляя выражение для y из (14) в (11) получаем

3( C'(x)x -C(x))   2 C(x)_,_._„ x          2          x         1 — 0

V      x      J       x

C ( x ) x 2 - C ( x ) x + xC ( x ) + 1 0

C '( x ) x 2 + 1 0

C '( x ) = - ^2

x

В результате интегрирования (15) по x

С ( x ) —  + C

x

Возвращаясь к исходным переменным получим общее решение неоднородного уравнения (11)

1    °

y = — + - xx

Приведем решение уравнения, которое можно свести к линейному поменяв местами искомую функцию и независимую переменную.

Пример №2

3 x + 2 y2 + y) dy = y2

Данное уравнение нелинейно относительно y и линейно относительно x

(3 x + 2 y + y ) = y(19)

dy

После преобразования получим линейное неоднородное уравнение стандартного вида dx 3x

- 2 y + 1                                   (20) dy y

Решим соответствующее уравнению (20) однородное уравнение dx 3 x dy y dx  3 x dy y dx dy

3 xy

In | x |- 3ln | y | + In | C | x - Cy3

Далее применяем метод вариации постоянной и полученное значение x подставляем в уравнение (20)

C '( x ) y 3 + 3 Cy 2 - 3Cy- = 2 y + 1

y

C (x ) y 3 = 2 y + 1                                          (22)

Проинтегрируем выражение (22)

C '( x ) = 2^

y

С ( x ) = 2y + l dy + C

y c (x) = - 2 —L+c y2

Затем подставим полученное значение C(x) в (21)

x = - 2 y 2 -y + Cy 3

2(24)

Линейный дифференциальные уравнения первого порядка имеют большое значение в физических задачах, а также являются необходимым этапом при изучении уравнений с постоянными коэффициентами.

Список литературы Методика решения линейных дифференциальных уравнений

  • Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 176 с.
Статья научная