Методика решения линейных дифференциальных уравнений
Автор: Бессонный С.С.
Журнал: Форум молодых ученых @forum-nauka
Статья в выпуске: 8 (24), 2018 года.
Бесплатный доступ
Данная статья посвящена рассмотрению методики решения линейных дифференциальных уравнений. В ней рассмотрены нахождение общего решение линейного неоднородного уравнение, а также примеры решений конкретных уравнений данного типа.
Дифференциальные уравнения, линейные уравнения, метод лагранжа
Короткий адрес: https://sciup.org/140284112
IDR: 140284112
Текст научной статьи Методика решения линейных дифференциальных уравнений
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида dy + A (x) y = B (x) dx
Данное уравнение линейно относительно искомой функции у, а также относительно ее первой производной. Функции A(x) и B(x) - непрерывны в области, в которой необходимо найти решение исходного уравнения (1). В общем случае такое уравнение является линейным неоднородным уравнением. Это уравнение имеет частный случай, который получается из уравнения (1) при выполнении следующего условия:
B ( x ) ^ 0
В таком случае уравнение (1) называется линейным однородным и имеет вид:
dy + A( x ) y = 0 dx
Применим метод разделения переменных к уравнению (3) и получим:
— = - A ( x ) dx
y
В результате интегрирования общее решение уравнения (3) записывается в следующем виде
In | y | = - f A ( x ) dx + C ,
— Cfe - f A ( x ) dx
Для получения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо воспользоваться методом вариации постоянной (метод Лагранжа), который заключается в нижеследующем. Сначала найдем решение соответствующего однородного уравнения, получающегося из исходного приравниванием его правой части к нулю. Общее решение такого уравнения имеет вид (5). Затем будем считать константу С как функцию, зависящую от x, то есть C(x). При такой замене уравнений (5) запишется как y = C ( x ) e-f A(x) dx (6)
Вычислим производную по х от выражения (6)
dy dC ( x ) - A ( x ) dx - A ( x ) dx
— =--— e J - C (x) A( x) eJ dx x
Подставим получившиеся выражения (6) и (7) в исходное уравнение (1)
dC ( x ) - [ A ( x ) dx - [ A ( x ) dx - A ( x ) dx
---— e - C ( x ) A( x ) e + A( x ) C ( x) e = B ( x), dx dC(x) -JA(x)dx dx
= B ( x )
Интегрируя (8) получим
C ( x ) = J B ( x ) e J A ( x ) dx dx + C (9)
Подставляя значение C(x) из (9) в уравнение (6) получим общее решение неоднородного уравнения y = (J B (x) eJ A(x 1 dxdx + C) e-J A(x) dx
_y = Ce -J A < x > dx' + e -J Ax > dx J в ( x ) e J A ( x ) dx dx
Окончательно получаем, что решение неоднородного линейного уравнения ровняется сумме общего решения однородного уравнения, первое слагаемое в уравнении (10), и частного решения неоднородного уравнения, второе слагаемое в уравнении (10). [1, с. 20]
Рассмотрим применение метода вариации постоянной на следующих примерах.
Пример №1
з dy г
x --+ x y + 1 = 0 dx
Для начала выпишем однородное уравнение, соответствующее начальному уравнению (11)
x3 + x2 y = о (12)
dx
Разделяя переменные и интегрируя получившееся выражение получим общее решение однородного уравнения (12)
dy dx yx
In | y |= - ln | x | + C ln IУ1= ln ICI — ln I x I
C y = x (13)
Заменим константу C в последнем выражении функцией C(x)
y = Cx )
x
Подставляя выражение для y из (14) в (11) получаем
3( C'(x)x -C(x)) 2 C(x)_,_._„ x 2 x 1 — 0
V x J x
C ‘ ( x ) x 2 - C ( x ) x + xC ( x ) + 1 — 0
C '( x ) x 2 + 1 — 0
C '( x ) = - ^2
x
В результате интегрирования (15) по x
С ( x ) — + C
x
Возвращаясь к исходным переменным получим общее решение неоднородного уравнения (11)
1 °
y = — + - xx
Приведем решение уравнения, которое можно свести к линейному поменяв местами искомую функцию и независимую переменную.
Пример №2
3 x + 2 y2 + y) dy = y2
Данное уравнение нелинейно относительно y и линейно относительно x
(3 x + 2 y + y ) = y(19)
dy
После преобразования получим линейное неоднородное уравнение стандартного вида dx 3x
- 2 y + 1 (20) dy y
Решим соответствующее уравнению (20) однородное уравнение dx 3 x dy y dx 3 x dy y dx dy
3 xy
In | x |- 3ln | y | + In | C | x - Cy3
Далее применяем метод вариации постоянной и полученное значение x подставляем в уравнение (20)
C '( x ) y 3 + 3 Cy 2 - 3Cy- = 2 y + 1
y
C ‘ (x ) y 3 = 2 y + 1 (22)
Проинтегрируем выражение (22)
C '( x ) = 2^
y
С ( x ) = 2y + l dy + C
y c (x) = - 2 —L+c y2
Затем подставим полученное значение C(x) в (21)
x = - 2 y 2 -” y + Cy 3
2(24)
Линейный дифференциальные уравнения первого порядка имеют большое значение в физических задачах, а также являются необходимым этапом при изучении уравнений с постоянными коэффициентами.
Список литературы Методика решения линейных дифференциальных уравнений
- Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 176 с.