Методология математического моделирования задачи оптимизации программы при производстве зерна на предприятиях Западной Сибири

Этапы решения задач:

• 1)    выбор проблемы решения;

• 2)    постановка проблемы и разработка экономико-математической модели (ЭММ);

• 3)    выбор метода решения;

• 4)    выполнение решения;

• 5)    анализ результата и проведение эксперимента;

• 6)    внедрение результата, полученного в результате опыта.

Задачи оптимизации:

• 1)    обеспечение балансовой увязки между знаниями по выпуску продукции разных видов и наличием производственных ресурсов (сырье, материалы, машинное время, трудовые ресурсы, энергия и т. п.);

• 2)    обеспечение максимального экономического эффекта при использовании производственных ресурсов;

• 3)    проведение эксперимента (повторы решения при измененных условиях, чтобы выработать альтернативные варианты и выбрать из них наиболее приемлемый).

Под оптимизацией программы выпуска продукции по ассортименту понимаются такие объемы выпуска различной продукции, которые обеспечивают получение максимального экономического эффекта от реализации всей продукции.

Условия задачи: на предприятии имеются свободные ресурсы: сырье, материалы, машинное время, трудовые и т. п. В условии задачи известны фонды производственных ресурсов на планируемый период, нормы их затрат на единицу (десяток, сотню или комплект) продукции, а также показатели прибыли от реализации продукции. Найти программу выпуска продукции по ассортименту, обеспечивающую максимальную суммарную прибыль от ее реализации.

Вид производственных ресурсов Фонд производственных ресурсов на планируемый период Нормы затрат производственных ресурсов на единицу продукции Р1 … Рj … Рn 1 bj r br A = [arj]Rx n R bR Критерий оптимальности с1 … сj … cn j – индекс вида продукции;

P j – виды продукции;

r – индекс вида производственных ресурсов (от 1 до R);

b r – фонд r-производственного ресурса;

a rj – норма затрат rj-производственного ресурса;

c j – критерий оптимальности; его сущность заключается в том, что это экономический, технико-экономический показатель, который заложен в условии задачи для суждения об оптимальности ее решения;

x j – количество продукции P j .

Х = (х 1 , х 2 , …, х j , …, x n ) – оптимальная программа выпуска продукции по ассортименту.

Критерий оптимальности:

n

F( x )     c x max .

j =1

Система ограничений: n

£a j x . r ⁽ r = 1,2,..., R ),

* j =1

х_} >0( j = 1, 2,..., n )

Суммарные затраты r-производственного ресурса на выполнение всех n видов продукции не должны превышать фонды этого ресурса, которым предприятие владеет на планируемый период.

Известна программа выполнения зерна на период. Эта программа может быть выполнена на разных машинах и оборудовании. Также известны фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителей при выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукции у разных исполнителей.

i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i = 1, 2, …, m ;

j – индекс вида продукции (работы), j = 1, 2, …, n ;

• m – количество рабочих (станков);

• n – число видов продукции (работ);

• b i – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;

• λ ij – часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;

• Λ = [ λ ij ] mxn – известно;

• s ij – себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;

S = [ s ij ] mxn – известно;

P j – вектор показателей, которые характеризуют объемы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.

Исполнитель	Фонд эффективного рабочего времени	P 1 … P j … P n
		Производительность / себестоимость
1	b 1
i	b i	Λ = [λi j ]mxn / S = [si j ]mxn
M	b m

Найти план распределения производственного задания по выпуску продукции (выполнения работ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено с минимальными суммарными затратами.

• x ij – затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителя на произведение j-продукции;

Х = [ x ij ] mxn – искомые величины.

Целевая функция:

mn

F ⁽ x u ⁾⁼£ S s' j x j = ^min;

, =1 u =1

s V = s..

ij           ij        ij s’ij – себестоимость часового объема выпуска продукции определенного вида на определенном оборудовании.

Система ограничений: n

^ xj (i = 1,2,..., m) - суммарные затраты эффективного рабочего времени на вы-j=1

полнение всех видов работ не должны превышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;

m

^х.Х = P. (j = 1, 2,..., n) - суммарный объем выпущенной продукции j-вида у всех m i=1

исполнителей должен быть равен производственному заданию:

x. > 0 ij

'i = 1, 2,..., m , j = 1, 2,..., n .

На предприятии известна программа выпуска продукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (на разных участках). В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего времени каждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективного рабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании, а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной раз- ными исполнителями.

Исполнитель Фонд эффективного рабочего времени P1 … Pj … Pn Нормы затрат / прибыль 1 b1 i bi A = [aij]mxn / C = [cij] mxn M bm i – индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i = 1, 2, …, m;

j – индекс вида продукции (работы), j = 1, 2, …, n ;

m – количество рабочих (станков);

n – число видов продукции (работ);

b i – фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;

a ij – показатель нормы затрат на производство j-продукции у i-исполнителя;

A = [ а ij ] mxn – известно;

с ij – показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;

С = [ с ij ] mxn – известно;

P j – вектор показателей, которые характеризуют объемы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.

Требуется найти план распределения производственного задания между исполнителями, при котором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации всей продукции.

x ij – объем (количество) j-продукции, выработанной i-исполнителем;

Х = [ x ij ] mxn – искомые величины.

Целевая функция:

mn

F ( x ) ⁼ S ^Х^см^ху ⁼ max. i =1 j =1

Система ограничений:

2Xxj-b (i = 1,2,...,m), j=1

m

' zxj Ppj(j = 1,2,...,n), i=1

При решении этой системы линейных уравнений и неравенств нужно найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.