Методы хаотической динамики в задаче анализа временных рядов Вольфа

Математические модели, содержащие три и более обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), способны демонстрировать хаотические режимы колебаний, которые на первый взгляд имеют вид случайных процессов. Переход в фазовое пространство позволяет получать наглядную информацию об особенностях сложной динамики соответствующих систем, прежде всего о геометрии предельных множеств фазовых траекторий, которые соответствуют установившимся режимам [1].

В последнее время это свойство хаотичности нелинейных диссипативных динамических систем активно используется для анализа временных рядов. Основным моментом здесь является предположение о том, что данный временной ряд порожден некоторым функционалом от решения неизвестной нам динамической системы с аттрактором. Алгоритм Грассберга– Прокаччиа [2], используемый в данной статье, позволяет получить оценку для корреляционной размерности этого аттрактора. Она и является тем параметром, который характеризует качественное поведение траекторий такой динамической системы. В работе в качестве временного ряда автором были выбраны числа Вольфа, называемые также международными числами солнечных пятен, относительными числами солнечных пятен или цюрихскими числами.

Солнечные пятна – это темные области на Солнце, температура которых понижена примерно на 1 500 К по сравнению с окружающими участками фотосферы. Количество пятен на Солнце и связанное с ним число Вольфа – одни из главных показателей солнечной магнитной активности. Прямые наблюдения солнечных пятен доступны в течение последних четырех столетий (рис. 1), но более длительный временной ряд необходим, например, для выявления возможного воздействия Солнца на климат и для проверки моделей солнечного динамо.

В работе [3] приведены результаты реконструкции чисел Вольфа на период, охватывающий последние 11 400 лет. Эти результаты были получены на основании дендрохронологического анализа радиоуглеродной концентрации ископаемых останков растений. На основании объединенной физико-биологической модели была построена связь процессов набора определенной радиоуглеродной концентрации с числами Вольфа.

Количество

Рис. 1. Количество солнечных пятен в зависимости от года

Согласно полученной реконструкции, уровень солнечной активности за последние 70 лет является исключительным случаем. Предыдущий период столь же высокой активности произошел более 8 000 лет назад. Было подсчитано, что в течение последних 11 400 лет Солнце провело лишь порядка 10 % времени на столь же высоком уровне магнитной активности, и почти все предыдущие периоды такой активности были гораздо короче, чем нынешний эпизод.

Редкость текущего эпизода высокого среднего числа солнечных пятен может свидетельствовать о том, что Солнце внесло свой вклад в необычные климатические изменения в течение XX в. Но насколько значимы эти отклонения? Являются ли они некоторым сигналом того, что на Солнце происходят какие-то изменения в механизме термоядерного синтеза или же это простые временные флуктуации? Будем считать, что числа Вольфа порождены некоторой динамической системой, описывающей временную эволюцию Солнца.

Была поставлена следующая задача: сравнить размерность аттрактора Солнца за последние 130 лет с его глобальным поведением за 11 400 лет. Разные величины N с аттрактором размерности N будут говорить о том, что в последние 130 лет в механизме Солнца происходят качественные изменения.

Для решения этой задачи выбраны два временных ряда для чисел Вольфа:

– соответствующий 11 400 годам через промежуток 100 лет;

– соответствующий 130 годам через промежуток 1 год.

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

Для каждого из этих случаев определялась временная задержка τ (рис. 2–4). Необходимо, чтобы система достаточно долго находилась на аттракторе, но при этом слишком детальное описание ее движения приведет к определенным трудностям.

Числовым показателем количества пятен на Солнце является число Вольфа. Для данного дня это число определяется

W = k ( f + 10 g ), (1) где k – нормировочный коэффициент; f – количество наблюдаемых пятен; g – количество наблюдаемых групп пятен.

Для нахождения величины временной задержки τ на интервале 9400 г. до н. э. – 2000 г. н. э. с шагом 10 лет были использованы метод взаимной информации I (τ):

I (т) = - EE P (AB J) • log2 P(AiBi) , (2) Е Е j J " P(Ai)P(Bj) v ’ где P(∙) – вероятность соответствующего события, и метод автокорреляционной функции R(τ):

• 1    ^{N 1}

R ^{( т )} = ттЕ y (t ) y (t ^{+т )}. ⁽³⁾ N 1 t = 1

Анализ графика зависимости I (τ) и R (τ) от выбора временной задержки τ (рис. 2) показывает, что первый минимум встречается при τ = 5.

Рис. 2. График зависимости функции взаимной информации I (τ) и автокорреляционной функции R (τ) от временной задержки τ для интервала 9400 г. до н. э. – 2000 г. н. э. с шагом 10 лет

Для определения размерности пространства вложения был использован метод Грассберга–Прокаччиа [2]. На графике d ( m ), представленном на рис. 3, насыщение наступает при m = 3, при этом d = 1,81. Исходя из этого можно сделать вывод, что размерность пространства вложения составит d ≥ 2 [ d (3)] + 1 = 3.

Для нахождения временной задержки τ на интервале 1870–2000 гг. с шагом 1 год были использованы методы взаимной информации I (τ) (2) и автокорреляционной функции R (τ) (3) (рис. 4). Очевидно, что в качестве временной задержки в этом случае можно использовать τ = 3 или τ = 4.

Рис. 3. График зависимости коэффициента корреляционной размерности d от размерности m для интервала 9400 г. до н. э. – 2000 г. н. э. с шагом 10 лет

Рис. 4. График зависимости автокорреляционной функции R (τ) и функции взаимной информации I (τ) от временной задержки τ для интервала 1870–2000 гг. с шагом 1 год

Вычислим размерность пространства вложения методом Грассберга–Прокаччиа [2] для временного интервала 1870–2000 гг. (рис. 5). Можно отметить, что d ( m ) также достигает своего насыщения при размерности 1,81. В этом случае имеем следующую оценку размерности пространства вложения: d ≥ 2 [1,81] + 1 = 3.

Рис. 5. График зависимости коэффициента корреляционной размерности d от размерности m для временного ряда, составленного из чисел Вольфа, для интервала 1870–2000 гг.