Методы оценивания спектральных и временных параметров сигналов на основе теории сплайн-алгебраического гармонического анализа

Автор: Агиевич Сергей Николаевич

Журнал: Научное приборостроение @nauchnoe-priborostroenie

Рубрика: Математические модели физико-технических систем

Статья в выпуске: 2 т.22, 2012 года.

Бесплатный доступ

Предлагаются разработанные методы и реализующие их алгоритмы оценивания спектральных и временных параметров сигналов в базисах функций сплайн-характеров (БФСХ). Описывается метод быстрых преобразований сигналов в БФСХ. Обосновывается его высокая вычислительная эффективность. Демонстрируется выигрыш в объеме вычислений при переходе от дискретных экспоненциальных функций к частному случаю БФСХ - базису сплайн-Виленкина-Крестенсона функций (СВКФ). Рассматриваются методы оценивания несущей частоты сигналов на основе глобальных сплайнов. Предлагается алгоритм сплайн-БПФ в базисах функций сплайн-характеров. Анализируется эффективность методов оценивания несущей частоты сигналов с точки зрения точности, скорости и помехоустойчивости обработки. Оцениваются вычислительные затраты на интерполяцию при использовании классического и предлагаемого методов на примере частного случая БФСХ - СВКФ.

Еще

Оценивание параметров сигналов, функции сплайн-характеров, быстрые преобразования сигналов, базис сплайн-виленкина-крестенсона функций

Короткий адрес: https://sciup.org/14264784

IDR: 14264784

Текст научной статьи Методы оценивания спектральных и временных параметров сигналов на основе теории сплайн-алгебраического гармонического анализа

Предлагаются разработанные методы и реализующие их алгоритмы оценивания спектральных и временных параметров сигналов в базисах функций сплайн-характеров (БФСХ). Описывается метод быстрых преобразований сигналов в БФСХ. Обосновывается его высокая вычислительная эффективность. Демонстрируется выигрыш в объеме вычислений при переходе от дискретных экспоненциальных функций к частному случаю БФСХ — базису сплайн-Виленкина-Крестенсона функций (СВКФ). Рассматриваются методы оценивания несущей частоты сигналов на основе глобальных сплайнов. Предлагается алгоритм сплайн-БПФ в базисах функций сплайн-характеров. Анализируется эффективность методов оценивания несущей частоты сигналов с точки зрения точности, скорости и помехоустойчивости обработки. Оцениваются вычислительные затраты на интерполяцию при использовании классического и предлагаемого методов на примере частного случая БФСХ — СВКФ.

Кл. сл. : оценивание параметров сигналов, функции сплайн-характеров, быстрые преобразования сигналов, базис сплайн-Виленкина-Крестенсона функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Пусть имеется пространство функций, заданных на абелевой группе H и принимающих значения в некотором кольце K , т. е. областью определения функций является группа H , областью значений — кольцо K . Это пространство обозначим через L ( H , K ) . Аналогами комплексных экспонент в L ( H , K ) являются характеры χ ( n , k ) [1]. Характеры образуют ортонормированный базис в пространстве L ( H , K ) . Характеры χ ( n , k ) , определенные на конечном отрезке, называются χ -функциями. В дальнейшем для общности будем использовать понятие "характеры", а из контекста будет ясно, о каком случае (конечном или бесконечном) будет идти речь. Одним из достоинств характеров χ ( n , k ) является их многообразие, определяемое многообразием групп H и колец K . Однако все они являются функциями дискретными, поэтому реализация на их основе сигналов для непосредственного излучения в эфир невозможна. Получить гладкие ортонормированные базисные функции оказалось возможным, объединив свойства χ ( n , k ) и сплайнов. В результате в полученном пространстве _L ₍ _H _, _K ₎ G _n ^p периодических сплайнов сигнал _L ₍ _H _, _K ₎ S ^p ( t ) можно разложить следующим образом:

S^P ( t ) = —У , qHKpit^t ( t 0 tk ) =

L ( H , K ) N _k L ( H , K ) k µ k

= У L ( H , K ) cn L ( H , K ) ^ ^p ⁽ t X

где L ( H , K ) ^ ^p( ^t ) = L ( H , K ) m ^p( ^t )/7 L ( H , K ) un p ; L ( H , K ) m t ⁽ t )

=—У x(n,k)Mp(t0tk); X(n, k) — характеры груп-Nk µ пы H ; L(H,K) сп = L(H,K) Fn (z)L(H,K) uPP /L(H,K)Up ;

ц — модуль представления чисел; 0 — сдвиг по мо-µ дулю ц; l(h,k) up = l(h,k) Fn(Mp) = -1 Ух(n, k)Mp (tk);

Nk tk

N ; χ(n, k) — комплексносопряжен- ное χ(n,k) . Заметим, что сплайны

L(H,K) ^p (t) L(H,K) mp (t)/^L(H,K) un P образуют ортонормированный базис пространства L(H,K)Gnp . Будем называть их сплайн-характерами.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Для пространств _L ( _HK ) G p (при t = k ) введем пары прямых и обратных преобразований Фурье (ПФ) в базисах функций сплайн-характеров

(БФСХ):

S^p ( к ) = V .. F (q F _n ( q * ) X p ( к ) =

L ( H , K ) L ( H , K ) n L ( H , K ) n

= ^ L ( H , K ) F i ⁽ z ) / L ( H , K ) n

2 p

L ( H , K ) u n L ( H , K )

где

L ( H , K ) F i ⁽ ^q ) = T7^ ^x ⁽ ¹ , ^k ) L ( H , K ) ^q k =

N k

= — S>X ^p ( к ) z, . (3)

n L ( H , K ) k

N _k

X Р ( к ), (2)

Рис. 1. Выигрыш в объеме вычислений БПФ при переходе от базиса ДЭФ к базисам ВКФ и СВКФ при µ = 2, 4

Отметим, что при p = 1 частными случаями пары выражений (2) и (3) являются выражения, полученные в [1] ((3.9) и (3.10)).

МЕТОД БЫСТРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Согласно (2), для нахождения спектральных коэффициентов в базисе L ( _HK ) X p необходимо вычислить дискретное ПФ L ( _HK ) F _n ( q * ). Один из вариантов его вычисления — через _L ₍ _H _, _K ₎ F _n ( z ) . Для этого необходимо полученную последовательность _L ₍ _H _, _K ₎ F _n ( z ) поэлементно умножить на последовательность _L ₍ _H _, _K ₎ u _n ² ^p _L ₍ _H _, _K ₎ u _n ^p . Элементы последней последовательности могут быть вычислены заранее, а для вычисления _L ₍ _H _, _K ₎ F _n ( z ) имеются быстрые алгоритмы [1]. Следовательно, переход из базиса функций характеров (БФХ) в БФСХ на выборке длиной N увеличивает количество операций преобразования на N . Это касается как ПФ в БФСХ, так и его быстрого алгоритма.

Таким образом, быстрое преобразование в БФСХ существует, и его основа — алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) в БФХ. При этом вычислительная сложность БПФ в БФСХ на выборке длиной N увеличивается на N операций умножения по сравнению с алгоритмом БПФ в БФХ. Сравнение вычислительных затрат классического алгоритма БПФ со всеми алгоритмами БПФ в БФСХ — задача невыполнимая по причине бесконечного количества последних. Поэтому остановимся на некоторых из них.

Сравним вычислительные затраты, требуемые для осуществления алгоритмов БПФ для частного случая БФСХ — базисов сплайн-Виленкина-Крестенсона (СВКФ). Для достижения этой цели воспользуемся подходом, предложенным в [2]. Если принять, что на операцию умножения и сложения тратится одинаковое время, то предельный выигрыш по скорости обработки ξ при использовании быстрого преобразования Уолша (БПУ) относительно дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) в алгоритме БПФ будет достигать ξ = 5. В то же время применение функций Вилен-кина-Крестенсона (ВКФ) по модулю 4 обеспечивает ξ= 3.25. В рассматриваемом случае для получения спектра использовался алгоритм БПФ в базисах СВКФ [3]. Согласно этому алгоритму на N входных точек преобразования, дополнительно к стандартному объему вычислений необходимо добавить N операций умножения. Это приводит к увеличению объема вычислений по сравнению с классическими алгоритмами БПУ и БПФ в базисе ВКФ по модулю 4. Однако получаемый выигрыш в этих случаях по сравнению с использованием классического алгоритма БПФ все равно оказывается существенным.

Данные об объеме вычислений для алгоритма БПФ [4] и результаты [2] позволили представить выигрыш в скорости цифровой обработки сигналов (ЦОС) графиком рис. 1 [5]. Анализ полученных результатов показал, что выигрыш в объеме вычислений при переходе к базису СВКФ может достигать 2÷3 раз.

Таким образом, реализация операций ЦОС с использованием алгоритма БПФ в базисе СВКФ ведет к существенному сокращению вычислительных затрат. Аналогичные результаты можно получить и при рассмотрении алгоритма в базисе сплайн-Рейдера.

АЛГОРИТМ СПЛАЙН-БПФ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Довольно часто при выполнении стандартных операций ЦОС (фильтрации, вычислении корреляционных функций, определении несущей частоты) возникает необходимость осуществления интерполяции обрабатываемых дискретных данных о непрерывных функциях. Следовательно, возни-

кает необходимость разработки вычислительно эффективного алгоритма интерполяции сигналов. В теории сплайн-гармонического анализа (СГА) таким алгоритмом является алгоритм сплайн-БПФ в ДЭФ [6]. Его вычислительная эффективность базируется на том, что он построен на основе классического БПФ, поэтому по свойствам сравним с известным алгоритмом интерполяции, основанным на добавлении нулевых коэффициентов в спектральной области. Отличие состоит в том, что вместо добавления нулей в спектральной области используется информация о степени гладкости. Это позволяет осуществлять не линейную интерполяцию, как в классическом случае, а соответствующую выбранному порядку сплайна (например, кубическому). Рассматриваемый подход реализации быстрых преобразований позволяет разработать алгоритм сплайн-БПФ (СБПФ) сигналов в БФСХ. Рассмотрим особенности этого алгоритма.

Так как в основе алгоритма сплайн-БПФ в базисе ДЭФ лежат процедуры БПФ, то разумно положить процедуры БПФ в БФСХ в основу алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ. Исходными данными для алгоритма (см. рис. 2) являются объем выборки N , порядок сплайна p , тип группы H и кольца K , модуль представления числа ц , отсчеты сигнала { z k } и шаг сетки интерполяции h .

Разработанный алгоритм (рис. 2) отличается от известного не только переходом от ЭФ к БФСХ, но и отказом от увеличения количества спектральных коэффициентов перед осуществлением операции ОБПФ в соответствующем базисе, поскольку получение интерполяционных значений происходит уже во временнóй области. Структурная схема, реализующая указанные процедуры, представлена на рис. 3. В Приложении (табл. 1) представлены сравнительные затраты на интерполяцию при использовании классического и предлагаемого методов на примере частного случая БФСХ — СВКФ.

Анализ полученных результатов показывает, что выигрыш в объеме вычислений может достигать от 1.69 до 2.71 раза даже на коротких выборках сигнала. Таким образом, предложенный алгоритм обладает вычислительной эффективностью и может быть использован для осуществления фильтрации, вычисления корреляционных функций, определения несущей частоты.

Рис. 3. Принцип реализации процедур интерполяции в БФСХ

S^p ( t k _i )

МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Большое значение при приеме сигналов имеет оценивание несущей частоты. Для классических моделей сигналов в базисе ДЭФ оценивание осуществляется с использованием ПФ. Однако для сигналов, синтезированных в БФСХ, невозможно правильно оценить несущую частоту на основе базиса Фурье. Естественно, данную операцию необходимо выполнять в БФСХ.

На рис. 4 представлены эпюры, поясняющие принцип оценивания частоты в БФСХ.

Аналоговый сигнал z ( t ) (рис. 4, а) дискретизируют z ( t _k ) (рис. 4, б), затем вычисляют последовательность комплексных спектральных коэффициентов _L ₍ _H _, _K ₎ F _n ( z ) (рис. 4, в) методом преобразования в выбранном пользователем базисе характеров. Одновременно тем же методом В -сплайн заданной степени p - 1 преобразуется в последовательность комплексных дискретных отсчетов

(рис. 4, г). Порядок В -сплайна определяется пользователем и зависит от степени гладкости анализируемого сигнала. Затем последовательность комплексных спектральных коэффициентов _L ₍ _H _, _K ₎ F _n ( z ) делят поэлементно на последовательность комплексных дискретных отсчетов 7 L ( н , K ) u ²p / l ( H , к ) u p Для базисов L ( H , K ) ^X p ⁽ t ) (рис. 4, д). Далее вычисляют компоненты спектральной плотности мощности _L ₍ _HK ) S ( n ) в БФСХ (рис. 4, е) заданной степени p - 1 с помощью выражения, представленного на рис. 4, е, где N — нормирующий множитель. На новом массиве компонент спектральной плотности мощности находится максимум r (рис. 4, ж), а значение несущей частоты сигнала определяется по формуле f n = r ^х f , где ^ f — расстояние между спектральными компонентами X P ( t ).

L ( H , K ) n

Оценим вычислительные затраты рассмотренного подхода. Его основу составляют процедуры

S ( n ) = L ( H , K ) ^Fn ⁽ z )

^p L ( H , K ) u n

L ( H , K ) ^S ⁽ n ) = L ( H , K ) ^F n ⁽ z )

pp L ( H , K ) u n L ( H , K ) u n

,~ ( n ) = N I Re

L ( H , K ) ' 1 I

L ( H , K ) F n ( z )

u p

L ( H , K ) u n J

¹f F (z))² + | Im ^L ( ^^K ) n ( )

u p

L ( H , K ) u n J

1 2

r r + 1 + 2

Рис. 4. Принцип оценивания несущей частоты в БФСХ n

БПФ в БФСХ. Сокращения объема вычислений данной процедуры возможно за счет формирования сигналов в базисах сплайн-Рейдера, в СВКФ с использованием модуля 2…4. В этом случае вычислительные затраты сократятся в 2…3 раза.

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

АЛГОРИТМА СПЛАЙН-БПФ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Дальнейшее повышение вычислительной эффективности и точности оценивания возможно за счет учета информации о гладкости спектральной плотности мощности сигналов. Поскольку точность оценивания определяется величиной частотного разрешения, то необходимо повысить разрешающую способность. При классическом подходе это достигается за счет увеличения длины реализации сигнала, в том числе и путем добавления нулевых значений. При этом существенно растет объем вычислений, а интерполяция осуществляется по линейному закону без использования информации о степени гладкости спектральной плотности мощности сигнала. В связи с этим предлагается использовать сплайн-интерполяцию в частотной области. Причем эту операцию предлагается проводить с помощью вычислительно эффективного алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ. Возможны два варианта интерполяции [7].

В первом случае используются коэффициенты всей реализации. Во втором — интерполяция производится только вблизи исходного максимального спектрального коэффициента. Эффективность указанных методов оценивалась с позиций скорости ЦОС (Приложение, табл. 2).

Характеристика методов по точности определения несущей частоты сигналов представлена в Приложении, табл. 3. Согласно табл. 3, чем выше степень гладкости интерполируемого процесса, соответственно и степень гладкости сплайна, тем выше точность интерполяции [8]. Если h = 0.1, то точность кубической интерполяции с использованием глобальных сплайнов будет пропорциональна 0.0001. При классическом подходе точность интерполяции пропорциональна h = 0.05 или необходимо значительное увеличение объема вычислений.

Важно отметить, что использование глобальных сглаживающих сплайнов может повысить помехоустойчивость определения несущей частоты. Согласно табл. 3 (см. Приложение), при выборе кубического сплайна выигрыш в помехоустойчивости может достигать 0.5 дБ.

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛОКАЛЬНЫХ

СПЛАЙНОВ

Основное отличие локальных сплайнов от глобальных состоит в том, что для интерполяции используется значительно меньший объем информации. Например, для поиска экстремума достаточно данных лишь о вблизи расположенных отсчетах сигнала. Это относится и к простейшим сплайнам, таким как сплайны минимального шаблона (СМШ), квадратичные (КВСМШ) и кубические (КСМШ), квазиинтерполяционные сплайны (КИС), сплайны максимального сглаживания (СМС) [9]. Однако обеспечиваемая ими точность и помехоустойчивость ниже по сравнению с глобальными сплайнами, а вычислительная эффективность существенно изменяется в зависимости от длины реализации.

Представление о вычислительной эффективности простейших сплайнов на примере СМШ с использований экспоненциальных функций и СВКФ с модулем 2 и 4 дает табл. 4 (в Приложении). Характеристика точности определения несущей частоты сигналов представлена в Приложении в табл. 5.

Анализ полученных результатов показал, что при выборе наиболее часто используемого кубического СМС выигрыш в помехоустойчивости может достигать 0.22 дБ.

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СИГНАЛОВ

Предлагаемый метод базируется на свойствах сплайнов и предложенного алгоритма СБПФ. Его вычислительная эффективность обеспечивается при условии расчета корреляционной функции при предельно низкой частоте дискретизации. Вариант структурной схемы, реализующий метод, в соответствии с указанными требованиям, представлен на рис. 5.

Сравнительные затраты на вычисление корреляционных функций при использовании различных базисов представлены в Приложении в табл. 6. При этом интерполяция на Л- N точках производится для получения дополнительных значений корреляционной функции на всей ее области определения. А интерполяция на Л- 2 точках производится только в районе максимума. Здесь λ — количество точек интерполяции между двумя узловыми точками, N (2) — количество интервалов интерполяции, 4 — количество операций для получения одного интерполируемого значения. Полученные результаты подтверждают вычислительную эффективность предложенного алгоритма.

Рис. 5. Вычисление автокорреляционной функции в БФСХ

Рис. 6. Фильтрация в базисах СВКФ

МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН-ХАРАКТЕРОВ

Вариант структурной схемы метода фильтрации сигналов в базисах функций сплайн-харак-теров представлен на рис. 6. Вычислительная эффективность метода фильтрации — в Приложении, табл. 7.

В основе разработанного метода лежит использование алгоритма СБПФ в БФСХ. Анализ полученных результатов показывает, что даже без интерполяции выигрыш в объеме вычислений достигает от 1.45 до 2.86 раза на коротких выборках сигнала. Данный факт подтверждает вычислительную эффективность разработанного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана аналитическая основа методов оценивания спектральных и временных параметров сигналов в БФСХ.

Предложен метод быстрых преобразований сигналов в БФСХ, обладающий высокой вычислительной эффективностью. Выигрыш в объеме вычислений при переходе от ДЭФ к частному случаю БФСХ — базису функций сплайн-Виленкина-Крестенсона — достигает 2…3 раз.

На основе разработанного алгоритма сплайн-БПФ в БФСХ предложены методы оценивания несущей частоты сигналов с использованием глобальных сплайнов. Вычислительная эффективность указанных методов для СВКФ достигает 2.54 раза и более даже на коротких выборках сигнала. А выигрыш в помехоустойчивости для сглаживающих глобальных сплайнов может достигать 1 дБ.

Использование методов оценивания несущей частоты сигналов на основе локальных сплайнов может обеспечить выигрыш в помехоустойчивости до 0.5 дБ при достаточно высокой вычислительной эффективности.

При расчете корреляционных функций сигналов вычислительные затраты по сравнению с классическим подходом для СВКФ как частного случая БФСХ сокращаются в 2.1 и более раза.

Выигрыш в объеме вычислений при фильтрации сигналов может достигать от 1.45 до 2.86 раза даже на коротких выборках сигнала по отношению к классическому подходу.

Таким образом, применение разработанного аналитического аппарата обработки сигналов обеспечивает повышение помехоустойчивости при общем снижении вычислительных затрат.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Табл. 1. Количество операций на интерполяцию различными методами в базисах СВКФ (квадратичный сплайн)

Параметры метода								Количество операций
N	cd й О S У га S	в а о о в В	е m CJ о S ю га е и	о 9 pq VO Q ОД К 5 CJ	в к И -X К s О В ^ В" о 5 в о в в о «	е m cd О од ^ е О	е m о И ст о в ю е О	О Cl g О й 2 в g в § в 2 о	о CJ m	а & m
64	ЭФ	Доб. нулей	384	–	8	–	4608	–	4992	–
64	ЭФ	СБПФ	384	128	8	384		2048	2944	1.69
64	2	СБПФ	192	64	8	192	–	2048	2496	2
64	4	СБПФ	256	128	8	256	–	2048	2688	1.85
128	ЭФ	Доб. нулей	896	–	8	–	10240	–	11136	–
128	ЭФ	СБПФ	896	256	8	896		4096	6144	1.81
128	2	СБПФ	407	128	8	407	–	4096	5038	2.21
128	4	СБПФ	535	256	8	535	–	4096	5422	2.05
256	ЭФ	Доб. нулей	1024	–	8	–	22528	–	23552	–
256	ЭФ	СБПФ	1024	512	8	1024		8192	10752	2.19
256	2	СБПФ	410	256	8	410	–	8192	9268	2.54
256	4	СБПФ	552	512	8	552	–	8192	9808	2.44
512	ЭФ	Доб. нулей	4608	–	8	–	49152	–	53760	–
512	ЭФ	СБПФ	4608	1024	8	4608	–	16384	26624	2.01
512	2	СБПФ	1440	512	8	1440	–	16384	19776	2.71
512	4	СБПФ	2355	1024	8	2355	–	16384	21658	2.48

Табл. 2. Количество операций на интерполяцию при определении несущей частоты различными методами в базисах СВКФ (кубический сплайн)

Параметры метода										Число операций на интерполяцию
	cd о У вР $ S	к	S1 о о в в в	н 6 И В о В" и ст ⁸ ц ю о ® Рн	га га S X § cd to	к о и 5	е га СО cd to	га К со cd to	е е ® о ! ю m	λN /2	λN	λ ∙2	О о m	а & m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
64	ЭФ	Нулями	8	4608	–	9216	–	–	–	–	–	–	13824	–
64	ЭФ	СБПФ	8	384	64	128	160	64	160	1280	–	–	2240	6.17
64	ЭФ	СБПФ	8	384	64	128	160	64	160	–	–	80	1040	13.26
64	2	СБПФ	8	110	64	64	110	64	110	–	2560	–	3082	4.48
64	2	СБПФ	8	110	64	64	110	64	110	–	–	80	602	22.96

Табл. 2 ( продолжение )

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
64	4	СБПФ	8	192	64	128	84	64	84	1280	–	-	1896	7.29
64	4	СБПФ	8	192	64	128	84	64	84	–	–	80	696	19,86
128	ЭФ	Нулями	8	10240	–	20480	–	–	–	–	–	–	30720	–
128	ЭФ	СБПФ	8	896	128	256	384	128	384	2560	–		4736	6.48
128	ЭФ	СБПФ	8	896	128	256	384	128	384	–	–	80	2256	13.61
128	2	СБПФ	8	230	128	128	230	128	230	–	5120		6194	4.95
128	2	СБПФ	8	230	128	128	230	128	230	–	–	80	1154	26.62
128	4	СБПФ	8	390	128	256	192	128	192	2560	–	–	3846	7.98
128	4	СБПФ	8	390	128	256	192	128	192	–	–	80	1366	22.48

Табл. 3. Интерполяционные и сглаживающие свойства глобальных сплайнов

Метод интерполяции	Потенциальная точность интерполяции	Требование к функции	Выигрыш в помехоустойчивости, дБ
Добавление нулей	1 2 h	_С 1	–
Квадратичная интерполяция	4 (4) max	_С 4	-
Квадратичное сглаживание	4 (4) max	_С 4	0.3
Кубическая интерполяция	< o( h ⁵ z _m ⁽⁵ _a ⁾ _x ) 5/384( h ⁴ z m⁽⁴a⁾x )	С 5	-
Кубический сглаживающий сплайн	< o( h ⁵ z _m ⁽⁵ _a ⁾ _x ), 5/384( h ⁴ z m⁽⁴a⁾x )	С 5	0.5
Интерполяционный сплайн 4-й степени	6 (6) max	С ⁶	-
Сглаживающий сплайн 4-й степени	6 (6) max	_С 6	0.9
Интерполяционный сплайн 5-й степени	7 (7) max	С ⁷	-
Сглаживающий сплайн 5-й степени	7 (7) max	_С 7	1.1

Табл. 4. Количество операций на интерполяцию при определении несущей частоты различными методами c использованием локальных сплайнов

Параметры метода							Число операций на интерполяцию
N	cd ч О S F i-Q О	s	s1 ^н Ц о о ц В a ^ в в	6 н 6 =- и В" и cd ⁸ и ю Рн	и S 5* X у Ю	S и 5	Одной точки	λ ∙ N /2	λ ∙ N	λ ∙∙2	О о	а в & в В m
64	ЭФ	Доб. нулей	8	4608	–	9216	–	–	–	–	13824	–
64	ЭФ	КВСМШ	8	384	32	128	21	5376	–	–	5920	2.33
64	ЭФ	КВСМШ	8	384	32	128	21	–	–	336	880	15.7
64	ЭФ	КСМШ	8	384	32	128	28	7168	–	–	7712	1.79
64	ЭФ	КСМШ	8	384	32	128	28	–	–	448	992	13.93
64	ЭФ	СМШ 4-й степени	8	384	32	128	80	20480	–	–	21024	0.66
64	ЭФ	СМШ 4-й степени	8	384	32	128	80	–	–	1280	1824	7.58
64	ЭФ	СМШ 5-й степени	8	384	32	128	102	26112	–	–	26656	0.52
64	ЭФ	СМШ 5-й степени	8	384	32	128	102	–	–	1632	2176	6.35
64	ЭФ	КИС 5-й степени	8	384	32	128	175	44800	–	–	45344	0.3
64	ЭФ	КИС 5-й степени	8	384	32	128	175	–	–	2800	3344	4.13
64	ЭФ	СМС 5-й степени	8	384	32	128	175	44800	–	–	45344	0.3
64	ЭФ	СМС 5-й степени	8	384	32	128	175	–	–	2800	3344	4.13
64	ЭФ	Доб. нулей	8	390	128	256	–	–	–	–	13824	–

Табл. 5. Интерполяционные и сглаживающие свойства локальных сплайнов для различных методов оценивания несущей частоты

Метод интерполяции	Потенциальная точность интерполяции	Требование к функции	Выигрыш в помехоустойчивости, дБ
1	2	3	4
Добавление нулей	1/(2 h )	_С 1	–
КВСМШ	0.047 h ³ z m⁽³a⁾x	С ⁴	-
Квадратичный КИС	< 0.047 h ³ z m⁽³a⁾x	_С 4	-
Квадратичный СМС	0.047 h ³ z m⁽³a⁾x	_С 4	0.1
КСМШ	35/1152 h ⁴ z m⁽⁴a⁾x	С ⁵	-
Кубический КИС	< 35/1152 h ⁴ z m⁽⁴a⁾x	С 5	-

Табл. 5 ( продолжение )

1	2	3	4
Кубический СМС	35/1152 h ⁴ z m⁽⁴a⁾x	С 5	0.22
СМШ 4-й степени	132677/13271040 h ⁵ z ⁽⁵⁾max	С 5	-
КИС 4-й степени	< 132677/13271040 h ⁵ z ⁽⁵⁾max	_С 6	-
СМС 4-й степени	132677/13271040 h ⁵ z ⁽⁵⁾max	С ⁶	0.34
СМШ 5-й степени	59/5120 h ⁶ z m⁽⁶a⁾x	_С 7	-
КИС 5-й степени	< 59/5120 h ⁶ z m⁽⁶a⁾x	_С 7	-
СМС 5-й степени	59/5120 h ⁶ z m⁽⁶a⁾x	С ⁷	0.5

Табл. 6. Количество операций на вычисление корреляционных функций в базисах СВКФ

N	§ 6 I	m О 8 в 1 и	eg й 8 о 3 § 5 у И В g g	§ I &	и	m о 8 о ^	8 «§ * 6 2 g^	Количество операций на интерполяцию		Всего	Выигрыш
	§ 6 I	m О 8 в 1 и	eg й 8 о 3 § 5 у И В g g	§ I &	и	m о 8 о ^	8 «§ * 6 2 g^	На λ ∙ N точках	На λ ∙2 точках
64	ЭФ	384	–	384	8	–	4608	–	–	5376	–
64	2	192	64	64	8	192	–	2048	64	2560/576	2.1/9.33
64	4	256	64	384	8	256	–	2048	64	3008/1024	1.78/5.25
128	ЭФ	896	–	768	8	–	10240	–	–	11904	–
128	2	407	128	128	8	407	–	4096	64	4806/1134	2.48/10.5
128	4	535	128	768	8	535	–	4096	64	6062/2030	1.96/5.86
256	ЭФ	1024	–	1536	8	–	22528	–	–	25088	–
256	2	410	256	256	8	410	–	8192	64	9124/996	2.75/25.19
256	4	552	256	1536	8	552	–	8192	64	11088/2960	2.26/8.48
512	ЭФ	4608	–	3072	8	–	49152	–	–	56832	–
512	2	1440	512	512	8	1440	–	16384	64	20288/3968	2.8/14.32
512	4	2355	512	3072	8	2355	–	16384	64	24678/8358	2.3/6.8

Табл. 7. Количество операций на фильтрацию в различных базисах (без интерполяции)

N	Модуль числа	БПФ в базисе ВКФ (операций)	Вычисление спектральных коэффициентов сигнала, прошедшего через фильтр	ОБПФ в базисе ВКФ N точек	Всего	Выигрыш
1	2	3	4	5	6	7
64	ЭФ	384	64	384	832	–
64	2	192	64	192	448	1.86

Табл. 7 ( продолжение )

1	2	3	4	5	6	7
64	4	256	64	256	575	1.45
128	ЭФ	896	128	896	1920	–
128	2	407	128	407	943	2.04
128	4	535	128	535	1198	1.6
256	ЭФ	1024	256	1024	2304	–
256	2	410	256	410	1075	2.14
256	4	552	256	552	1360	1.69
512	ЭФ	4608	512	4608	9728	–
512	2	1440	512	1440	3392	2.86
512	4	2355	512	2355	5222	1.86

Статья научная