Методы вычислений матриц переноса упругих деформаций

Дан обзор матричных методов описания распространения волн в слоистых средах. Развивается метод представления матрицы переноса (характеристической матрицы) в виде матричного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эта система уравнений называется определяющей. Метод получения определяющей системы уравнений показан на примере термоупругих волн. Рассмотрены традиционные методы нахождения матричной экспоненты: разложение в ряд Тейлора, рациональные аппроксимации Чебышева и Паде, метод масштабирования, методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, методы преобразования матриц (метод собственных векторов, QR-алгоритм, жорданова каноническая форма, преобразование Шура, приведение матрицы к блочно-диагональной форме), формулы Лагранжа-Сильвестра, Бэкера, Ньютона, преобразование Лапласа. Представлен метод симметрических многочленов. Симметрические многочлены n -го порядка, введенные автором, использованы для выражения целых функций матриц, в том числе матричной экспоненты. Этот метод не требует вычисления или оценки собственных значений матрицы. Алгоритм вычисления целых степеней матриц, основанный на использовании симметрических многочленов, является наименее затратным по числу элементарных умножений и, следовательно, наиболее точным в сравнении с другими известными методами. Представлены формулы, аналитически выражающие матрицы переноса упругих деформаций второго и четвертого порядка через элементарные симметрические многочлены определяющей матрицы. Дана аналитическая оценка величин модулей симметрических многочленов. Метод симметрических многочленов позволяет контролировать ошибки округления и усечения при вычислении матрицы переноса. Выполнена оценка масштабирующего коэффициента, обеспечивающего надежное вычисление матричной экспоненты с допустимой погрешностью. Вычисление матрицы переноса упругих волн в слоистых средах методом симметрических многочленов имеет преимущества в сравнении с другими подходами по сочетанию таких параметров, как общность, надежность, стабильность, точность, простота, легкость использования и эффективность численного алгоритма.