Метрика “ускоренной” системы координат в СТО

Показано, что в СТО метрика ускоренно движущейся системы отсчета определяется, как и метрика инерциальной системы отсчета, метрическим тензором, составленным из постоянных галилеевых компонент. А общепринятое представление о неевклидовости геометрии пространства в ускоренной системе отсчета, возникшее в результате применения    (вместо релятивистского)    обычного классического преобразования, не имеющего никакого отношения к СТО, является случайным досадным недоразумением. Соответственно, отсюда и общепринятая геометрическая интерпретация “кривизны” пространства-времени в СТО как причины гравитационного тяготения также является недоразумением.

Геометрические свойства пространственно-временного многообразия в данной системе отсчета, как известно, определяются ее метрикой, т.е. способом задания расстояния между двумя какими-либо точками в ней. В СТО, например, в качестве элемента длины выбирается “расстояние” ds (интервал) между двумя событиями, происходящими в двух бесконечно близких точках, и постулируется его инвариантность. Квадрат элемента интервала ds ² в квадратичной форме общего вида от дифференциалов координат записывается при этом в виде:

ds ² = g ik dx‘dx^k ,                                                   (1)

где g_ik - функции пространственных координат x ¹, x ², x ³ и временной координаты x ⁰ .

В неподвижной системе отсчета S метрический тензор g _ik по определению принимается равным:

(1 0 0 0 ^ 0 -1 0 0 gik = 0 0 -1 0 <2) 4 0 0 0 -1) и в соответствии с (1) квадрат элемента интервала ds2 в системе отсчета S записывается при этом в виде:

ds ² = c ² dt ² - dx ² - dy ² - dz ² . (3) Аналогично, и в любой другой системе отсчета S *, движущейся с постоянной скоростью V относительно системы отсчета S (например, вдоль оси x ), метрический тензор g ik также

принимается равным: < 1    0    0    0 ) 0 -10  0                         ГЛХ g.k =                           ■                                              (4) lk 0  0 -10 (0    0    0 -1 J А квадрат элемента интервала ds 2 в системе отсчета S записывается в виде:

ds ' ² = c ² dt' ² - dx ' ² - dy ' ² - dz ' ² .

Фундаментальная квадратичная форма интервала (3), как видно, инвариантна относительно преобразования Лоренца x' + — ct'

x =

c aJ 1 - V 2 / c 2

t' + Vx' / c г           , y = y , z = z , t =              , c = c .

1 - V 2 / c ²

Заметим, что фундаментальная квадратичная форма интервала (3) инвариантна, например, также и относительно преобразования

x =

x ' + Vc*t' c

V1 - V 2 /c ² ’

y = y ’ , z = z' ,

t =

t*

1 - V 2 /c ²

Vx c = c +---

ct

связывающего координаты (x, y, z, t) и (x', y', z', t') события световой волны в системах отсчета S (покоящейся относительно неподвижного светоносного эфира) и S (движущейся относительно эфира со скоростью V вдоль оси x) в теории неподвижного светоносного эфира [1,2]. Квадрат элемента интервала ds 2 в системе отсчета S в последнем случае принимает вид:

ds '² = c' ² dt '² - dx ' ² - dy ' ² - dz' ² .

Однако почему-то принято считать, что если совершить переход от неподвижной системы отсчета S к так называемой

“ускоренной” системе отсчета S' (слово “ускоренной” взято в кавычки, так как относительно системы отсчета S * ускоряется система отсчета S ), то фундаментальная квадратичная форма интервала (3) не сохраняется. Так, например, считается, что при переходе к системе отсчета S', равномерно “вращающейся” относительно системы отсчета S (относительно системы отсчета S' вращается система отсчета S) вокруг оси z с угловой скоростью to, направленной, например, вдоль оси z, если

однако, обычным классическим преобразованием

x = x ' cos to t ' - y ' sin to t ' , y = x' sin to t ' + y' cos to t ' ,

z = z ' , t = t ',

>

пользоваться,

не имеющим никакого отношения к СТО, квадрат элемента интервала ds'2 во “вращающейся” системе отсчета S' принимает вид (см., например, [3]):

ds ^,2

^^^^^^в

ω

c

+ y '² ) c ² dt -2 -

- 2to ( x'dy' - y'dx ') dt' - dx'^ - dy'^ - dz'^

А при переходе к системе отсчета S *, движущейся относительно системы отсчета S с постоянным ускорением a вдоль оси x (относительно системы отсчета S' ускоряется система отсчета S), если, однако, опять же пользоваться обычным классическим преобразованием x = x' + at'2/2, y = y', z = z', t = t', (10)

также не имеющим никакого отношения к СТО, квадрат элемента интервала ds ² в “ускоренной” системе отсчета S ' принимает вид (см., например, [4]):

ds ' ²

а ² 1' ^

c

c ² dt ' ² - 2 at ' dx ' dt ' - dx ' ² - dy ' ² - dz ' ² .

Отсюда, таким образом, делается вывод, что в “ускоренной” системе отсчета S ' геометрия пространства искривляется и интервал ds ' ² в “ускоренной” системе отсчета S не выражается в виде простой суммы квадратов дифференциалов четырех координат, какой она является в системе отсчета S .

Однако, во-первых, почему именно в системе отсчета S интервал ds ² принимается равным (3), а, например, не в системе отсчета S ' , а затем уже на этом основании при переходе к

“ускоренной” системе отсчета S', однако, не с помощью релятивистского преобразования, а с помощью обычного классического преобразования, не имеющего никакого отношения к СТО, делается вывод, что пространство в “ускоренной” системе отсчета S' искривляется и, что квадрат интервала ds'2 в системе отсчета S * не выражается в виде простой суммы квадратов дифференциалов четырех координат, какой она является в системе отсчета S ? Ведь в СТО все системы отсчета абсолютно равноправны и неразличимы между собой. Если, например, система отсчета S' ускоряется относительно системы отсчета S с постоянным ускорением a , то и система отсчета S также ускоряется относительно системы отсчета S' с таким же по значению ускорением в обратном направлении. Ускоренное движение, равно как и любое движение, относительно, и какую систему отсчета считать ускоренным, зависит только от условий задачи. Разумеется, все то же самое сказанное относится и к случаю “вращательного” движения в СТО. Почему бы, например, тогда не принять, что именно в “ускоренной” системе отсчета S' интервал ds'2 задан в фундаментальной квадратичной форме (5), а не в системе отсчета S , а затем уже на этом основании при переходе обратно к системе отсчета S , движущейся в данном случае ускоренно относительно системы отсчета S', однако, не с помощью релятивистского преобразования, а с помощью обычного классического преобразования x ' = x cos ю t + y sin ю t, y ’ = - x sin ю t + y cos ю t, z ' = z, t ' = t или x' = x - at2/2, y = y', z = z', t = t', не имеющего никакого отношения к СТО, сделать вывод, что геометрия пространства в системе отсчета S также искривляется, и что квадрат элемента интервала ds 2 в системе отсчета S не выражается в виде простой суммы квадратов дифференциалов четырех координат, какой она является в системе отсчета S', а имеет вид:

ds ²

или ds2

1 -

ю ²

-^- ( x ² + y ) c²dt ² + 2 ю( xdy - ydx ) dt - dx² c²

- dy ² - dz ²

a ² t ² c ²

c ² dt ² + 2 atdxdt - dx ² - dy ² - dz ² .

Так почему же тогда именно в системе отсчета 5* интервал ds ²

принимается равным (3), а не в системе отсчета S' и почему пользуются при этом обычным классическим преобразованием вместо релятивистского?

Во-вторых,    нетрудно    убедиться,    что классические преобразования (8) и (10) противоречат постулату инвариантности скорости света. Чтобы убедится в этом, достаточно привести полученные с помощью классических преобразований интервалы (9) и (11) к диагональному виду:

и

ds '² = J

го Г dbc'    , dy'

1 + 2 y--x ' — c 2 V dt' dt'.

c

- ( x ' ² + у ' ² ) c ² dt

‘ 2

>

- dx '² - dy '² - dz '²

2	, о at' dx' a 2 1 '2	dv'" d-'1
ds —	L 2 dt'     c2 \	c d t    dx dy dz

dx' dy'

где ---, --- - это компоненты скорости в системе отсчета S', dt' dt

например, в случае распространяющейся световой волны, это будут c' _x , c y , откуда для скорости света c' в системе отсчета S' (при

ds' ² = 0 ) в случае вращения ( ю ^ 0 ) вместо С ' = С получаем:

dx' ² + dy ^,2 + dz' ²             ю dx' ,dy' ю ²

c' = _л--------- --------= c 1 + 2 y--x ---I x 2 + y ¹ ) ,

V dt' ²                \ c ² I dt'       dt' ) c ^{2 V} ’

а в случае ускорения ( a ^ 0 ):

I dx' ² + dy' ² + dz' ²

\ dt '²

= c 1 - 2

at dx a 2 t 2 - c 2 dt     c 2

По-видимому, на преобразования должны быть наложены некоторые ограничения. Например, в соответствии с операционным

определением скорости света

c' =

dx'2 + dy '2 + dz '2

dt' ²

= c

искомое преобразование должно оставлять инвариантным не только

величину интервала, которое выполняется автоматически при любых преобразованиях по определению, но и фундаментальную квадратичную форму интервала (3). А преобразования (8) и (10) этому требованию не удовлетворяют. Этому требованию вместо (8) и (10) удовлетворяли бы, например, преобразования

x = x' cos tot'- y' sin гоt', y = x' sin tot' + y' cos tot', z = z', t ' I to dx

, dy 'A to² , 2      , 2

^- x df J⁺ c ^{2    + y} '’

c = c ,

t = J ^dt у¹ - 2- l y 57

0 V c V dt

и

,                                                 tr               at' dx' a2t'2             , x = x + at 2 / 2, y = y , z = z , t = J dt 1 + 2        +       , c = c .

0            c ² dt'     c ²

Разумеется, в этом случае никакого искривления пространства в “ускоренной” системе отсчета S не происходило бы и метрика пространства-времени не менялась бы. А отсюда, таким образом, вовсе не следовало бы, что в СТО общепринятая интерпретация “кривизны” пространства является причиной гравитационного поля.

Почему бы тогда, например, и в случае инерциальных систем отсчета при переходе от одной инерциальной системы отсчета S к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью V , не пользоваться вместо релятивистского преобразования Лоренца (6) обычным классическим преобразованием Галилея x = x' + Vt', y = y', z = z', t = t'.

Тогда для квадрата элемента интервала ds' ² в системе отсчета S' ,

равномерно движущейся относительно системы отсчета

S , также

получили бы:

ds' ²

l У² A .

1 - V yl c ² dt ' ²

I     c^z )

- 2Vdxdit' - dx' ² - dy ' ² - dz '²

1 - 2 Vd ² - V -^A c ² dtⁿ - dx' ² - dy' ² - dz' ²

( c ² dt , c ² J                  ^y

а не ds'2 = c2dt'2 - dx'2 - dy'2 - dz'2, и для скорости света c' в системе отсчета S' (при ds'2 = 0) получили бы не c = c, а:

, dx' ² + dy' ² + dz' ²       Г _ V dx' V²

c = 1--------Й------= cA 1 - 2———--r , v dt2             V     c2 dt c2

откуда можно было бы сделать вывод, что и в инерциальных системах отсчета при пользовании классическим преобразованием Галилея геометрия пространства также искривляется и, что квадрат интервала ds' ² в системе отсчета S' не выражается в виде простой суммой четырех координат, какой она является в системе отсчета S .

Тогда почему же релятивисты в одном случае пользуются релятивистским преобразованием, а в других случаях классическим преобразованием?