Микроскопический подход к статистическому описанию системы нейтральных частиц: расширенный метод фазовой плотности

Метод микроскопической фазовой плотности [Климонтович, 1957; Климонтович, 1964] представляет собой один из способов получения кинетических уравнений для неравновесных сред, отличающийся от других методов тем, что изначально связан с движениями отдельных микроскопических частиц. Выбор уравнения движения задает свойства исследуемой системы N -точечных частиц и непосредственно используется при построении уравнений эволюции для микроскопических плотностей, относящихся к группе так называемых локальных микроскопических функций. В 6-мерном фазовом пространстве состояний частиц микроскопические (фазовые) плотности представляют в виде суммы (по всем частицам системы) обобщенных сингулярных функций Дирака, связывающих динамические и фазовые переменные. Микроскопические функции определяются [Dupree, 1963; Климонтович, 1964; Климонтович, 1982] как выражения, составленные из тех фазовых переменных и микроскопических плотностей, интеграл от которых по соответствующему фазовому пространству представляет собой одну из известных локальных (макроскопических) физических величин [Гельфанд, Шилов, 1959; Бале-ску, 1978].

Усредняя по ансамблю полученное им замкнутое уравнение эволюции для 6-мерной фазовой плотности, рассматривая плотность как случайную функцию и вводя понятие флуктуации фазовой плотности Климонтович [Климонтович, 1982], используя метод моментов, получил уравнение для одночастичной функции распределения, интеграл столкновений в котором выражался через второй центральный момент (коррелятор) флуктуации фазовой плотности. На основе этих двух уравнений было получено известное уравнение для флуктуации фазовой плотности. Этот результат привлек внимание исследователей, изучающих протекающие в различных сложных системах частиц процессы, сопровождающиеся отклонениями (флуктуациями) физиче- ских величин от равновесных значений [Ichimaru, 1962; Dupree, 1963; Dawson, Nakayama, 1966; Chappell, 1967; Williams, Chappell, 1971; Kelly, Lewis, 1971]. Полученные этими и другими авторами результаты, связанные с развитием теории неравновесной плазмы, а также продолжающийся интерес к изучению явлений в турбулентной диффузной и неустойчивой среде (особенно в искусственной и естественной плазме) привели к появлению работ [Tange, Ichimaru, 1974; Tsuge, Sagara, 1975; Gould, Mazenko, 1977; DuBois, Espedal, 1978; Климонтович, 1982; Кузменков, 1991; Дрофа, Кузьменков, 1996; Erofeev, 1997; Гордиенко, 1999; Zhang, He, Ruan, 2002; Krommes, 2007; Gerasimenko, Shtyk, 2011], затрагивающих различные аспекты (в том числе и прикладные) кинетической теории, в основе которых лежит понятие микроскопической плотности.

Отмеченная Климонтовичем возможность расширения фазового пространства до включения в него внутренних степеней свободы (например для неидеального газа/плазмы) [Климонтович, 1975; Кли-монтович, 1982] использовалась при построении соответствующих уравнений эволюции в тех разделах физики, которые, казалось бы, далеки от проблем традиционной кинетической теории. В квантовой теории метод Климонтовича позволил получить уравнения, которые учитывают спиновые и кварковые степени свободы [Turski, 1984; Марков, Маркова, 1995; Litim, Manuel, 1999; Huang, Kim, 2000]. Введение микроскопических плотностей отдельно для компонентов плазмы и для макроскопических примесей позволило путем задания различных потенциалов их взаимодействия получить весьма интересные результаты, описывающие различные особенности поведения пылевой плазмы [Dupree, 1972; Schram, Sitenko et al, 2000; Archer, Rauscher, 2004]. Понятие микроскопической плотности широко используется в различных прикладных областях физики: при изучении поведения плазмы в жидкостях и кристаллах [Dubin, O'Neil, 1999; Donati, Franz, et al., 2002; Scopigno, Ruocco, Sette, 2005], при исследова- нии динамики систем частиц с дальнедействием [Antoni, Ruffo, 1995; Bouchet, Dauxois, 2005; Cha-vanis, 2006; Gabrielli, Joyce, et al., 2010]. Большой интерес представляют результаты применения метода Климонтовича для диагностики тонких процессов в плазме, особенно в теории некогерентного рассеяния электромагнитных волн [Williams, Chappell, 1971; Linnebur, Duderstadt, 1973; Bindslev, 1996; Lehtinen, Huuskonen, 1996; Zhang, He, Ruan, 2002; Froula, Glenzer, et al., 2011]. Это связано с тем, что мощность рассеянного электромагнитного излучения определяется интенсивностью флуктуаций электронной плотности, описываемых соответствующим уравнением Климонтовича для флуктуации фазовой плотности.

Процедура усреднения по ансамблю у Климон-товича (и в других ранее упомянутых работах) проводится на раннем этапе, и в этом смысле его метод не является строго микроскопическим. Кроме того, предложенное им известное уравнение эволюции оказывается замкнутым только в приближении са-модействия, а другое (незамкнутое) уравнение упоминается лишь в качестве иллюстрации и нигде в дальнейшем не обсуждается. Нам захотелось выяснить, почему Климонтович не использовал это уравнение и нельзя ли продолжить цепочку уравнений для микроскопических плотностей. Как оказалось, подобные вопросы задавались исследователями не так уж часто [Кузменков, 1991; Дрофа, Кузьменков, 1996; Гордиенко, 1999; Zhang, He, Ruan, 2002; Gerasimenko, Shtyk et al., 2011]. В этих работах не предлагалась полная цепочка уравнений: авторы либо ограничивались первыми двумя, либо «очевидным образом» писали сразу же последнее уравнение цепочки, либо по-другому определяли N -частичную микроскопическую плотность и т. п. Таким образом, насколько известно автору, ни в работах Климонтовича, ни в упоминаемых работах уравнения эволюции для микроскопических плотностей, похожие на уравнение Лиувиля или цепочку Бо-голюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона (ББГКИ), не были получены.

В рамках заданной уравнением движения модели газа, где частицы являются точечными объектами, а внутренние поля – короткодействующими, проведено строгое и последовательное построение системы зацепляющихся уравнений эволюции для многочастичных фазовых плотностей для одно- и многокомпонентного газа нейтральных частиц. Полезной особенностью этого подхода является то, что Р-частичная фазовая плотность определяется процессом построения уравнения для предыдущей (Р–1)-частичной фазовой плотности (1 ≤Р≤ N –1). Отметим также, что выражения для сил записываются в формальном виде: указывается только наличие или отсутствие зависимости этих сил от тех или иных динамических переменных. Такое обобщение придает большую наглядность полученным уравнениям [Yevstafiev, 2001]. Важно подчеркнуть, что для описания локальных макроскопических свойств системы частиц нет необходимости обращаться к процедуре усреднения микроскопических уравнений по ансамблю.

Из самого метода фазовой плотности следует, что переход к макроскопическому описанию системы можно осуществить [Tange, Inoue, 1979; Кузменков, 1991; Gabrielli, Baertschiger et al, 2006; Minkova, 2009; Gabrielli, Joyce et al, 2010] с помощью процедуры усреднения микроскопических уравнений по требуемому (в рамках решаемой задачи) малому локальному объему фазового пространства. Мы надеемся, что на основе предлагаемых уравнений можно будет с самых общих позиций оценить пределы применимости и характер получающихся (после усреднения) макроскопических уравнений.

Метод микроскопической плотности . Одно компонентный газ

В однокомпонентном газе (обобщение на случай многокомпонентного газа см. в следующем разделе) рассматриваются только те физические процессы, которые не меняют природы микроскопических частиц (молекул, атомов и т. д.) и не зависят от их структуры (частицы – точечные объекты). Предполагается, что в течение всего времени наблюдения молекулы газа не покидают некоторый фиксированный в пространстве объем V *, величина которого выбирается сколь угодно большой. Число частиц N в этом объеме не изменяется ( N = const ). Система N частиц, каждая из которых движется под действием полей как от заданных внешних, так и от ( N –1) внутренних источников, в каждый момент времени t обладает 3 N поступательными степенями свободы: соответствующими независимыми переменными считаются компоненты радиус-векторов всех N частиц. Цель динамического описания системы заключается в установлении закона движения i -й частицы ( i = 1, N ), выражающего зависимость ее радиус -вектора от времени r i ( t ). Такое выражение находится путем совместного решения системы N уравнений движения, каждое из которых в общем случае представляет нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно r i ( t ).

Напомним, что в приближении невзаимодействующих частиц уравнение движения является линейным и условие однозначности его решения требует определения шести постоянных интегрирования, для чего считаются заданными значения компонент вектора ri(t) и его производной dri(t)/dt=vi(t) в некоторый начальный момент времени t0, где t0

называют состоянием i-й частицы в момент времени t. Следовательно, задание начального состояния i-й частицы однозначно определяет закон ее движения:

ri (t) = ri (Xi (t0), t -t0), i = 1, N.

Для рассматриваемого в дальнейшем случая короткодействующих сил уравнение движения для нерелятивистских частиц удобно записывать в виде выражения для ускорения:

^vi (t) = ^fo(ri (t), t) + £ f (ri (t) |rj(t)), j=1

(j * i)

i = vN, где f0 (ri (t), t) - удельная сила (сила на единицу массы), показывающая действие на i-ю частицу в момент t поля от заданного внешнего источника, поэтому в результате пересчета она записывается как функция положения частицы ri(t) и времени t (для переменного источника). Второй член в правой части (2) представляет собой результирующее действие полей от внутренних источников, которыми являются (N-1) окружающих частиц. Зависимость силы f (ri (t) |rj (t) ) только от взаимного положения i-й частицы и внутреннего источника (j'-й частицы) отражает потенциальный характер этих полей. Чтобы подчеркнуть выделенную роль i-й частицы в уравнении движения, ее динамические переменные отделены от динамических переменных внутренних источников вертикальной чертой. Пусть XN(t) = (x1(t), x2(t),■■■, xN(t)) — совокупность состояний частиц системы в момент времени t. Тогда закон движения отдельной i-й частицы, получающийся из решения уравнений (2), имеет вид r (t) = ri (Xn (tо), t -1o), i = 17N, т. е. полностью определяется начальными состояниями всех частиц системы.

Обратимся теперь к понятию фазового пространства, образованного шестью взаимно ортогональными осями, на которых откладываются соответствующие значения декартовых компонент динамических переменных. В момент времени t состоянию i-й частицы (1) будет соответствовать отдельная точка фазового пространства, а состоянию всех частиц системы - облако N несовпадающих точек. Пусть x=(r, v) - произвольная точка фазового пространства (пространства состояний). Контроль за нахождением в точке x в момент времени t какой-либо из частиц осуществляется с помощью локальных микроскопических функций независимых фазовых переменных r, v и времени t. Значение такой функции отлично от нуля лишь в тех выделенных точках фазового пространства, которые совпадают с одним из состояний xi(t), i = 1, N. В этом смысле локальная микроскопическая функция зависит также и от динамических переменных всех частиц системы, хотя в явном виде такая зависимость не указывается. Физический интерес представляют микроскопические функции, интеграл от которых по фазовому пространству соответствует какой-либо локальной физической (макроскопической) величине [Балеску, 1978].

Простейшими такими функциями являются [Кли-монтович, 1982] микроскопические плотности числа частиц: в пространстве координат n(r, t) и в шестимерном фазовом пространстве N(r, v, t) = N(x, t), удовлетворяющие функциональным соотношениям:

+^

j n(r, t)dr = jj N(r, v, t)dvdr =

V *              V *-^

= j N (x, t) dx = N, где dr = dr1 dr2 dr3 = П dra, a=1

dv = dv1 dv2 dv3 = П dva, a=1

пределы интегрирования определяются свойствами рассматриваемой системы частиц. Климонтович предложил представлять эти плотности через дельта-функции Дирака следующим образом:

n(r, t) = £ 8(r-r(t)), i =1

N(r, v, t) = £ 8(r - ri (t) )5( v - vi (t)) = i = 1

N

= £8(x-xi(t)) = N(x, t), i =1

(4a)

(4b)

где

8( r - ri (t ) ) = П§( ra-rai ( t ))’ a=1

⁸(v ^-vi⁽t)) = H§( ^va^-vai⁽t)).

a=1

Функции Дирака как обобщенные сингулярные функции обладают следующими свойствами [Гельфанд, Шилов, 1959; Эккер, 1974]:

8( k - ki) = 5( ki- k),(III)

k - ki) = -^8( k - k^,(IV)

o kо f (ki )8(k - k ) = f (k)8(k - k),(V)

8( k'-ki )8( k - ki) = 8( k'-k )8( k - ki),(VI)

где все величины принимают только вещественные значения. С помощью свойства (I) легко убедиться, что выражения (4) удовлетворяют условию (3), т. е. они действительно являются микроскопическими плотностями.

Вид выражений (4) и учет того факта, что r, v и t -независимые переменные, позволяет свести процедуру построения уравнения эволюции для микроскопических плотностей к взятию от них частной производной по времени с правыми частями, рассматриваемыми как сложные (через динамические переменные) функции времени при условии, что N=const. При этом все члены результирующего уравнения должны быть преобразованы с помощью свойств (I-VI) так, чтобы они выражались только че- рез микроскопические функции и фазовые переменные [Yevstafiev, 2001]. Для микроскопической плотности n(r, t), такая процедура и использование свойств (II), (IV) дает уравнение эволюции в виде интегрально-дифференциального уравнения dn (r, t)     7    d

—----= - [ v • — N(x, t)dv, d t        J    dr

-7

которое не замкнуто, так как левая часть содержит определенную на 3-мерном фазовом пространстве плотность n(r, t), а правая выражается через 6-мерную фазовую плотность N(x, t). Напомним, что r и v - независимые переменные, поэтому вектор v вынесен из-под оператора дифференцирования по r.

Для величины N(x, t) получается промежуточное уравнение

V + v •    1N(x, t) = -У v, (t) •    5(x - x, (t)).

dt      dr )              ,=i        dv

Подставим в правую часть уравнения выражение для ускорения (2), предварительно записав его члены с помощью свойства (II) в следующем виде:

f (r, (t), t) = j fo(r', t)8( x" - x, (t)) dx"              (6)

f (r, (t) I r j (t)) = j f (r, (t) I r")8( x'- xj (t)) dx' =

= j f (r" I r")8( x" - x,( t) )8( x' - xj. (t)) dx'dx".

Отметим, что здесь подынтегральные выражения не зависят от фазовых скоростей, поэтому интегрирование по скоростям, согласно свойству (I), равносильно умножению на единицу. Однако с целью придания результатам большей наглядности мы оставили интегрирование по всему 6-мерному фазовому пространству. Используя теперь свойство (VI), а затем вновь свойство (II), получим окончательный вид уравнения эволюции для N(x, t):

!"+ v —+ fo(r,t) ~ |N(x, t) = dt     dr          dv)

= - [ f (r I r") • — N₂(x, x7 t) dx dv

где выражения для сил (не зависящих от v функций) были вынесены из-под оператора дифференцирования по v. Уравнение для N(x, t) оказывается незамкнутым из-за величины

NN

N₂ (x, x7 t) = У 8(x - x, (t)) У 8(x' - xj (t)) =

I=1                     j=1

(j *,)

= N(x, t)(n(x" t)-8(x"-x)), которая удовлетворяет условию j N2 ( x, x' t t) dxdx' = N ( N -1)

и поэтому является новой микроскопической функцией, называемой двухточечной фазовой плотностью. Находясь под интегралом в правой части уравнения (8) она контролирует, чтобы на любую из N частиц системы, оказавшуюся в выделенной точке x фазового пространства, оказывали суммарное воз- действие только те поля, которые созданы остальными (N-1) частицами. Таким образом, стоящую в определении (9) величину (n(x" t) -8(x"- x)) можно интерпретировать как микроскопическую плотность (N-1) внутренних источников для выделенной точки x. Назовем ее одноточечной плотностью внутренних источников (см. ниже).

После проведения достаточно громоздких преобразований [Yevstafiev, 2001] мы получим уравнение для N₂ (x, x " t):

^f — + v • —+ у'-Дл [f₀(r, t) + f(r I r')l • —+

I dt      dr       dr" [ 0

+ [f0 (r, t) + f (r" I r)] •    1N2(x, x\ t) = dv )

f (r I r") ^Л f (r‘ I r") •T^1X dv

XNз(x, x\ x", t) dx".

Уравнение также не является замкнутым, так как содержит новую величину

N

Nз (x, x^z, x", t) = У 5(x - x, (t)) X i=1

NN

X У 8(x'-xj. (t)) У 8(x"-xk (t)) = j=1

( j *i)                      (k^ j, k ^,)

= N2(x, x', t) (N(x", t) -8(x" - x) -8(x" - x")), которая удовлетворяет условию j N3 (x, x, x", t)dxdx dx = N(N -1)(N - 2),(13)

т. е. является микроскопической плотностью, названной трехточечной фазовой плотностью. Второй сомножитель в определении (12) (N(x , t) - 8(х"-х)— 5(х"-х)) интерпретируется как микроскопическая плотность (N-2) внутренних источников для выделенных точек x и x’, или как двухточечная плотность внутренних источников. Подчеркнем еще раз, что все выделенные точки, независимо от их числа, являются несовпадающими. Таким образом, трехточечная фазовая плотности представляет собой произведение двухточечной фазовой плотность и двухточечной плотности внутренних источников. Взаимное действие частиц из выделенных точек x и x’ учитывается получившимися в результате преобразований двумя членами, содержащими их удельные силы f (r I r") и f (r" I r) соответственно, перенесенными в левую часть уравнения (11).

Последовательное применение предложенной схемы к трехточечной, четырехточечной и т. д., вплоть до N-точечной фазовой плотности позволяет получить замкнутую систему интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию этих микроскопических фазовых плотностей. Чтобы убедиться в этом, построим уравнение эволюции для P-точечной фазовой плотности (1<P. Прежде всего введем новые обозначения для фазовых переменных, по которым проводится интегрирование:

(1)     '      (2)     "      (3)     "      (4)

x = x , x = x , x = x , x = x ,

По аналогии с определениями (4b), (9) и (12) и с учетом того, что N(x, t) = N1(x⁽¹⁾, t), запишем общее выражение для P-точечной фазовой плотности:

N_P (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ..., x⁽P), t) =

= N1 (x⁽¹⁾, t)fi N 1 (x^($+1), t) — L^§(x⁽s⁺¹⁾— xk) s=1 _                          k=1

где подразумевается П[....] = 1. Для (15) выполня-s =1

ется условие микроскопичности функции:

J N_P (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ..., x⁽P), t)dx⁽¹⁾dx⁽²⁾- dx⁽P) =

= N!                                      ⁽¹⁶⁾

= (N -P)Г

Уравнение эволюции для P-точечной фазовой плотности записывается как

| 1 ₊V ^f v⁽l>.       + f (r⁽l), t) •       11 x

( dt   L (     dr⁽l)    '    ’    dv⁽l) JJ

XN_P (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, .... x⁽P>, t) =

P

-JIZf(r•'¹Ir• P’"H^ IN„,„x

V l=1                   ^ov   7

X(x⁽¹⁾, x⁽²⁾, _, x^(P+1), t)dx⁽¹⁾dx⁽²⁾- dx⁽P⁺¹⁾,

где

P

f(r⁽l), t) = fo(r⁽l), t) + L f(r⁽l)lr^(k)) -           (18)

k=1

(k # l)

удельная сила, с которой на частицу, оказавшуюся в момент t в выделенной точке r^(l)пространства, будет действовать поле как от внешних источников (первый член), так и от частиц, расположенных в остальных (P-1) выделенных точках. Отметим, что второй член (18) входит в левую часть уравнения (17) под знаком суммы, поэтому P(P-1)/2 членов, содержащих удельные силы f (r⁽l)| r^(k)), описывают взаимное действие частиц, находящихся в P выделенных точках.

Последнее N-е уравнение, получающееся в рамках рассматриваемой схемы, принимает следующий вид:

-+у ^f v⁽l) • 9 + f (r⁽l), t) .Д-11 x dt ^LL V      dr⁽l)          ,     dv⁽l) JJ

XN_N(x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ^, x^(N), t) = 0.

Замкнутость системы уравнений обеспечивается условием, что число выделенных точек обязательно совпадает с числом частиц N в системе. В этом случае в фазовом пространстве источников не остается ни одной частицы и, следовательно, правая часть последнего N-го уравнения становится равной нулю.

Следует подчеркнуть, что любую P-точечную фазовую плотность можно выразить через N-точечную фазовую плотность с помощью следующего полезного свойства:

N_P (x⁽¹⁾

..., x⁽P), t) =------------X (N - P)!

xJN_N ( x⁽¹⁾,..., x^(N), t) dx⁽P⁺¹⁾••• dx^(N).

Это, в частности, означает, что принципиальная возможность решения уравнения (19) позволяет с помощью (20) без обращения к уравнениям (17) найти выражение для P-точечной фазовой плотности и тем самым завершить метод локального микроскопического описания рассматриваемой системы частиц. Отметим однако, что решение уравнения (19) требует задания начального состояния N-точечной фазовой плотности и, следовательно, начальных состояний всех N частиц системы. В реальных газах N>>1, поэтому практически решение уравнения (19) не представляется возможным. В этом смысле метод микроскопической плотности, как и ожидалось, не имеет преимущества перед динамическим подходом [Кли-монтович, 1982].

Метод микроскопической плотности. Многокомпонентный газ

Применим изложенный выше локальный способ для микроскопического описания многокомпонентной системы постоянного числа N точечных нейтральных частиц. Пусть число компонент системы равно Q, а индексы a, b, c обозначают сорт частицы:

a, b, c =1, 2, „., Q.

Пусть Na - число частиц сорта a, которое считается неизменным. Тогда

Q

У N = N ■ a а=1

В присутствии частиц разного сорта уравнение движения выделенной i-й частицы сорта а (а = 1, Q , i = 1, Na) записывается в виде

Na via (t) = f0 (ria (t ), t ) + L f (ria (t ) 1 rja (t » + j=1

( j # i)

Q  Nb

⁺L L ^{f (}ria⁽t )| rjb⁽t)).

b=1 j=1

( b ^ a)

В отличие от (2) здесь присутствует дополнительная третья группа членов. Выражения для сил от внутренних источников функционально зависят только от радиус-векторов частиц, что указывает на потенциальный характер соответствующих полей.

Нам предстоит выяснить, как многокомпонент-ность рассматриваемой системы частиц (появление новых сил) отразится на определениях многоточечных фазовых плотностей и форме уравнений эволюции для них. Первые две фазовые плотности определяются как

Na na (r, t) = L §(r — rai (t))’ i=1

Na

^Na⁽x, t) = L S(x^-xai⁽t)).

i = 1

Символ а означает, что в фазовом пространстве выбираются только те точки (г или x), в которых в момент t расположены частицы сорта а. Для фазовых плотностей (22) выполняется условие макро-скопичности:

J Na (x, t)dx = J J Na (r, v, t) dvdr = v * -                            (23)

= J n_a (r, t) dr = N_a.

V*

Уравнения эволюции для плотностей (22) принимают аналогичный (5) вид:

и, следовательно, является микроскопической функцией.

Опуская еще более громоздкие преобразования, запишем в окончательном виде уравнение эволюции для (29) - двухточечной фазовой плотности частиц сорта a:

f d d , d xd , d )

+ v+ v      + f (r, t)+ f (r , t)X

7 dt     dr      dr’         dv          dv’)

XN2 a (x, x \ t) = - JIf (r I r’^-) -    + f (r‘ I r’^-) -    ) X (31)

7        dv           dv )

^dna^r t) = — j v -^ N_a (x, t)dv,                (24)

∂t             ∂r

-∞

f д     d )_z ,

I 37+ v     I Na⁽x^,t) =

7 d t     dr )

_∂N_a

₂ ' £ va⁽t^{)8(x -}xa⁽t)). dv м

Подставим в правую часть (25) выражение (21) и по аналогии с (7) введем обозначения для различных удельных сил:

XN_3a (x, x‘, x", t) dx".

В правой части имеем трехточечную плотность частиц сорта a

Na

N3a (x, x‘, x", t) = £ 8(x - xai(t)) X i =1

Na                   Na

X £ §(x,- xaj (t)) £ §(x"- xak (t)) = j=1                         k =1

( j * i)                       ( k * j, k * i)

= N_2a ( x, x‘, t) (Na ( x", t) -8(x‘‘ - x) -8(x"- x

фазовую

^f0 ⁽ra⁽tX t) = J ^f0^(r‘, t⁾⁸( x' - xia⁽t)) ^dx‘, f (ria (t )l ra (t)) =

= J f (r" I r‘)8( x" - xia (t ))8( x' - x_ja (t)) dx‘ dx ‘, ^{f (}ria⁽t^)Irjb⁽t» =

= J f (г" I r‘) 8( x" - xa (t)) 8( x' - x^ (t)) dx ‘‘ dx ‘.

(26a)

(26b)

(26c)

Опуская громоздкие преобразования (в соответствии с изложенной ранее схемой), приведем уравнение эволюции для Na (x, t) - микроскопической

плотности частиц сорта a - в окончательном виде:

∂

+v⋅ d t

∂

— + f (r t)+ £ fb(r, t)]— X dr             b=1

( b * a)

для которой также справедливо условие микроскопичности

JN_3a (x, x- x", t)dxdx'dx" = N_a (N_a -1)(N_a - 2). (33)

Второй сомножитель в определении (32) (Na(x”, t)-8(x"-x)-8(x -x)) интерпретируется как микроскопическая плотность (N_a-2) внутренних источников для выделенных точек x и x’, в которых в момент t оказались различные частицы одного сорта a. Назовем ее двухточечной плотностью внутренних источников сорта a. В левой части присутствуют удельные силы

Q f (r, t) = f0 (r, t) + f (r I r‘) + £ fb (r, t),            (34a)

b =1

( b * a)

Q f (r‘, t) = f0 (r‘, t) + f (r‘ I r) + £ fb (r‘, t),          (34b)

b =1

( b * a)

XNa (x, t) = - J f (r I r‘) - dL n2 a (x, x- t) dx

В отличие от (8) здесь появилась новая величина

fb (r, t) = J f (r I r‘)Nb (x‘, t)dx' -                  (28)

удельная сила, действующая на частицу сорта a, находящуюся в момент времени t в выделенной точке r, со стороны всех N_b частиц сорта b (b^a). Двухточечная фазовая плотность частиц сорта a

обусловленные действием на частицы сорта a, находящиеся в момент t в выделенных точках r и r' соответственно внешнего поля (1-й член), результирующего поля от всех частиц другого сорта b (3-й член) и взаимного действия частиц сорта a (2й члДелня). того чтобы облегчить написание замкнутой системы уравнений в общем виде, удобно воспользоваться введенными ранее (14) обозначениями для фазовых переменных. Пусть P - некоторое целое число (1<P<N_a, a = 1, Q ). Тогда P-точечная фазовая

Na                Na

^N2a⁽x, xX t) = £ ⁸⁽x^-xai⁽t)) £ ⁸⁽x‘ ^-xaj⁽t)) = i =1                        j =1

(j * i)

плотность частиц сорта a

Npa (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ^, x⁽P>, t) =

= Na (x, t) (Na (x', t) - 8(x' - x))

удовлетворяет условию микроскопичности

p-1                             s

= N1 a (x" t)П N1 a (x^(s+1), t) - £ 8(x(^s+1)- x^k )

s=1 _                            k=1

J N₂a (x, x', t)dxdx‘ = Na (Na -1)                   (30)

является микроскопической функцией

J NPa (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ^, x⁽P), t)dx⁽¹⁾dx⁽²⁾- dx⁽P) =

=   Na^!

(Na — P)!'

Уравнение эволюции для нее имеет вид

- + Г^fv⁽¹) -Дг + f(r⁽l), t)-Л:^x dt t I     dr^{( 1})         ^,    dv^{( 1}) J J

XNPa (x⁽¹⁾, x⁽²⁾

P

, ..., x⁽P), t) =

-JI £f(r⁽¹) I r⁽P⁺¹⁾ 1

d I ^ J X

XN(P+1)a(x(1), x(2), ^, x(P+1), t)dx(1)dx(2) -dx(P+1), где

f(r⁽¹), t) = f₀(r⁽¹), t) +

Q

P

+ £ f (r l )| r k)) + £ fb (r, t).

k=1 (k * 1)

b=1 ( b * a)

Здесь так же, как и в (34), появилась дополнительная группа членов (3 слагаемое), учитывающих действие полей от частиц другого сорта. Физический смысл первых двух членов (38) такой же, как в (18). Отметим, что смешанные (с разными сортами частиц) многоточечные плотности отсутствуют, хотя изначально это было неочевидно.

Наконец, последнее уравнение эволюции, получаемое в рамках рассматриваемой схемы,

Na

- + УI v¹)-4- + f (r^{( 1}), t)-4т Il X dt 11     dr^{( 1})         ’    dv^{( 1}) J J

XNNaa (x У x⁽²⁾, ^, x⁽Na), t) = 0

так же, как и в случае однокомпонентного газа, является замкнутым. Действительно, из уравнения (37) следует, что при P=Na в правой части необходимо записывать (Na +1)-точечную фазовую плотность числа частиц сорта a. Однако, как уже отмечалось, число выделенных точек не может превышать само число частиц Na этого сорта в системе, поэтому (Na +1)-точечная фазовая плотность равна нулю, а значит, будет равна нулю вся правая часть.

Обсуждение

На основе строгого классического подхода к описанию динамического поведения отдельной системы микроскопических частиц для локальных многоточечных микроскопических плотностей получены уравнения эволюции, представляющие собой замкнутую систему зацепляющихся интегрально-дифференциальных уравнений. Динамические свойства объекта исследования - системы конечного числа точечных частиц - задавались уравнением движения, а сами вычисления проводились последовательно без использования каких-либо предположений и упрощений. Отмечено, что условие единственности решения дифференциального уравнения (19), (39) требует знания начального значения N-точечной фазовой плотности и, следовательно, начальных состояний N частиц. Поскольку в реаль ных системах N>>1, решение уравнения является практически невыполнимой задачей. В этом смысле метод микроскопической плотности эквивалентен динамическому подходу. Однако следует помнить, что фазовые плотности (15), (35) относятся к классу локальных микроскопических функций, которые сами не являются физическими величинами. Только интегралы от них по соответствующему фазовому пространству являются, согласно определению, локальными макроскопическими (физическими) величинами. Именно этот факт, а также структура уравнений эволюции и фазовых плотностей могут являться основой дальнейшего перехода к огрубленному макроскопическому описанию системы частиц, заключающемуся в пространственном усреднении членов микроскопических уравнений эволюции по некоторому выбранному (в зависимости от решаемой задачи) малому объему. Возникающие при этом проблемы предполагается обсудить позднее в рамках другой работы.

Было замечено [Yevstafiev, 2001], что форма уравнений эволюции совершенно не зависит от явного вида действующих в системе физических полей как функций динамических переменных. Поэтому в уравнениях движения (2) и (21) мы записали выражения для сил не в явном, а в обобщенном виде, лишь указав динамические переменные, от которых эти силы будут зависеть. Получившиеся расширенные уравнения эволюции приняли более структурированный вид. Считается, что в зависимости от решаемой задачи исследователь сам может задавать конкретные выражения для полей. Например, для релятивистских частиц в уравнении движения в выражениях для внутренних сил появилась бы зависимость от положения и скорости внутренних источников, причем взятых в запаздывающие моменты времени. В этом случае последовательное применение изложенной в работе схемы построения уравнений эволюции практически не меняет их форму (предварительный результат), но в микроскопических плотностях появляются зависимости от времен запаздывания (двухточечные двухвременные фазовые плотности и т. п.). Важно еще раз подчеркнуть, что свойства и структура микроскопических функций определяются автоматически в процессе применения предложенной в работе схемы построения уравнений.

Обратим внимание на то, что первое из уравнений эволюции (8) в приближении самодействия (в уравнении движения (2) пренебрегают условием j^i) преобразуется в уравнение Климонтовича. Действительно, приближению самодействия [Климон-тович, 1982] в фазовом пространстве соответствует исключение дельта-функции из выражения (9), т. е. проведение замены

N₂(x, x', t) = N(x, t)(n(x', t)-8(x'-x))^

^ N(x, t)N(x', t).

Уравнение (8) приводится тогда к виду f JL+ v -4 + Tf0(r, t) + f m (r, t)! -41N(x, t) = 0, ^ dt     dr L                 J dv J f m (r, t) = Jf (r I r')N(x', t)dx'.

Приближение самодействия и вводилось с целью получения (в рамках микроскопического подхода) замкнутого уравнения, напоминающего известное кинетическое уравнение Власова.

Хотелось бы отметить, что система зацепляющихся уравнений (17), (37), описывающая эволюцию микроскопической фазовой плотности отдельной конкретной системы N частиц, по форме полностью аналогична иерархии уравнений ББГКИ, описывающих эволюцию функции распределения микроскопических состояний систем ансамбля. Напомним, что уравнения ББГКИ получаются на основе уравнения Лиувилля путем его интегрирования, задания граничных условий и использования разных приближений. В нашем случае все уравнения получаются автоматически без привлечения каких-либо предположений. Если отметить, что последнее уравнение цепочки (19), (39) полностью совпадает по форме с уравнением Лиувилля, наличие такого сходства указывает на существование глубокой связи между двумя различными уровнями описания системы частиц.