m- измеримые операторы на JW- алгебрах

Всюду далее H означает вещественное гильбертово пространство, B ⁽ H ) - алгебру всех ограниченных линейных операторов в H . Напомним, что ^JW – алгебра – это вещественное линейное пространство

BH самосопряженных операторов из      , которое замкнуто относительно

aob = — ( ab + ba)

йорданова умножения       2         и замкнуто в слабой операторной топологии [1].

Пусть A— JW - алгебра, ^   - множество проекторов А, m - субаддитивная мера на A. Если a произвольный оператор на H , то через D(a) обозначим область его определения.

Определение 1 . Самосопряженный оператор а на Я называется присоединенным к A (обозначается a ⁿ A ), если все его спектральные проекторы принадлежат A .

Область определения D(а) оператора anA называется m - плотным в H, если для любого s > 0, существует проектор p€^ такой, что р(Н) ^ D^a   m (p^) — s и                .

Самосопряженный оператор a называется m – измеримым, если

• (I)     ^а П A ;

• (II)    Область определения D ⁽ a ⁾ оператора a ^m -плотна;

Теорема 1. Пусть ^{a p} A плотно определен.

a

m

– измерим.

• (I)    – измерим тогда и только тогда, когда

  (II) Пусть ^a - 0, и пусть

  
  

  +да

  a = j A de_A

  
  

  – спектральное разложение

  
  

  a

  
  

  ^m ( ^e л ) ^ ⁰

  Тогда - измерим тогда и только тогда, когда ^Л ’    при ^л ^^

  
  

  .

  
  

  Доказательство. (I) следует из факта

  
  

  D ( ^a ) = D (| ^a |) и a n A ^ | ^a| п A

  
  

• (II) . Доказательство достаточности очевидно. Докажем необходимость. Пусть a положительный самосопряженный m – измеримый оператор. По определению 1, существует p ^е^ , m ⁽ p ^{)_ £} ( ^£ >  ⁰, фиксир.) p ^{( H ) с} D ^{( a )} .

U_na = pap                              D( pap) = H

.

В этом случае ^p        является замкнутым оператором,

p(H) ^ Dia)     m ( e л ) ^ £

Отсюда следует, что ^pp ограничен. Так как             , то ^{Л J} для

• Л - pap                                m ( e j ) ^ 0

. Из произвольности е следует, что ^Л ’    . Теорема доказана.

Множество m – измеримых самосопряженных операторов обозначим через

^Lm. Пусть операторы a и b – измеримы.

В гильбертовом пространстве сумма операторов ^{a +} b , вообще говоря, может быть не замкнутой. Поэтому замыкание оператора ^{a +} b назовем ^m -суммой.

a°b = —( ab + ab)

Замыкание ab и        2           назовем соответственно ассоциативным и йордановым т –произведением.

Теорема 2. Пусть a и ^b m –измеримые операторы. Тогда замыкание ^a + b m - измеримо.

Доказательство. Достаточно показать, что ^{( a + b ) n} A определения D ^{( a + b )} оператора ^{a + b m} -плотна. Известно, что

и область если anA и

b p A ,  то ( а + b ) п А

.

Пусть D ( a ) и D ( ^b ) m –плотны.

Так как

D ^{( a} + ^b) = D ( ^a )n D ( b l     о p , ⁽ H ⁾n P ₂ ⁽ H ⁾ , то полагая

p = p l ^Л P 2

имеем

D ^{( a} + b ) ° ^{p (} H ) , дл_Я некоторого p ^e^ , m^p ~^£ . Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть операторы a и ^b m – измеримые. Тогда замыкание ^ab – m – измеримо.

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Нетрудно заметить, что множество m– измеримых самосопряженных операторов Lm является Йордановой алгеброй. Это вытекает из теоремы 2 и 3, с помощью простых переобозначений.

Пусть A - JW - алгебра, m - субаддитивная мера, L m - Йорданова алгебра m - измеримых самосопряженных операторов, присоединенных к A . Теперь определим топологию в L m , согласованную с алгебраической структурой в L m .

Положим:

^M °A ( m ) = ^M °A = { a ^ ^L m , ³ P ^{€ V} , ^U p a ^{€ A ,}| Upa\\ <  ° , m ( P ¹ ) <  ^A }      _£>0

, где °     ,

A >  0

+∞

x = ∫ λde

Пусть ^-∞

e * ^ &  при Л ^-ю _и

- спектральное разложение элемента x . Так как ^e * ^ ¹ при ^Л ^ +® , то для всякого ^A >  ⁰ существует

число такое, что при

m ( e ) < A |e ¹ x || = | U 1 — e x || <  K A

^x         m ( e ∨ e ^⊥ ) ≤ δ                   ^⊥

^{Л _} K ^s имеем ^{- л л}' , и если ^e  e ^{- Л v e} * ,

λ M = M

Теорема 4. a)      ^,      *° ^{, A} , если ^Л ^ ⁰;

• _б)    ^M ° i , A i + M 2 , A 2 ^{C M} ° i + ° 2 , A . +A 2 _;

• _в)           ( - Л , * ) x c M_e ^ , _где * e R , x e A , A >  0, ° = *| x |I _;

. M \ c M.     M 2 = i_a ², a e mA

• г)        ° ^{, A}        ° 2 ,2 A где     ° ^{, A}         ,           ° ^{, A} ;

• д)    ^xM_e,^{A c M}si,s ¹, где ° i = ° ^{K a} , A ¹ = ^{4 A} . в частности, если ^{x e A} , то xM ⊂ M

° , A           x|° ,3 A .

;

• е)    если ° <  1, то ^M ( °^{A )0V} = ^{{ e e V} , m ⁽ e ) < ^A } ;

П M °A = { 0 }

° > 0

• ж)     ^A > ⁰             .

• з)    Если &  <  y < ^{x e M} ° ^A , то, y ^{e M} e,s   т.е. все множества ^M ° ^A

заполнены.

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 6.1 из [4], кроме свойства (д). Приведем доказательство этого свойства. Пусть y ∈ M                                        U x = ex ≤ K ^x

• x е A,  J     ° , ^A  и , ^p      - такие идемпотенты, что ^{e            s},

m ( e ^⊥ ) ≤ δ ,

II ^U P y\ <  ° , ^m ( p ¹) <  ^A .

Положим и = ех ’ ^u = ^{e 1 x}. Тогда ^x = u ^{+ u} , M <  ^K = K x , ^{e u} = ⁰. Если ^{x e} A ,

K = x ll то нужно положить: е =¹ ,

, т.е. ^u = ⁰ .

Пусть элементов

и = u ₀ + u + u

u

и

^{, y}

У = У о ⁺ У 1 ⁺ У 1

по

–

пирсовские разложения

идемпотенту

p

.

Положим

e = r

( У u 1

к 2 J

1    1

, e 2 = r y 1   , q = p ^л e ^{л е} 1 ^л e 2 .

e = e ‘ + e ‘ , e₂

к 2 J

= ^e 2 ⁺ e 2 , где ^e i ^e i = ⁰ , ^e i

и

В силу следствия леммы 2.3 из [1] ^ei эквивалентны через симметрию и

e1 - p (i  1,2). Следовательно m ( q 1) = m ( p1 v e1 v e1 v e2 ) = m (p1 v e1 v efv e")<

- m ( p ¹) + m ( e ¹) + m ( e f ) + m ( e ’ ) - 4 m ( p ¹) - 4 ^

и y e J _o ( e ) + J ( e ) xy = ( u + и I y = uy + u y           ue J e)                  -

Далее,                         . Так как      0    , то               2

U (uy) = 0     Uq (uy ) = U Juy ) = UU (uy ) = 0         q

Поэтому

^Uq (xy ) = ^Uq^Up (uy^{+ u}y ) = ^Uq (uy ) = ^Uq^Up^(U1 y1 ⁺u 1 y 1 ⁺u0у0 ⁺u 1 у0 ⁺

22        2

+u 1У1 + U1 y 1 + u 0 y 1

2  22

= UU qp

(           У

^U1У1 ^{+ u} 1У1

к         2  2 J

= ^Uq

(           У

^U1У1 ^{+ u} 1У1

к         2  2 J

qu_{ = 0     u e J_o(q)

следовательно, 2    , т.е. 2

y 1^eJ0 (q)

Аналогично, 2        и,

Поэтому    ^{Uq (}x^y) ^{Uq (u1 У1}).

^u 1У1 ^{e J}0 (q )

значит, 22        , т.е.

Ho      ll^u1 У111 <1 l^u1ll Пул< ^Ks.

Uq ^u 1У1

к 2  2 J

= 0

Так как

II^u1ll^ull<^K(^u1=Up^u).   _Итак

|| Uq⁽xy ^^l ^u1 У111^{- K£}

m ( q 1)< 4^

, т.е.

^{xy e}MK£,4S

.

Из доказательства

видно, что если

x e A

ху e M то z       llx k,3^.

Теорема доказана.

{M.^L >⁰

образует базис окрестностей нуля

Отсюда заключаем, что для некоторой топологии вLm , согласованной со структурой линейного пространства в Lm . Так как эта топология удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа (M11, п = 1,2,...)

и существует счетный базис окрестностей нуля n,n          , то она метризуема.

Определение 2. Топологией сходимости по мере ^m на ^Lm назовем топологию, в которой базис окрестностей нуля образуют множества вида:

{M £3 L >0

.

–

Определение 3. Будем говорить, что последовательность m измеримых самосопряженных операторов {an} m - сходится по мере к оператору a g Lm, если {an} сходится к а в топологии на Lm с базисом

m окрестностей нуля Ms3 (обозначается: am ^a.).

a,b) ^ ab g L g L x L

Теперь докажем, что отображение     ,          m m m непрерывно в этой топологии.

Теорема 5. Множество m – измеримых самосопряженных операторов ^Lm является топологической йордановой алгеброй.

mm a, a„, b, b g Lm , n,  , n m

,

Доказательство. Поедположим, что am ^ a, bm ^^b, m

m an ^ 0

,

n l,2v. Докажем, что an⁰bn ^ a°b. Если a - b - 0, то из того, что m

b ->0          a g M. b g M n    следует, что     33,     3. Тогда по теореме 4.

anobn -2

an^{+ b}n ) - an^{- b}n ) ^G 2 {^M^ +£₂,31 +3₂

+m2_9я + m_2?ic ^£1 ,2^1         ^£2 ,2^2 J

с¹MMf     _z + M_{2 s} Л с¹M,    _z c M,

₂(    (^1 +^2) >2(^1 +З2)        ^£1^+£2,²⁽³1 ⁺³2 )J     2    (£1 +£2) ,2(^1 +З2)        (g1 +£2) ^^

.

m

Пусть теперь ^an^-а ,^{b - 0} или а^-0, ^bn^{- b}. Так как ^bn ^ ⁰, т.е. ^{b G}M^{£ 3} an^obn^{- 0 - ao}b_n^gM^{c M}^

то                      >     к3 >43 (по теореме 4 (д)). Далее, общий случаи приводится к вышеупомянутым специальным случаям соотношениями:

m a„ ob- — a°b - (a„ °b„ - a °b) + (a°b - a°b) - a„(b„ - b) + (a„ - a)b„ ^ 0

т.е.

n   n            n   n    n         n                nn          n      n

, a°bn g M        £ ,3

^{n    £131}, где 1, ¹ вычисляются как и выше. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим связь между множеством

операторов ^Lm

m

~

–

измеримых

и топологической йордановой алгеброй A , определенной в

[4], в случае, когда ^{А – JW} – алгебра.

Теорема 6 . Если ^{A– JW} – алгебра, то топологическая йорданова алгебра A^ˆсовпадает с множеством m – измеримых операторов ^Lm .

Доказательство. Пусть ^{A –JW –} алгебра, m – субаддитивная мера.

+да

a g L

Пусть    ^m– произвольный элемент,

a - j Ade^

-да

его спектральное

+n

a( n) ^-J ^AdeA

.

Очевидно, что они

разложение. Рассмотрим элементы       -ⁿ

t a ^ a ограничены и (n) . В самом деле, пусть й,^ > 0. Докажем, что существует число n0 и для всехn “ n0, a(n) a ^ ^s^. Так как e^ ^ ^ при Л ^ -ад и e^ ^1 при A ^ ,'x, то для всякого S > 0, существует число 0 такое, что при 0

m (e имеем

A)ss

.

P = ei л e„

Положим     ^{n0   n 0}

.

Тогда

+n

U a =  Ade. = a, _A

P                ^A      (n)

—n

.

U„ (a_t —- a) = U a_A — U „a = a, _A

Отсюда следует, что ^p'⁽ⁿ)          ^{p (n}) ^{p     (n}n

—

a

(ⁿ)

= 0

. Значит,

a € M.S сходимости по

• ⁽ⁿ)     ^, . Следовательно, пополнение A по топологии ¹

мере есть Lm . Из этой теоремы следует, что подходы к построению

измеримых элементов для A относительно субаддитивной меры в [2] и [3] равносильны. Теорема доказана.

Использованные истчоники:

• 1.    Аюпов Ш.А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебрах. Ташкент; Фан, 1986, 124 ст.

• 2.    Ciach L.J. Subadditive measures on projectors of a fon Neumann algebra. 1990, Warszawa, 68p.

• 3.    Каримов А.К. Субаддитивные меры на йордановых алгебрах. Узб.мат.журнал, 1993, №4, с.42-47.

• 4.    Бердикулов М.А., Кодиров К.Р. Свойства топологии сходимости по мере относительно субаддитивной меры. Тезисы докл.Респ. науч. Конф. По теор.вероят. и мат.стат. Фергана-95, с.24.

"Экономика и социум" №1(68) 2020