Многокомпонентные ранговые коды

1.    Подпространственные коды

Подпространственный код - это некоторое множество подпространств из заданного пространства. Пусть задано конечное n-мерное пространство W = G F(q) над конечным полем GF (q). Пусть W(п,т) - множество всех т-мериввх подпространств пространства W. которое называется т-грассманнианом. Размер грассманниана определяется с помощью гауссовых коэффициентов:

| w („,т)| = [" 1 =, ⁽q"^{- г)}^ ^- «>... -1>.

1 V П    [ mJ (qm - 1)(qm - q) ... (qm - qm-1)

Между двумя подпространствами U, V E W определяется подпространственное расстояние в виде dsub(U,V) = dim(U WV) - dim(U nV ) = = dim(u) + dim(V) - 2 dim(U П V), где U W V означает минимальное подпространство, содержащее оба подпространства U и V. U nV- пересечение п<щпрострапетв. a dim(-) - размерность пространства. Если U и V одной и той размерности т, то подпространственное расстояние равно dsub(U, V) = 2(т - dim(U nV)) = 25,

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022

где 5 = т — dim([7 П V ). Это расстояние называется грассманниановой метрикой.

Если код состоит из элементов т-грассманниана W (п, т) с числом кодовых подпространств \М |, минимальным расстоянием dsub и размерностью т, то он называется кодом постоянной размерности и обозначается (М, п, dsub,т) Подпространственный код постоянной размерности с максимальным расстоянием dsub = 2т, равным удвоенной размерности, называется спредом. Подпространственные коды постоянной размерности с расстоянием, отличным от максимального, называются неспредами. Параметры спреда, как и неспреда, таковы: длина п = ті + s, где т - размерность, t и s - целые числа, причём 0 <  s <  (т — 1). Ес :.tii s = 0. то спред пазыватся полным, при s >  0 - частичным.

В работе [1] приведены многокомпонентные подпространственные коды с компонентами различной размерности. Показано, что мощность такого кода равна сумме мощностей компонент и существенно увеличивается за счёт мощности компонент.

Известно, что мощность кода является его важной характеристикой: чем больше мощность, тем больше информационная скорость передачи. Поэтому построению кодов большой мощности, а особенно нахождению верхних и нижних границ мощности подпространственных кодов, уделяется много внимания (см., например, [3]- [7]).

Данная работа является обзорной по тематике подпространственных многокомпонентных ранговых кодов. Она состоит из трёх частей. В первой части представлены опубликованные ранее (с ссылками) результаты работ по многокомпонентным лифтинговым кодам Габидулина постоянной размерности с максимальным кодовым расстоянием (спредам), во второй части представлены недавние работы по этим кодам с расстоянием, отличным от максимального (неспредам). В третьей части приведены новые результаты по оценке мощности многокомпонентных кодов различной размерности.

• 2.    Коды постоянной размерности с максимальным кодовым расстоянием

  2.1.    Коды SKK

В работах [8], [11] авторы подробно описали конструкцию своего подпространственного SKK-кода, названного по первым буквам фамилий авторов. Этот код предназначен для передачи по сети с помощью случайных линейных преобразований [12]. Иногда этот код называют лифтинговым кодом Габидулина. Именно конкатенация единичной матрицы с матрицей рангового кода Габидулина дало это название.

SKK-код состоит из множества матриц вида

MSKK = { (Im Mmx(n-m) ) } , где Im - единичная матрица порядка т, a Mmx(ra-m) - кодовая матрица размера т х (п — т) из матричного рангового кода Mrank с ранговым расстоянием drank = 5 [2]. Подпространственное расстояние кода Mskk равно удвоенному ранговому расстоянию матричного кода. Матрица рангового кода Mmx(ra_m) раз мера т х (п — т) с элементами Огу базового поля GF(q) имеет следующий вид [2]:

/   О0,0      О0,1     . . .    °0,n-m-1\

О 1 , 0        О 1 , 1      . . .      U1,n-m-1

. •                                ••

• •                                •                     . . .•

2.2.    Многокомпонентные коды

\ °m- 1 , 0 °m- 1 , 1 . . . °m- 1 ,n- m- 1 /

Мощность SKK-кода равна числу кодовых слов рангового кода с ранговым расстоянием drank = 5 п длиной ранговых слов (п — т);

M-mv = |Mrank| = q^1^,(1)

где k = т — 5 + 1. 5 < т для песпрелов іі 5 = т для спредов.

Многокомпонентные префиксные коды, или многокомпонентные коды с нулевым префиксом (МНП), являются обобщением кодовых конструкций SKK-кодов:

1-я

2-я

компонента (Im Mmx(n—m))'

компонента ( 0 mx8 I m M^n—m—8))-

^{(t -}

2)-я компоікчгш I ^-

'mx8 • • • 0 mx8

I m

t—2                \ mx(n—m—(t—3)8)

t—3

(t -

1)-я компоікягта I ^-

'mx8 • • • 0 mx8

I m

Mt-1           \ mx (n—m— (t—2)8)

t-Я

компонента I ^

t—2

'mx8 • • • 0 mx8

I m А

t—1

Выше представлена структура многокомпонентного рангового кода для случая п = tm. Здесь I_m - единичная матрица порядка m, 0_mx8 - нулевая матрица размера тхб, п- длина кодового слова, т - размерность компоненты. Mm_xj ~ рангова,я матрипа Тй компоненты размерности т х j. Многокомпонентный код - это объединение нескольких компонент. Первая компонента - это SKK-код. Конструкции многокомпонентных кодов выбраны таким образом, чтобы подпространственное расстояние между компонентами было не меньше, чем подпространственное расстояние между кодовыми словами в каждой компоненте.

Подпространственные многокомпонентные коды с максимальным расстоянием впервые предложены Габидулиным и Боссертом в 2008 и 2009 годах в совместных работах [9], [10]. В них приведены следующие основные результаты. Доказаны следующие леммы. (Доказательства здесь не приводим.)

Лемма 1. Пусти U и V - подпространства из п-мерного векторного пространства. Подпространственное расстояние месисду ними равно d(U, V ) = п, если и только если

• 1)    подпространства U uV пересекаются тривиально, то есть общее подпространство - это подпространство размерности нуль;

• 2)    размерность объединения подпространств равна dim(U) + dim(V) = п.

Доказаны теоремы. Пусть С - код с максимальным подпространственным расстоянием d(C ) = п.

Теорема 1. Если п - нечетное число, то мощность любого кода С с подпространственным расстоянием п рае на |С| = 2. Такой код состоит из двух подпространств С = {U, V}, где U и V пересекаются тривиально и dim(U) + dim(V) = п.

Ситуация другая, если п - чётное число, пусть п = 2m.

Лемма 2. Если код С с максимальным чётным расстоянием п состоит из |С| > 3 элементов, то все элементы попарно пересекаются тривиально и имеют одинаковую размерность п/2 = т.

Кроме того, доказана лемма.

Лемма 3. Мощность кода С с максимальным чётным расстоянием п = 2m удовлетворяет условию

|С| 6 q^m + 1 .

Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Существует код С с максимальным нетным расстоянием п = 2 т и с максимальной мощностью

|С| = q^m + 1 .

Определено множество rn-мерных подпространств в коде С с помощью следующих базисных порождающих матриц:

т

[1т ^От], [J-т !т\, [Jm ^А] , " " "  , [Jm ^А

2] , [От 1т].

Число матриц в этом множестве равно д^т + 1. Все матрицы имеют полный ранг т. Следовательно, соответствующие подпространства имеют размерность т. Показано, что такие подпространства попарно тривиально пересекаются. Пусть S - подпространство с порождающей матрицей М(S ) = [ - _т О _т], a Vj , j = 0 ,..., д^т — 2 - подпространства с порождающими матрицами М(Vj ) = [1_т А³ ], где R - подпространство с порождающей матрицей М(R) = [О_т 1_т]. Тогда имеем

dim( S W V j ) = Rk   - т -т	А"] )=2т	^	dim( S П Vj ) = 0 ,
dim( S W R ) = Rk -т От	О т1) = 2 т -т	^	dim( S П R ) = 0 ,
dim( V W V j) = Rk -т -т	А ])=2т	^	dim( V П V j) = 0 ,
dim( V W R ) = Rk  -т От	- т ])=2т	^	dim( V П R ) = 0 .

Следовательно, код, определённый с помощью (2), является оптимальным кодом с расстоянием п = 2т.

2.3.    Мощность МНП-спредов

Существуют оптимальные полные спреды и для некоторых параметров оптимальные частичные спреды. В работе [4] рассматривались МНП-спреды, то есть спреды, построенные по принципу многокомпонентных кодов с нулевым префиксом (МНП) [9]. Для оценки мощности МНП-спредов были использованы результаты работы трёх авторов Honold-Kiermaier-Kurz (НКК) [13], в которой сформулированы две важные теоремы. В наших обозначениях они таковы. Позволим себе дать нашу интерпретацию этих теорем со своими обозначениями.

Теорема 3. Если 0 < s < т и т > qs, то максимальная мощность подпространственного q' q"    ■ q"    .

ут-1

кода равна, Мнкк1 =

Полученное выражение совпадает с мощностью нашего МНП-кода при тех же параметрах. Это значит, что для приведённых в теореме параметров 0 q^s мощность нашего МНП кода достигает верхней границы. Вторая теорема этой работы такова.

Теорема 4. Если 0 < s <  (т — 1) и т <  q^s, то максимальная мощность подпростран-т ^m + s । ^m1

ственного кода равна Мнкк2 = "— ^У _{ц т-}і --+ 7;

где параметр 7 >  1 вычисляется дополнительно. В работе [4] проведены расчёты для неполных спредов при q = 2 и параметрах, указанных в этой теореме. Расчёты показали, что мощность МНП-кода по отношению к верхней границе составляет более 90 процентов для параметров пот 8 до 19, для тот 3 до 7, для so т 2 до 5. Так что в таких случаях неполных МНП-спредов их можно считать по мощности субоптимальными. Таким образом, было показано, что МНП-коды с максимальным кодовым расстоянием при определённых условиях достигают верхней границы мощности.

2.4.    Границы мощности неспредов

Коды постоянной размерности с кодовым расстоянием, меньшим максимального, называются неспредами. В ряде работ (в частности, [3], [5], [7]) показано, что значительное увеличение мощности подпространственных кодов может быть достигнуто за счёт относительного уменьшения подпространственного расстояния при переходе от спредов к неспре-дам.

Сначала покажем известные границы мощности кодов-неспредов. В работе [3] авторами приведена верхняя граница мощности подпространственных кодов. Обозначим её первыми буквами фамилий авторов в латинском алфавите, то есть WXSN (Wang-Xing-Safavi-Хаіш). Граішпа WXSN имеет вид

Ад (п, 25, т) <

I :1 |т|

Здесь в числителе и в знаменателе стоит гауссовский биномиальный коэффициент и к = т — 5 + 1. п - дтіша. 25 - подпрострапетвеппое кодовое расстояние, т - размерность. Подставив в эту формулу гауссовский биномиальный коэффициент в числитель и знаменатель, запишем верхнюю границу WXSN в таком виде:

А_д (п, 25, т) <

(qⁿ — 1)(q^n-1 — 1)... (q^-^⁵ — 1) (q^m — 1)(q^m-1 — 1) ... (q⁵ — 1)

Задавая значения параметров п, 5, т, получаем максимально возможное значение мощности неспреда, если 5 = т. Для спреда 5 = т. Подставляя это значение в формулу (3), получаем границу в виде известной формулы А_д(п, 2т,т) = д ) — • Пусть п = 2т, тогда А_д(2т, 2т, т) = 2^т +1. Отметим, что такое же значение мощности при тех же параметрах даёт лифтинговый ранговый код.

Теперь сделаем кодовое расстояние немного меньше, то есть зададим 5 = т— 1, получим неспред. В этом случае верхняя граница WXSN такова:

А_д(2т, 2(т — 1), т) =

(q2m — 1)(q2m-1 — 1) (qm-1)(qm-1 — 1)

Для тех же параметров лифтинговый ранговый код показывает следующее значение мощности: \М (2т, 2(т — 1),т)| = 2^km, г де к = т — (т — 1) = 2. Сравним эти мощности при двух значениях размерности. Пусть размерность мала, то есть, например, т = 3, тогда при q = 2 имеем

А_д(2т, 2(т — 1), т) = (2 3 - 1)(2 _{2 -} 1) = 93 11 |М(2т, 2(т — 1), т)| = 2⁶ + 1 = 65.

Отношение мощности лифтингового рангового кода к границе равно Чм/wxsn — 0.7. (2²⁰-1)(2¹⁹-1)

Пусть размерность т = 10. тогда А_д(2т, 2(т — 1),т) = (210-77(29-1) — 1051622 и |М(2т, 2(т — 1),т)| = 2²⁰ + 1 = 1048577. Отіюшеіше ^_M/wxs_N — 0, 997. Как видим, при больших размерностях мощность лифтингового рангового кода близка, то есть практически равна верхней границе WXSN.

В этой же работе [3] имеются ещё две верхние границы мощности - граница Джонсона I и граница Джонсона II. Граница Джонсона I имеет вид

Ад(п, 25, т) <         п5         , т2 — п(т — 5)

и она выведена при условии т2 > п(т — 5). В формуле скобки означают ограничение снизу. Так как для спреда размерность равна удвоенному кодовому расстоянию, то есть (т = 5), поэтому приведённое выше условие всегда выполняется. В этом случае граница может применяться. Что касается неспреда, то (т > 5) и при некоторых значениях параметров (например, т = 10, п = 20, 5 < 5) условие не выполняется. Поэтому этой границей мы здесь не будем пользоваться. В данный момент нас интересует увеличение мощности при переходе от спреда к неспреду путём уменьшения кодового расстояния.

Выберем некоторый спред с параметрами (п, d_sub = 2т, т) и неспред с параметрами (п + 1,d_sub = 2т, т + 1). Подпространственное расстояние прежнее 2т, что меньше удвоенного нового кодового расстояния 2(т + 1). По критерию Джонсона II мощности этих двух кодов связаны неравенством

А_ч(п, 25, т) <

qⁿ - 1 I

L q^m — 1J

А_ч(п — 1), 25, т — 1.

Как показано в работе [7], при больших размерностях ( т > 10) мощность лифтингового рангового кода практически совпадает с верхней оценкой по Джонсону II.

2.5.    Коэффициенты увеличения мощности

В работе [7] показано, что неспреды можно построить как из кода SKK, так и из мно-гокомпонентых кодов, в которых SKK является первой компонентой. Сначала используем многокомпонентные коды в самом простом варианте, то есть состоящим из двух компонент, первая компонента - SKK, а вторая является конкатенацией нулевой матрицы размера т х (п — т) и единичной матрицы порядка т. Добавление второй компоненты к SKK даёт дополнительно к коду SKK всего одно кодовое слово. Такой код относится к двухкомпонентным лифтинговым кодам Габидулина.

Рассматриваем спред М(п, 2т,т) с п = 2т максимальной мощности:

ІМ(п, 2т,т)| =      1 = М₈кк + 1 = 2^k^^-m) + 1,

2т — 1

где к = т — т + 1 = 1, и при п = 2т имеем 2^т + 1. Теперь, не меняя подпространственного кодового расстояния, увеличиваем каждый из параметров - длину и размерность - на единицу. Получили неспред М(п + 1, 2т, т + 1). Вычисляем мощность | М (п + 1, 2т, т + 1) | этого кода., для которого к = (т+1) — т+1 = 2. то <ють |М| = 2^fc((n+¹)^-(m+¹)) + 1. Отношение мощности неспреда к мощности спреда для нашего кода Kc_ab назовём коэффициентом Габидулина. Kq^ показывает, во сколько раз увеличивается мощность за счёт заданного, небольшого изменения параметров, уменьшающих относительное кодовое расстояние. В данном случае KgoM = ^щу-++¹ = 2щН+т • Теперь перейдём к построению неспреда и оценке мощности по Джонсону. Берём ближайший спред. Мощность спреда вычисляем по известной формуле для максимума:

А

max

2п

2т

— 1

I ’

что при п = 2т даёт точно такое же значение мощности, как и для нашего кода, то есть |А| = 2^т + 1. При увеличении на единицу каждого из параметров - длины и размерности - переходим к неспреду, увеличив мощность в коэффициент Джонсона Kj_ohi = ^т+Д1 • Максимальная мощность неспреда. по Джонсону равна.

2»+1 — 1

Amax = (2 + 1)2т+1 — 1.

В данном случае отношение мощностей рассматриваемых неспредов равно отношению соответствующих коэффициентов:

K_Gabi = 2^2m + 1 2^m+1 — 1

K_joh1   2^2m+1 — 1 2^m + 1 .

Это отношение меньше единицы, что очевидно при любых положительных значениях параметра т, обозначающего размерность. При малом т = 2 отношение примерно (с точностью до третьего знака после запятой) равно 0,667, а при т = 10 (считаем это значение большим)отношение равно примерно 0,999. В работе даны подробные оценки этих коэффициентов и показано, что при т > 10 отношение практически равно единице.

2.6.    Сравнение с реальными данными

Возьмём примеры неспредов из статьи [6] с авторскими оценками мощности и сравним с мощностью нашего двухкомпонентного кода. В этой статье конструкции кодов состоят из двух параллельных версий ранговых кодов с максимальным кодовым расстоянием. Можно условно принять, что эти коды схожи с нашими двухкомпонентными кодами.

Рассмотрим код мощности |A(12, 6, 6)| = 16865101.

Строим наш двухкомпонентный МНП-код и вычисляем мощность кода по формуле (1). Получаем мощность |М| = 16777217. Вычисляем отношение Чм/с = 16755107 — 0.995-Мощности практически совпадают.

Теперь рассмотрим другой пример - А( 18,6,9). Чтобы применить критерий Джонсона II, сначала возьмём ближайший спред А( 12,6,3) и будем последовательно вычислять коэффициенты Джонсона и промежуточные значения мощности:

212 - 1

|A(12, 6, 3)| = —— = 585.

23 - 1

213 - 1

|A(13,6,4)| = Kjohi|A(12,6, 3)| = —— |А(12, 6,3)|.

2 -1

214 - 1

|A(14,6,5)| =К_7оЛ2|А(13, 6,4)| = ₁2_5-1-|A(13, 6,4)|.

215 - 1

|A(15,6,6)| = ^^(14, 6, 5)| = 26    . |А(14, 6,5)|.

216 - 1

|А(16,6, 7)| =K_7oM|A(15, 6, 6)| = -27-1 |A(15, 6,6)|.

217-1

|A(17,6,8)| =^5^(16, 6, 7)| = -28-1 |А(16, 6, 7)|.

218 - 1

|А(18,6,9)| =Кцоһб|А(17,6,8)| = -5—— |A(16,6, 7)| = 11947657998178407606.

29 - 1

В   результате   этих   расчётов получаем максимально   возможное   значение   мощности   Amax по Джонсону   для примера   A(18,6,9)     =

= K_JohiK_Joh2K_Joh3K_Joh4K_Joh5K_Joh6A(Y2, 6,3) = 11947657998178407609. Для лифтингового рангового кода мощность |М(18, 6, 9)| = 29^к + 1 = 9223372036854775809. Отношение Чм/Jon — 0.772. Предполагаем, что рекуррентное применение неравенства Джонсона II сильно увеличивает верхнюю границу мощности, тем самым занижает другие оценки.

3.    Многокомпонентные коды различной размерности

Рассмотрим многокомпонентные коды, компоненты которых имеют различные размерности. Конструкция таких МНП-кодов приведена в книге Габидулина 2020 года [1], где указаны основные параметры и формулы. Пусть т^ - различные значения размерности. Здесь гот 1 до s, длина многокомпонентного кода равна сумме компонент n — mi + m2 + m3 + ... + ms-i + ms. Обозначение Хг - компонента размерности mi. Код построен следующим образом:

X i = (I_mi M_m i ),

^Х2 — ^(Om i Xm 2 ^Im 2 ^Mm 2 ),

^Xs- i ^{— (O} ( mi + m2 + ... + m_s-2 ) xm_s-i ^Im,-i ^Mm_s- i

X_s — (O(_n

-ms)xms

^Im_a ),

где M_m 1 - матриц а размера mi x (n — mi) рангового кода M_m 1, M_m 2 - матрица размера m₂ x (n — m_i — m₂) рангового кода M_m 2, M_{m g -1} - матрица размера m_s-i x (n — m_i — m₂ — ... — m_s-i) рангово го кода M_ms-1. M_mg - матрица размера m_s x n, которая является конкатенацией нулевой матрицы и единичной порядка m_s. Ранговое рас стояние кода M_m 1 есть d_r 1 < min(mi ,n — mi). Ранговое расстояние кода M_m 2 ес тв d_r 2 < min(m2 ,n — mi — m2). Ранговое рас стояние кода M_s-i есть dr_a-1 < min(m_s-i,n — mi — m2 — ... — m_s-i). Ранговое рас стояние кода M_s равно m_s. Компоненты этого кода попарно не пересекаются, то есть Xi^Xj — O_n, если г — j. Значит, мощность этого кода равна мощности всех компонент. Конечно, она зависит от значений компонент и подпространственного кодового расстояния. Подпространственное кодовое расстояние равно d_sub — min(min(m^ + mj ), min(2d_rj)), г де г — j, 1 <  г <  s — 1.

3.1.    Мощность кода различной размерности

Рассмотрим многокомпонентный код со следующими параметрами: n — m_i + m₂ + ... + m_s - длина кодового слова, равная сумме размерностей, m_i -размерность г-й компоненты, всего s компонент. Мощность одной, г-й компоненты равна

|Mi| — 2кіПі, где кг — mi — 5 + 1, n — n — ^j=4 i mj. Мощность МНП-кода равна s-i

|MMIш| — 1 + £ 2;, i=i где первое слагаемое, равное 1, обусловлено значением мощности последней, s-й компоненты.

3.2.    Выбор параметров. Примеры

Пример 1. Используем структуру кода (5). Пусть число возможных компонент максимально, все различны, кроме двух последних. Компоненты пронумерованы сверху вниз. У каждой из двух последних компонент минимальная размерность 5. У первой компоненты размерность максимальная, у остальных компонент размерность уменьшается на единицу с увеличением на единицу номера компоненты, mi+i — mi — 1, m_s-i — m_s — 5, где 5 - минимальный ранг матрицы, длина кодового слова n — 5s + ^{( s i)}2^{( s 2)} . Значение s определяем из квадратного уравнения:

s2 + (25 — 3)s — 2(n — 1) — 0.

Для значений 5 — 2, n — 16 полу чаем s — 5, m_i — 5, m₂ — 4, m3 — 3, m₄ — ms — 2. Мощность МНП кода с такими параметрами равна

|M_MI ш| — 1 + 2⁴⁴ + 2²ⁱ +2 8 + 2² — 17592186044416 + 2097152 + 256 + 4 — — 17592188141828 ~ 17, 6 •10ⁱ².

Фактически суммарная мощность почти полностью определена первой компонентой с максимальной размерностью mi = 5 и мощностью 244 = 17592186044416, что составляет больше 99 процентов общей мощности.

Пример 2. Теперь выберем МНП-код с таким же числом компонент s = 5, но с другим порядком изменения размерностей: mi < m2 < ... <  m_s-i, конкретно: mi = 5, mt = mt—i +1, и по-прежнему m_s-i = m_s. Проведя расчёты, аналогичные предыдущему случаю, получаем следующие значения параметров: k_i = 1, к₂ = 2, кз = 3, к₄ = 4 = кь. При 5 = 2 длина п = 19. п₂ = 14. пз = 10. п₄ = П5. m_i = 2. m2 = 3. m₄ = 3. m₄ = ms = 5. Суммарная мощность МНП-кода равна |Ммнп| = 1 + 2¹⁷ + 228 + 2³⁰ + 2²⁰ = 134 3 3 5 6 9 29 — 1, 3• 109. Здесь каждая компонента даёт свой ощутимый вклад в общую сумму. Тем не менее сравнение с данными первого случая, когда практически полный вклад был от первой компоненты, показало, что в данном случае общая мощность в 13 тысяч раз меньше.

Как видно из формул для мощности отдельных компонент, мощность каждой из компонент растёт с увеличением показателей экспоненты в формуле для мощности. Для г-й компоненты мощность экспоненциально зависит от произведения к^пр Чем оно больше, тем мощность больше. В свою очередь, кг = mt— 5 +1 увеличивается с увеличением размерности mt, а длина соответствующей кодовой матрицы п = пг—i — mt уменьшается с увеличением m^. В этом смысле наилучший вариант - это когда единичная матрица и кодовая матрица имеют один и тот же размер. Рассмотрим такой пример.

Пример 3. Пусть п = 16, 5 = 2. Определим параметры: mi = 126 =8, ni = 16 — 8 = 8, кі = 8; m2 = 2 = 4, п = 16 — 8 — 4 = 4, к2 =4 — 2 + 1 = 3. Третья и четвёртая компоненты имеют одинаковые размерности m3 = m4 = 2, кз = 2 — 2 + 1 = 1. Подсчитаем мощность полученного четырёхкомпонентного кода:

|ММ1 ш| = 256 + 2i2 + 22 + 1 = 72057594037932037 - 7.2 • 10i6.

Как следует из этих расчётов, почти полный вклад (больше 99,999 процентов) вносит первая компонента, она характеризуется наибольшей размерностью и наибольшей длиной матрицы рангового кода.

3.3.    Критерий максимальной мощности

В работе [13] приводится критерий максимальной мощности для подпространственных кодов различной размерности. Он представляет собой сумму максимальных мощностей нескольких кодов постоянных размерностей, соответствующих заданным параметрам, где размерность меняется от минимального значения до общей длины кодового слова за вычетом минимального значения плюс число 2. Приведём этот критерий:

-Гf 1

[ d]

,m),

Aq(п, d) < 2+        Aq(п, 2

т=Г f1

где приняты следующие обозначения: A_q(n,d') - общая мощность кода с различными раз-мерпостями. п - длина кодового слова, d - минимальное кодовое расстояние, m - размерность, величина которой различна для каждого члена суммы. Эта величина меняется от Г 2 1 до п — Г⁵1- Всего п — 2 слагаемых в этой сумме. Зададим те же значения параметров, что и для нашего кода, то есть п = 19, 5 = 2, и подсчитаем каждое слагаемое по формуле (4), затем найдём вето сумму:

,           2i9 — 1

А2(19,4; m = 2, к = 1) =   ---- = 174762, 3 - 0,175 • 106.

22 — 1

.          (2i9 — 1)(2i8 — 1)

А2(19,4; m = 3, к = 2) =                   = 6544674621 - 6, 5 • 109.

(22 — 1)(2з — 1)

А2Д9, 4; т = 4, к = 3) =

(219 - 1)(218 - 1)(217 - 1) (22 - 1)(23 - 1)(24 - 1)

= 57187803149939,4 - 57 •1012.

А2Д9,4; т = 5, к = 4) =

(2¹⁹ - 1)(2¹⁸ - 1)(2¹⁷ - 1)(2¹⁶ - 1) у² ну³ ну- ну⁵ э

= 120896860626815438, 032 - 120 •1015.

А2 (19,4; т = 6, к = 5) =

(219 - 1)(218 - 1)(217 - 1)(216 - 1)(215 - 1)

~д^-іУдз-іУд^-іУд^-іУдб-і]-

= 62879800510458118381 - 62 •1018.

А2(19,4; т = 7, к = 6) =

(219 - 1)(218 - 1)(217 - 1)(216 - 1)(215 - 1)(214 - 1)

(22 ІИ23    ІИ2-    ІИ25 ІИ26    ІИ27 Һ

= 8111494265849097271149 - 8•1021.

А2(19,4;т = 8, к = 7) =

(2¹⁹ - 1)(2¹⁸ - 1)(2¹⁷ - 1)(2¹⁶ - 1)(2¹⁵ - 1)(2¹⁴ - 1)(2¹³ - 1) у² іи2³   пу-    пу⁵   пу⁶   іу2⁷   іи28 э

= 260553919731646885286201,8 - 260 •1021.

А2(19,4;т = 9, к = 8) =

(219 - 1)(218 - 1)(217 - 1)(216 - 1)(215 - 1)(214 - 1)(213 - 1)(212 - 1)

(22 іу2³   іи2- іи2⁵    пу⁶   пу⁷   іи28 пу п

= 2088000589630320930033261 - 2•1024.

А2(19, 4; т = 10, к = 9) =

(219 - 1)(218 - 1)... (212 - 1)(211 - 1) (22 - 1)(23 - 1) ... (29 - 1)(210 - 1)

= 4178042235555490658629604,366 - 4•1024.

А2(19,4;т = 11, к = 10)

А2(19,4;т = 12,к = 11)

А2(19,4;т = 13, к = 12)

А2(19,4;т = 14, к = 13)

А2(19,4;т = 15, к = 14)

А2(19,4; т = 16, к = 15)

А2(19,4; т = 17, к = 16)

= А2(19,4; т = 9, к = 8).

= А2(19,4; т = 8, к = 7).

= А2(19,4; т = 7, к = 6).

= А2(19,4; т = 6, к = 5).

= А2(19,4;т = 5,к = 4).

= А2(19,4; т = 4, к = 3).

= А2(19,4;т = 3, к = 2).

Общая сумма всех слагаемых равна 8891500002412151400222352 - 8,9 • 1024. Напоминаем, что мощность МНП-кода при тех же параметрах п = 19 и 5 = 2 равна |МНПмнп| = 2417851639229258349477893 - 2,41786 • 1024. Порядок мощностей одинаков, но коэфициент у известного критерия примерно в четыре раза (3,677) больше. Надо принять во внимание, что в этом критерии 16 слагаемых, из них две с размерностью 9 и 10 дают основной вклад. В нашем коде 4 компоненты, и первая из них с размерностью тоже 10 даёт полный вклад в мощность. Причём это не оценка, а реальные данные для реального кода с известными параметрами.

Пример 4. Пусть число компонент по-прежнему s = 4, 5 = 2, а = 5-1 = 1. Длина больше.

При оптимальном выборе размерностей ті = Д22 = 12, т2 = ^Д22 = 6, тз = ДД = 3,

т4 = т5 = 2 длина каждой компоненты п = 23. Длины кодовых матриц рангового кода и показатели соответствующих компонент равны пі = ^22—22 = кі = 11, П2 = ^{п — 3(1} = к2 = 5, пз = ^n-7^a = кз = 2. Мощность МНП-кода равна

|М1Пш| = 2121 + 225 + 24 + 1 - 2 , 658 • 1036.

Этот пример показал, что небольшое изменение длины с 19 до 23 (всего на 4) увеличило мощность в 1012 раз. Как и в предыдущем случае, находим оценку по известному критерию мощности. Получаем А2(23,4) - 9, 2 • 1036. Порядок величины тот же, что у нашего кода, а множитель, как и раньше, больше примерно в четыре раза.

4.    Заключение

Работа посвящена подпространственным многокомпонентным ранговым кодам, оценке их основной характеристики - мощности. Рассмотрены коды постоянной размерности и коды с компонентами различной размерности. В свою очередь, коды постоянной размерности представлены в двух вариантах - с максимальным кодовым расстоянием (спреды) и с расстоянием, меньшим максимального (неспреды).

Подпространственные многокомпонентные коды-спреды достигают верхней границы мощности. Показано, что подпространнственные коды-неспреды при больших размерностях (равно или больше 10) практически достигают верхней границы мощности. На примерах показано, что подпространственные многокомпонентные коды различной размерности при оптимальном выборе размерностей имеют мощность значительно больше, чем коды постоянной размерности. Мощность этих кодов того же порядка, что и предписано существующей верхней границей [13] для кодов различной размерности. Но в нашем случае преимущество в том, что это реальные семейства кодов с произвольно заданными параметрами.