Многоточечная начально-конечная задача для стохастической модели Баренблатта - Желтова - Кочиной

Пусть U и F – вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, оператор K ∈ L ( U ) – ядерный, а операторы L , M , N е L ( U ; F ), причем оператор M ( L , p )-ограничен, p е {0} о N . Рассмотрим линейное стохастическое уравнение

Ld η = M η dt + N δ W , (1) где в правой части через δ W обозначен обобщенный дифференциал ( U -значного) K -винеровского процесса.

Прежде всего отметим, что абстрактные уравнения соболевского типа

Lu i = Mu + f (2) представляют собой многие неклассические модели математической физики [1]. В последнее время теория и приложения уравнений (2) активно развиваются, о чем свидетельствует неуклонный рост числа монографий, полностью или частично посвященных данным уравнениям. Наши исследования будут проводиться в русле теории, предложенной Г.А. Свиридюком [2] и развитой его учениками [3–5]. Для уравнения (1) поставим многоточечную начально-конечную задачу [6]

P_j ( u ( τ _j ) - u_j )=0, j =0, n , (3) a <  T q <  т 1 <  t ₂ <. „ <  т n <  b , где P j - относительно спектральные проекторы (речь о них пойдет позже), а u_j – произвольные векторы из банахова пространства U . Заметим, что если n = 1 , то (3) превратится в более простую задачу

P ₀( u ( τ ₀) - u ₀)= P ₁( u ( τ ₁) - u ₁)=0. (4) Задачи (3) и (4) в последнее время весьма активно изучаются в различных аспектах [6–8]. Если же в (3) положить n = 0 , то она редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера – Сидорова [9]:

P ₀( u ( τ ₀) - u ₀)=0, (5) которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [10] и технических [11] моделей. Наконец отметим еще, что задача (5) является обобщением классической задачи Коши u ( τ ₀) = u ₀ . Сказанное выше позволяет задачу (3) для уравнения (2) считать последовательным (через (4) и (5)) обобщением задачи Коши.

Что касается стохастических уравнений, то их теория (в конечномерном случае) долгое время развивалась в рамках ставшего классическим направления Ито – Стратоновича – Скорохода [12]. Главная задача, которая здесь решается, – это купирование трудностей, связанных с дифференцированием недифференцируемого (в «обычном» смысле) винеровского процесса. Трудности эти преодолеваются переходом от дифференциального к интегральному уравнению и последующим рассмотрением интегралов Ито, Стратоновича и т. д. Фундаментальный обзор удач- ных попыток распространения подхода Ито – Стратоновича – Скорохода на бесконечномерную ситуацию дан в [13]. В [14] приведены приложения результатов [13] к классическим моделям математической физики.

Заметим еще, что преодоление интегрированием дифференцирования винеровского процесса, – далеко не единственный метод изучения стохастических уравнений. В последнее время в школе И.В. Мельниковой возникло новое направление, в рамках которого стохастические уравнения рассматриваются в пространствах Шварца [15, 16]. Здесь под белым шумом понимается обобщенная производная винеровского процесса, как это и должно быть. Еще обратим внимание на модель измерительного устройства Шестакова – Свиридюка, в которой под «белым шумом» понимается производная Нельсона– Гликлиха винеровского процесса [17].

В наших исследованиях будут применены методы и результаты [13, 14]. Впервые используемый здесь подход был применен при рассмотрении линейных стохастических уравнений соболевского типа высокого порядка [18], где автор сумела описать подпространство допустимых начальных значений без перехода к уравнению первого порядка.

Работа состоит из следующих частей. Результаты первой части почерпнуты из [13, 14] и адаптированы к нашей ситуации. Впервые они были опубликованы в таком виде в [19]. Единственное отличие – замена термина « Q -винеровский процесс» на термин « K -винеровский процесс». Это сделано из-за того, что ранее [2] литера Q была зарезервирована для обозначения проектора [18]. Во второй части изложенные предварительные сведения применяются для нахождения достаточных условий однозначной разрешимости задачи (1), (3). Заключительная часть статьи посвящена приложению абстрактных результатов к изучению стохастической модели Баренблатта – Желтова – Кочиной [20–22].

K -Винеровские процессы

Пусть Ω ≡ ( Ω , A , P ) – полное вероятностное пространство, U ≡ ( U , 〈⋅ , ⋅〉 ) – вещественное сепарабельное гильбертово пространство, снабженное борелевской σ -алгеброй. Измеримое отображение ξ : Ω → U называется ( U -значной) случайной величиной ; пространство случайных величин обозначим символом V ≡ V ( Ω ; U ) . В пространстве V выделим подпространство

L2 ≡L2(Ω;U)={ξ∈V:∫Ω||ξ(ω)||2dP(ω)<+∞}, где || ξ ||2= 〈ξ,ξ〉 . Пространство L2 , в частности, содержит все гауссовы случайные величины (т. е. имеющие нормальные распределения) из V .

Пусть далее I с R - некоторый промежуток. Рассмотрим два отображения - f : I ^ V , которое каждому t ∈ I ставит в соответствие случайную величину ξ ∈ V , и g : V × Ω → U , которое каждой паре ( ξ , ω ) ставит в соответствие точку ξ ( ω ) ∈ U . Отображение η : I× Ω → U , имеющее вид η = η ( t , ω ) = g ( f ( t ), ω ) , мы называем ( U -значным) случайным процессом . Таким образом, при каждом фиксированном t ∈ I случайный процесс η = η ( t , ⋅ ) является случайной величиной, т. е. η ( t , ⋅ ) ∈ U , а при каждом фиксированном ω ∈ Ω случайный процесс η = η ( ⋅ , ω ) называется (выборочной) траекторией . Случайный процесс η называется непрерывным , если его траектории п.н. (почти наверное) непрерывны, т. е. при п.в. (почти всех) ω ∈ Ω траектория η ( t , ω ) непрерывна на I .

Пространство случайных процессов обозначим символом P ≡ P ( I× Ω ; U ) . Выделим в P подпространство CL₂ непрерывных случайных процессов, чьи случайные величины принадлежат L₂ , т. е. η ∈ CL₂ , если η ( t , ⋅ ) ∈ L₂ при всех t ∈ I . Отметим, что пространство CL₂ содержит в частности те случайные процессы, все траектории которых п.н. непрерывны, а все (независимые) случайные величины – гауссовы.

Пусть оператор K ∈ L(U) самосопряжен и положительно определен. Тогда его спектр σ(K) положителен, т. е. о(K) е R+. Положим дополнительно, что спектр о(K) дискретен, конечнократен и сгущается только к точке нуль. Обозначим через {λk} последовательность собственных значений оператора K , занумерованных по невозрастанию с учетом их кратности. Если вдобавок след оператора K да

TrK = ZXk < +да, k=1

то оператор K называется ядерным . Отметим, что линейная оболочка множества { ф к } соответствующих собственных векторов оператора K плотна в U . Введем в рассмотрение последовательность { в _к ( t )}, t е R + независимых одномерных (стандартных) винеровских процессов в _к ( t ) = р _к ( t , ю ), в _к : R + xQ^ R , которые еще называют броуновскими движениями [18].

Определение 1. Случайный процесс да ____ ___

W ( t ) - W ( t , ю ) = ^jT_k в к ( t ) ф к , t е R + ,                                                      (6)

k =1

называется ( U -значным, ядерным) K -винеровским процессом.

В определении 1 очевидна зависимость K -винеровского процесса W = W ( t ) как от оператора K , так и от множества последовательности движений { в _к ( t )}. Далее мы приведем ряд свойств K -винеровского процесса, имеющих место при любых операторах K (с описанными выше свойствами) и { в _к ( t )}.

(W1) W (0) = 0 п.в. на Q , и траектории п.н. непрерывны на R + .

(W2) Траектории K -винеровского процесса п.н. недифференцируемы ни в одной точке t е R + и на любом промежутке I с R + имеют неограниченную вариацию.

(W3) K -Винеровский процесс – гауссов.

Некоторые из этих свойств доказываются просто, например, (W1) сразу следует из (1) в силу ядерности оператора K , другие – достаточно сложно (см. например, [14]). Однако из этих свойств с очевидностью следует

Теорема 1. При любых ядерном операторе K е L ( U ) и последовательности броуновских движений { в _к ( t )} K -винеровский процесс W е CL 2 .

Начально-конечная задача для уравнениясоболевского типа с аддитивным белым шумом

Пусть U и F - вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, оператор K е L ( U ) -ядерный, а операторы L , M , N е L ( U ; F ), причем оператор M ( L , p )-ограничен, p е {0} о N . Рассмотрим линейное стохастическое уравнение

Ld n = M n dt + N 5 W ,                                                            (7)

где в правой части через 5 W обозначен обобщенный дифференциал (U -значного) K -винеровского процесса. Цель второй части работы – постановка и исследование многоточечной начальноконечной задачи для уравнения (7). Потребуем выполнение условия на относительный спектр [12]

n оL (M) = U оL (M), n е N, причем оL (M) * 0, существует j=0

замкнутыйконтур Г j с С , ограничивающийобласть

D j ; о L ( M ), такой, что D j n o L ( M ) = 0 , D_k n D l = 0

при всех j , к , l = 1, n , к ^ l ;

благодаря которому построим интегралы:

P = — f R L ( M ) d Ц , Q = — f L L ( M ) d Ц , 2 n i ^Jr ^{gV 7}             2 n i ^Jr ^{gV 7}

P j =i fr R L ⁽ M ) d ^ Q j ⁼i Jr ^L » ( M ) ^d * • j ^{= 1;}n . 2 П i J                     2П i j

Согласно результату из [12] интегралы Pj и Qj , j =1,n – проекторы в пространствах U и F nn соответственно. Кроме того, построим проекторы Po = P -1Pj и Q0 =Q-1 Qj . Далее, на по-j=1                      j=1

луинтервале R ₊ выберем точки т j , j = 1, n , такие, что 0 <  Т о <  т 1 <  т ₂ <. . <  т n и ( U -значные) независимые случайные величины ^ j е L 2 , j = 1, n . Теперь можно поставить многоточечную начально-конечную задачу - найти случайный процесс п е CL 2 , удовлетворяющий уравнению (7)

и условиям

Pj (П(т j)-^ j ) = 0, j 0,n,(10)

Если выполнено условие

QN=N,(11)

то в силу теоремы 6.1 [6] нетрудно построить единственное «формальное» решение п = п ( t ) задачи (7), (9):

п( t) = УРР j j + t J t UjsL-Qj 8 W (s) ds, t е R+ •(12)

j =0               j =0 ^т j

«Формальность» полученного решения заключается в том, что под интегралами стоят, вообще говоря, неинтегрируемые вектор-функции. Поэтому, интегрируя по частям (кстати, тоже «формально»), получим jt - j» W (s) ds=Lj (t)-W (jч SL QW (s) ds.                

Подставляя (13) в (12), получим

n ( t ) = tt ^{f U}7 J j + L - j Q j (W ( t ) - W ( т j )) 1 + it J t U - s S j L - j Q j W ( s ) ds ,                  (14)

j=04                                         7 j=0 тj где, как и выше, Utj , L1 j , Sj, j=0,n те же самые, что и в [12], теорема 6.1.

Теорема 2. Пусть оператор M ( L , p ) -ограничен, p е {0} u N , и выполнены условия (8), (11).

Пусть случайные величины ^j е L2, j = 0, n , независимы. Тогда случайный процесс п , опреде ленный формулой (14), принадлежит CL2 (R+).

Определение 2. Пусть оператор M ( L , p ) -ограничен, p е {0} u N , и выполнены условия (8)

и (11). Пусть случайные величины ^ j е L 2 (или их проекции P j ^ j е L 2 ), j = 0, n . Тогда при любом (U -значном) K -винеровском процессе W е CL 2 случайный процесс п , определенный формулой (14), называется решением задачи (7), (9) .

Замечание 1. В современной математической литературе такое решение часто называют «мягкими» (mild solution) [14]. Понятно, что если ограничиться «классической» трактовкой производной, то на более гладкое решение в силу свойства (W2) из п. 1 рассчитывать не приходится.

Стохастическая модель Баренблатта– Желтова– Кочиной

Пусть G с R d - ограниченная область с границей d G класса C ” . Будем искать функцию u = u ( x , t ), удовлетворяющую в цилиндре Q х R уравнению

( Х-А ) u_t = аА u + f                                                              (15)

и условиям Дирихле u (x, t ) = 0, (x, t) ед G х R.                                                                         (16)

Здесь параметр ае R \{0}, Хе R . Уравнение (15) моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде [20]. Заметим, что это уравнение имеет универсальный характер – оно также моделирует процесс влагопереноса в почве [21] и процесс теплопроводности с двумя температурами [22].

Наша цель – редукция (15), (16) к уравнению (7) с аддитивным белым шумом, под которым понимается производная K -винеровского процесса. Первым шагом к данной цели будет определение ядерного оператора K . В [14] таковым служит оператор Грина задачи (16) для уравнения Пуассона -Δ u = f в области G . Такой выбор обладает следующим недостатком. Поскольку собственные значения { µ _k } спектральной задачи

-Δϕ _k = µ _k ϕ _k                                                                        (17)

в области G с условием (16) имеют следующую асимптотику:

µ _k ~ k^d , k →∞ ,                                                                   (18)

то оператор Грина задачи (16), (17) будет ядерным, если только d = 1 . Поэтому в [14] и волновое уравнение, и уравнение теплопроводности рассматриваются только на интервале.

Для преодоления этого недостатка предлагается в качестве K взять оператор Грина следующей задачи:

(-1)mΔmu=f,(19)

(-1)l Δlu(x) = 0, x ∈ ∂G, l = 0,m -1.(20)

Внимательно рассмотрев соответствующую спектральную задачу

(-1)mΔmϕk=νkϕk(21)

в области G с условиями (20), можно заметить, что собственные функции задач (17) и (21) одни 2m и те же, однако собственные значения νk = λkm . Ввиду асимптотики (18) νk ~ k d , k → ∞, поэтому путем подбора m можно рассматривать области любой размерности.

В дальнейшем мы считаем, что выбор подходящего числа m е N сделан (должно быть m >  2 , если мы хотим рассматривать трехмерные области). Положим λ _k = ν _k ^{- 1} и формулой (6) определим K -винеровский процесс, где { ϕ _k } – собственные функции задач (20), (21) (или (16), (17)). Определим пространства U = { и е W 2 + ² : выполнено (16)}, F = W 2 , I е {0} u N , W k = W k ( G ) -пространства Соболева. Заметим, что оператор Лапласа -Δ : U → F – топлинейный изоморфизм. Отметим еще, что оператор K определен на пространстве U и является обратным к оператору ( - 1) ^m Δ ^m : V → U , который тоже является топлинейным изоморфизмом, V = { u ∈ W ₂ ^{l + 2 m} : выполнено(20)} . Наконец, формулами L = λ - Δ и M = αΔ зададим линейные непрерывные операторы, L , M е L ( U ; F ), которые фредгольмовы, а е R \{0}.

Лемма 1 [19] . При любых Хе R , а е R \{0} оператор M ( L ,0) -ограничен.

Далее заметим, что

_{R µ} L _{( M )=} ∑       〈⋅ , ϕ k 〉 ϕ k _{- 1 , L} L _{µ ( M )=} ∑       [ ⋅ , ϕ k ] ϕ k _{- 1 ,}

_{-λ≠µ k} µ + αµ _k ( λ + µ _k )               _{-λ≠µ k} µ + αµ _k ( λ + µ _k )

где [ ⋅ , ⋅ ] – скалярное произведение в F . Построим проекторы (9) P = ∑ 〈⋅ , ϕ _k 〉 ϕ _k ,

-λ≠µ _k

Q = ∑ [ ⋅ , ϕ _k ] ϕ _k . Чтобы упростить, положим оператор N = P , тогда, во-первых, оператор -λ≠µ _k

N ∈ L ( U ; F ) (и даже компактен!) в силу плотного и непрерывного (даже компактного!) вложения (теорема Соболева – Кондрашева). Во-вторых, условие (11) выполняется автоматически. Итак, редукция уравнения Баренблатта– Желтова – Кочиной (15) с условием (16) к уравнению (1) с аддитивным белым шумом закончена.

Перейдем к построению «мягкого» решения (14). Прежде всего отметим, что условие P ξ = ξ в теореме 2 на начальную случайную величину ξ из (10) эквивалентно условию

〈 ξ , ϕ k 〉 =0, -λ = µ k .                                                                      (22)

Далее, первое слагаемое в (14) в данной ситуации имеет вид

L ₁ ^{- 1} NW ( t )=

β _k ( t )

-λ ∑ ≠µ _k ( λ + µ k ) µ k ^{2 m}

ϕ k ,

где (напомним!) µ _k ^{2 m} = λ _k ^{- 1} . Второе слагаемое в (14) тоже можно легко посчитать

U^t ξ = ∑ 〈 ξ , ϕ k 〉 e ^{σ kt} ϕ k ,                                                                       (24)

-λ≠µk где σk = -αµk(λ + µk)-1 при -λ ≠ µk представляют точки L -спектра σL(M) оператора M в данной ситуации. Наконец, последнее слагаемое в (14)

^tU^{t - s}SL ^{- 1} NW ( s ) ds = d       ^t β ^{k ( s ) e σ k ( s ) ds} ϕ .                                               (25)

∫ ^{0       1}                -λ ∑ ≠µ _k ∫ ⁰ ( λ + µ k ) µ k ^{2 m - 1 k}

Итак, доказана

Теорема 3. При любых -X е { ц k }, а е R \{0} и qe L 2 такой, что выполнено (22), существует единственное решение u ∈ CL₂ задачи (10) для стохастического модели Баренблатта – Желтова – Кочиной и условием (16), которое к тому же имеет вид (14), где слагаемые представлены формулами (23) – (25).

Автор выражает свою искреннюю признательность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и активные творческие дискуссии.