Модель геометрического эквивалента тела человека

Луньков А.Е., Гладилин Ю.А. Модель геометрического эквивалента тела человека// Морфологические ведомости.- 2018.- Том 26.- № 1.- С. 52-54. (26).01.52-54

Lun’kov AE, Gladilin YuA. The geometric model of the equivalent of the human body. Morfologicheskie Vedomosti – Morphological Newsletter. 2018 Mar 31;26(1):52-54. (26).01.52-54

Введение . При определении геометрических параметров тел сложной формы часто используют их геометрические эквиваленты в виде тел правильной формы, имеющих те же значения линейных размеров, объема или площади поверхности. Например, в морфометрии геометрический эквивалент используют для оценки объема микрообъекта по размерам его поперечного среза, полученным с помощью измерительной микроскопии. При этом чаще всего в качестве геометрического эквивалента используют сферу или эллипсоид с соотношениями между размерами их поперечного сечения и объемом [1]. Из геометрических параметров тела человека непосредственно измеряемыми являются объем и высота. Площадь поверхности тела человека оценивается по значениям массы и роста с помощью различных эмпирических соотношений [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Этих данных достаточно для нахождения геометрического эквивалента тела человека в виде простой геометрической фигуры, имеющей равные с ним объем, высоту и площадь поверхности. Такой геометрический эквивалент может использоваться в качестве обобщенного антропометрического параметра человека, а также в виде фантома для экспериментальных исследований по теплообмену человека и окружающей среды, при оценке теплоизоляционных свойств тканей и для других экспериментов в прикладной антропологии.

Цель исследования: получить формулы для нахождения полуосей эквивалентного цилиндра по значениям роста, массы тела и его плотности или объема, а также площади поверхности тела человека.

Материалы и методы исследования. В данной работе применен математический подход к проблеме, основанный на соотношениях элементарной геометрии. В качестве необходимых антропометрических параметров использовались реальные значения роста, массы тела и окружности талии мужчин и женщин.

В первом приближения можно представить тело человека в виде цилиндра, высота которого-H равна росту, а объем-V равен объему человека. При принципиальной возможности непосредственного измерения объема его проще определить по массе тела-m, деленной на его плотность-d. Так как объем цилиндра V=πR2H, радиус этого эквивалентного цилиндра равен

R=, -

V n H

m

πHd

Поскольку форма тела человека существенно отличается от строго цилиндрической, то и площадь поверхности тела человека должна отличаться (скорее всего быть больше) поверхности эквивалентного цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра, состоящая из площади боковой поверхности-S1 и площади двух торцевых поверхностей-S2, есть

S=S1 +S2 = 2πRH + 2πR2 (2).

Для упрощения дальнейшего анализа оценим количественно соотношение между торцевой- S2 и боковой- S1 поверхностями цилиндра

S2/ S1 = R/H.

Для оценки этого отношения использовались значения массы и роста 50 мужчин и 50 женщин с разными индексами массы тела (m/H2), распределенными по нормальному закону в диапазоне от 17 до 39 кг/м2. Средние значения отношения R/H оказались равными 0,0716±0,0099 для женщин и 0,0658±0,0062 для мужчин. На основании этого можно принять, что общая площадь поверхности эквивалентного цилиндра равна площади его боковой поверхности, увеличенной в 1,07 раз, то есть

S=2,14nRH (3).

Тогда, с учетом соотношения (1) для R, площадь поверхности эквивалентного цилиндра примет вид

„    , пmH

S = 2.14.------ (4).

d

Далее примем, что площадь поверхности тела человека Sппт в К-раз больше площади поверхности, определяемой формулой (4), то есть

8п„ = 2,14К .mH' (5).

d

Упомянутые выше известные соотношений для определения площади поверхности тела человека по массе тела и росту дают практически одинаковые значения для заданных массе и росту. Для проводимого анализа выберем из них формулу Мостеллера [7], в которую также входит корень квадратный из произведения mH

„   т ( кг ) н ( см)         /—/—\

S = J—-———- = 0,1667 Jm ( kr ) H ( M ) (6).

Приравняв (5) и (6), можно получить значение К, то есть найти во сколько раз площадь поверхности геометрического эквивалента должна быть больше площади поверхности эквивалентного цилиндра (4). При среднем значении плотности тела d=1030 кг/м3 [8 ] и п=3,14 получим К=1,41, причем это значение К не зависит от роста и массы тела. Для того, чтобы увеличить поверхности в К-раз, возьмем в качестве геометрического эквивалента тела человека эллиптический цилиндр той же высоты Н и того же объема V. Для этого необходимо, чтобы площадь эллипса была равна площади круга nR2, а периметр эллипса был бы в К-раз больше периметра окружности 2nR (R-радиус эквивалентного цилиндра (1)). Площадь эллипса с полуосями a, b равна nab, а периметр L равен [9]

L = п [ 1.5( a + b ) — bo b ] (7).

Для того, чтобы площадь эллипса оставалась равной площади круга радиуса R, можно брать большую полуось a=nR, а малую полуось b=R/n, где n-число, которое нужно найти. При этом отношение периметра эллипса (7) к периметру окружности 2nR становится равным

0,75(n+1/n)-0,5 (8).

Приравняв выражение (8) значению К, можно найти n и связать величину полуосей эллипса с эквивалентным радиусом R: a=nR, b=R/n. Для полученного выше значения К=1,41 это даст n=2,062, то есть- a=2.062*R; b=R/2.062=0.485R.

Результаты исследования и обсуждение . Обобщенным геометрическим эквивалентом тела человека может быть эллиптический цилиндр, высота, объем и площадь поверхности которого равны соответствующим параметрам данного человека. Для нахождения значений полуосей эллиптического сечения по формуле (1) находится радиус-R круглого цилиндра с высотой и объемом, равным росту и объему тела человека. Тогда большая полуось эквивалентного эллиптического цилиндра a=2.062R, а малая b=0.485R при его высоте равной росту человека. Эти параметры геометрического эквивалента тела человека получены при допущении, что плотность тела человека равна 1030 кг/м3, а площадь поверхности тела определяется по формуле (6). При необходимости эквивалентный радиус- R может быть определен через объем тела, прямое измерение которого в принципе возможно. В общем случае для получения значения К нужно разделить значение площади поверхности тела конкретного человека, найденное любым способом, на значение полной поверхности цилиндра (2) эквивалентного радиуса-R. Тогда коэффициент-n для определения полуосей а=nR и b=R/n эллиптического цилиндра найдется из равенства

0,75(n+1/n)-0,5=K.

Следует также отметить, что окружность эквивалентного радиуса- R оказывается примерно равной окружности талии человека. Анализ корреляции между ними, проведенный на тех же выборках 50 мужчин и 50 женщин, показал, что отношения окружности талии к окружности эквивалентного радиуса- R составили 1,165±0,11 для мужчин и 1,110±0,116 для женщин. Используя эти значения в качестве параметра К, можно по формуле (9) оценить «эллиптичность» талии человека, то есть ее отличие от окружности эквивалентного радиуса- R. Приведенные значения стандартного отклонения отражают возможные пределы изменения этого отношения 1^1,27, то есть от совпадения до почти 30% различия. В среднем эллиптичность талии мужчин ( К=1,165) характеризуется большой полуосью a=1.59R при малой b=R/1.59. Для женщин при К=1,11 формула (9) дает a=1.46R и b=R/1.46. Представляет интерес сравнение отношения a/b с отношением фронтальной проекции талии к боковой с целью использования его в качестве антропометрического критерия телосложения человека.