Модель М. А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости

В модели отрывных течений идеальной жидкости М. А. Лаврентьева предполагается, что в области течения образуются две зоны: зона потенциального течения и зона вихревого течения [1].

В случае течения в ограниченной области, когда завихренность го постоянна, эта модель приводится к следующей задаче: в ограниченной области D с границей Г требуется найти непрерывно-дифференцируемое решение уравнения д2У(x, у) . д2v(x, у) = дx2         ду2

| го , если v <  0,

[ 0, если v > 0

при краевом условии v|r = ф(5) > 0, где завихренность го> 0; v(x, У) — функция тока;

dv „dv

V x = —, V =---компоненты скорости [2].

ду   у

Гармоническая функция v ₀( x , У ), удовлетворяющая условию (2), в силу принципа максимума положительна в области D и, тем самым, является решением уравнения (1). Это решение назовем тривиальным.

В работе М. А. Гольдштика [2] доказано существование нетривиального (с областью отрицательности) решения задачи (1), (2) при достаточно большом значении величины го . В [3] И. И. Вайнштейном получено условие

4 Ce

ГО>--

R ²

при котором существует нетривиальное решение задачи. Здесь R – радиус наибольшего по площади круга, который можно вписать в область D , C = max ф ( 5 ).

В общем случае вихревое течение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнением

^{;, :у} . . ^v x , ^у ) = f ( v ), a x ² У2• ²

где завихренность го = F ( v ); F ( v ) - произвольная функция от v [4]. Если F ( v ) = 0, то имеем потенциальное течение. В случае го = const течение идеальной жидкости рассматривается как предельное течение вязкой жидкости в области, ограниченной замкнутой линией тока, когда вязкость стремится к нулю.

Представляет интерес рассмотрение модели М. А. Лаврентьева для течения в ограниченной области для произвольной завихренности F ( v ).

Пусть B с D - область отрыва (область вихревого течения). Для общего случая завихренности задачу о склей- ке вихревых и потенциальных течений можно сформулировать следующим образом: в области D требуется найти непрерывно-дифференцируемое решение уравнения fF(vX если (x, у) е B, Av = s                  —           (4)

[ 0, если (x, у) g B при краевом условии v|r = Ф(5) > 0.                   (5)

Пусть на границе зоны отрыва v = 0 и го >  0 [5]. Тогда в вихревой зоне Av = го = F ( v ) >  0 и функция v принимает наибольшее значение на границе области B [6]. Принимая во внимание, что на границе области B v = 0, заключаем, что в области B функция v < 0.

Это свойство позволяет сформулировать задачу (4), (5) в виде уравнения

IF(v), если v < 0, Av = S

[ 0, если v >  0

при краевом условии v|r = ф(5) > 0 .

Ее решение ищется в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области D .

Гармоническая в области D функция v ₀( x , у ), удовлетворяющая краевому условию (7), положительна в области D и так же, как в задаче (1), (2), является тривиальным решением задачи (6), (7).

Докажем теорему о существовании нетривиального решения задачи (6), (7).

Теорема. Пусть F ( v ) - невозрастающая, непрерывно дифференцируемая функция от v 0 < го ₀ <  F ( v ) ^ K , C R - круг максимального радиуса, который можно вписать в область D (без ограничения общности можно считать, что его центр находится в начале координат), max ф ( 5 ) = C . Тогда при условии

4Ce го>—т-

R ²

задача (6), (7) имеет нетривиальное решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию

v * = v 0 ^{- го} f f G ^{( x} , у , x i , у 1 ) dx i dV t ,

2 п

Ca

где C_a – круг с центром в начале координат радиуса a , C a с C R ; G ( x , у , x 1 , у 1 ) - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге C_R .

В области Ca функция v* удовлетворяет уравнению Пуассона Av* = го0, а вне Ca она гармонична и на границе области D равняется ф( 5). Из свойств интеграла с логарифмической особенностью (плоского потенциала) следует, что у* непрерывна в области D вместе с производными первого порядка, которые удовлетворяют условию Гельдера с любым показателем a < 1 [7].

Функция

W (*, У) = 2?П (G — GR) dxi dyi в круге Су удовлетворяет уравнению A W = 0. На границе круга CR W > 0 . Из принципа экстремума для гармонических функций следует, что

W >  0 при ( x , y ) е C r .          (9)

Используя неравенство (9), получим

V * = V 0 -у ⁰- JJ ⁽ G - G R ) dxdy 1 -у ° ^x 2П                 2П

Ca

x JJ G_Rdx 1 dy 1 <  v * = C ⁰ JJ G_Rdx 1 dy 1 , ( x , y ) е C R .

c a                          ^{2 n} C a

Подберем радиус a таким, чтобы у * равнялось нулю при r = a . Тогда у * будет меньше нуля в C_a , тем самым в С б будет меньше нуля и у * .

Функция V* является непрерывно-дифференцируе- мым решением уравнения

. [® 0 > если ( x , y ) е C a , Av, = (

[ 0, если ( x , y ) е C_R \ C_a

при краевом условии

V *L,= ^C .                  (12)

r = R

Требуя, чтобы v * равнялось нулю при r = a , приходим к задаче о склейке вихревых (с постоянной завихренностью ® ₀) и потенциальных течений в круге C R :

Л * I ®0

^AV 1 =[ 0, при краевом условии (12).

В [5] получено, что при если V* < 0, если V* > 0

4 Се ю > —— эта задача имеет два RL

таких решения, что существуют два круга C 1 и C_a 2 с радиусами a 1 и a ₂ соответственно, в которых у * < 0 , и на их границах у * = 0 .

Возьмем за C_a , например, круг C 1 , a 1 <  a ₂. Так как в нем v * <  0, то и v * <  0, как это следует из неравенства (10).

4 Ce

Если ®0 = —— , то имеется только один круг, на гра-R £ нице которого у* = 0 [5], и в этом случае за Ca возьмем этот круг. _

Функция V * — гармоническая в D \ C a , и V * |_г > 0 , V * | < 0 . Отсюда следует, что существует аналитическая кривая Y 1 (линия уровня гармонической функции V * ), на которой V * = 0. Линия у 1 лежит вне области C_a 1 . Кривая Y 1 не может самопересекаться, так как в этом случае образуется область B * с D \ C_a , на границе которой гармоническая функция у * = 0. Тогда она тождественно равна нулю в B ^* , а отсюда в силу аналитичности она тождественно равна нулю всюду вне C_a , что невозможно в силу граничных условий.

Построим последовательность функций v _n , сходящихся к решению рассматриваемой задачи. Пусть B 1 -полученная область отрицательности функции у * . Ясно, что C_a содержится в B ₁ . Положим

*

V1 =V ,

V . =V 0 ^-    JJ F ⁽ V 1 ) G ⁽ x , y , x_n y^ dy_v   ⁽¹⁴⁾

^{2 n} B

Представим F ( v ) в виде

F ( у ) = ® 0 ^{+ (} F ⁽ V ) ® ) = ® 0 ^{+ Ф (} У Х ^{Ф (} У ) >  0.

Учитывая, что B 1 ^ C_a , запишем B 1 = C_a + А 1 . Тогда

• V . ^-V 1 =® JJ ^Gdx 1 dy 1 ^-

• Ca

• —    2 n JJ F ⁽ V * ) Gdx dy =

= ® JJ ^Gdx 1 dy 1 ^-    JJ F ⁽ V * ) dx dy 1 ^-

2П * *             2П * *

• ^-    I F ⁽ V * ) ^Gdx 1 dy 1 =

2nJA,

=    - У" JJф(V*)GdX1 dy1 -

C a

• — JJ F ( V * ) Gdx 1 dy 1 <  0.

^{2 П} A,

Отсюда v ₂ < V 1 и V ₂ <  0 в области B 1 .

Аналогично предыдущему, имеем линию y ₂, лежащую вне области B 1 , на которой v ₂ = 0 . Пусть B ₂ - область отрицательности функции V 1 , B ₂ ^ B 1 . Продолжая этот процесс, получаем последовательность областей B n и функций

B n

v n =V 0 ^-2n JJ F ⁽ v n —1 ) ^Gdx 1 dy 1 , ⁿ = ^2,3,.... Докажем, что v n +1 ^ V n - Положим у n <  v n —1 .

Тогда

=> B„ , и B„ = B„ . uA, (мера A > 0). Учитывая, что n — 1       n n — 1 n V Г n 7                   ,

F ( у ) - невозрастающая функция, получим

V n +1 ^— V n =     Jf F ⁽ V n —1) ^Gdx 1 dy 1 ^—

2 п

B n —1

• ^— ^T JJ F ⁽ V n ) ^Gdx 1 dy 1 =

^П B n

= — ^П[ F ( V n —1 ) — F ( V n )] Gdx 1 dy 1 — ^{2 n} B L

• —    2n JJ F ( V n ) Gdx 1 dy 1 <  0.

  
  

Таким образом, v _{n + 1} < V _n и B n _{+ 1} ^ B n . Мы получили монотонно убывающую последовательность функций V _n , ограниченную снизу:

и

V n = V 0 ^-     Jf F ⁽ V n —1 ) ^Gdx 1 dy 1 > V 0 ^-

2n "

B n —1

^— K JJ G^dx 1 dy 1 > V 0 ^— 2 n JJ G^dx 1 dy 1 , монотонную последовательность областей

B ₀ с B 1 ^с ... ^с B n с ..., содержащихся в области D . Отсюда вытекает, что последовательность V _n сходится вместе с последовательностью вложенных областей B_n [8].

Обозначим v = lim V , B = lim B и докажем, что предельная функция у непрерывно дифференцируема в области D .

Исходя из свойств интеграла типа плоского потенциала с логарифмической особенностью, заключаем, что ψ _n имеет внутри области D непрерывные частные производные, удовлетворяющие условию Гельдера, причем показатель a и константа Гельдера не зависят от n [7], так что последовательность ψ _n равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в C ¹ ( D ). По теореме Ар-цела последовательность ψ _n компактна в пространстве непрерывно дифференцируемых функций C ¹ ( D ). Значит, имеется подпоследовательность ψ n_k , сходящаяся к функции, непрерывно дифференцируемой в области D . Отсюда с учетом того, что сама последовательность ψ _n сходится, следует, что ее предельная функция ψ ( x , y ) непрерывно дифференцируема в области D .

Пусть γ – граница области B . Возьмем произвольную точку ( x ^*, y ^*) ∈ γ . Так как

ψ=limψn,B=limBn, n→∞          n→∞ то в произвольной δ-окрестности точки (x*,y*), начиная с некоторого номера, находятся и точки из B nи γn . А теперь возьмем последовательность точек (xn,yn)∈γn и (xn,yn), которые принадлежат выбранной окрестности точки (x*,y*). По построению ψn =0 на γn, так что ψn(xn,yn)=0.

Для произвольного ε> 0 найдется такое число N , что при n > N вследствии равномерной сходимости последовательности ψ _n

|ψ _n ( x ^*, y ^*)-ψ( x ^*, y ^*)|<₂ε и вследствие равностепенной непрерывности | ψ _n ( x_n , y_n ) -ψ _n ( x ^*, y ^*)| <ε ₂ .

Далее имеем

| ψ ( x ^*, y ^*)| = | ψ ( x ^*, y ^*) -ψ _n ( x ^*, y ^*) + +ψ _n ( x ^*, y ^*) -ψ _n ( x_n , y_n )| ≤ ≤ | ψ _n ( x ^*, y ^*) -ψ ( x ^*, y ^*)| + | ψ _n ( x_n , y_n ) -

εε -ψ _n ( x , y )| < ₂ + ₂ =ε .

В результате получим |ψ( x ^*, y ^*)|<ε. В силу произвольности ε заключаем, что ψ( x ^*, y ^*) =0.

Покажем, что в точках, где ψ<0, Δψ= F ( ψ ). Пусть в точке M ₀( x ₀, y ₀) ψ<0 . Точка M ₀ , начиная с некоторого N , будет принадлежать всем областям B_n , n ≥ N . В силу непрерывности ψ можно взять круг C _ε с центром в точке M ₀ радиуса ε , который также будет принадлежать всем областям B_n , n ≥ N , границей C _ε будет γ_ε .

Рассмотрим последовательность задач

Δ v_n = F ( n_{n - 1} ), v_n =ψ _n .

γεγε

За решение возьмем v_n =ψ _n .

Полагая ψ _n =ψ ^* _n +ψ ₀ , где ψ ₀ – гармоническая в круге C _ε функция, принимающая на γ_ε значения ψ _n , получаем

Δψ ^* _n = F ( ψ ^* _{n - 1} +ψ ₀) = F ₁( x , y , ψ ^* _{n - 1}),       (16)

ψ ^* n _γ = 0                      (17)

Задача (16), (17) в усло ^ε виях теоремы рассмотрена в монографии Р. Куранта [7], где доказано, что предельная функция ψ ^* = lim ψ ^* _n является в C _ε решением уравнения n →∞                  ε

Δψ*=F1(x,y,ψ*), а значит

Δψ=F(ψ).

Теперь возьмем точку M ₀ ∈ D , не пр ин адлежащую B и ψ в точке ( x ₀, y ₀) больше нуля (здесь B не сов п адает с D ). Возьмем такое ε , что в C _ε нет точек B n . Вне B n функции ψ _n гармонические и неотрицательны. Таким образом, в круге C _ε имеем сходящуюся последовательность убывающих гармонических функций ψ _n . Из второй теоремы Гар-нака для гармонических функций следует гарм о ничность предельной функции в C _ε [7]. Так как M ₀ из D \ B – произвольная точка, то ψ ^* – гармоническая функция во всех точках, в которых она больше нуля. Следовательно, предельная функция ψ является решением исходной задачи (6), (7).

Таким образом, нами была обоснована модель отрывных течений идеальной несжимаемой жидкости М. А. Лаврентьева с произвольной, положительной, невозрастающей, ограниченной завихренностью.