Модель международной торговли. Собственные векторы и собственные значения матриц

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, ею не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны[1].

Для простоты изложения рассмотрим три страны – участницы торговли с государственными бюджетами Х 1 ,Х₂,Х₃, которые условно назовем США, Германия и Кувейт. Будет считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, ¼ бюджета – на товары из Германии, оставшуюся ¼ бюджета – на товары из Кувейта. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит ½ бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны[2].

Ведем структурную матрицу торговли:

США Германия Кувейт

/111\ 2  32

л =

4  32

11 ч з °/

Вообще, пусть а_1у - часть госбюджета, которую j - я страна тратит на закупки товаров i - й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы A в каждом столбце равна единице [2].

После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку p i = « 1 ₁Х₁ + а ₁₂Х ₂ + а 1 _зХ_з. Например, США будут иметь выручку

11  1

pi =   2X1       +      3Х        +      2Хз

доля США       доля Германии      доля Кувейта

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

P i > Х 1 для всех i.           (1)

Предложение 1. Условием бездефицитной торговли являются равенства p i = Х 1 , i = 1, 2, 3.

Доказательство. Предположим, что P i >  Х 1 для некоторого i, например, для i = 1. Запишем условие (1) для всех i :

а11Х1 + <12Х2 + «1зХз > Х1;

<21Х1 + <22Х2 + а2зХз > Х2;

<з1Х1 + <з2Х2 + аззХз > Хз.

Сложив все эти неравенства, получим:

^(о 11 + 0-21 + ° 31 ^)Х 1 + (d i2 + & 22 + ° 32 ^)Х 2 + ⁽° 13 + 0- 23 + 6133 )^ 3 > ^Х 1 + ^Х 2 + ^Х 3

Поскольку все суммы в скобках в левой части неравенства равны 1, то получим противоречивое неравенство

^Х 1 + ^Х 2 + ^Х 3 > ^Х 1 + ^Х 2 + ^Х 3

Следовательно, наше предположение о том, что p_t > Х 1 , неверно.

Доказательство завершено.

Пример 1. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2:

л=(\ 2)— 1  4/

Положим, Х = (х 1 , х₂)^т - вектор - столбец. Тогда из соотношения

(А  4) (Х2) = 2 (Х2)

т.е.

( х1 + 2х2 = 2x1

(-х1 + 4x2 = 2x1'

или

Г (1 — 2)х1 + 2x2 = 0

| —Х1 + (4—2)х2 = 0

Если вектор Х - собственный, то это означает, что однородная система уравнений (3.15) имеет нулевое решение. Согласно последней теореме это условие эквивалентно тому, что определитель системы (2) равен нулю:

11 — Л 2      0

| —1    4 —Л| ,

или Л² — 5Л + 6 = 0 ^ Л 1 = 2,Л₂ = 3. Таким образом, собственными значениями матрицы A будут числа 2 и 3.

Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим Л 1 = 2 и Л₂ = 3 в систему (3.15):

Л 1 = 2,

Л2 = 3,

{

^^^^^м

^^^^^м

х1 + 2х2 = 0 х1 + 2х2 = 0,

{

—2х1 + 2х2 = 0

—х^ + х2 = 0 ,

х 1 = 2t,х₂ = t,

% ! = t, Х 2 = t,

х = t(2,1), t ^ 0,

х = t(1,1), t ^ 0.