Модель надежности космического аппарата

В контрактных документах для КА задается основной показатель надежности в виде требуемого срока активного существования Т , поэтому состояние i- й бортовой системы можно описать бинарной переменной [1], принимающей следующие значения ( i = 1,2, ^, К ):

1,

5 ( Т^{1 )} ) =

если i - я бортовая система сохраняет работоспособность за время Т _ас ,

0 - в противоположном случае,

где Т ,с ) - срок службы i -й бортовой системы. Аналогично для состояния КА в целом можно записать

1, если КА сохраняет работоспособность за время Т _ас , 0 - в противоположном случае,

5 ( Т _ас ) =

где Т - ( T _a ⁽_cⁿ,Т У,..., Т У) - вектор сроков службы К бортовых систем.

Состояние КА в целом может быть представлено выражением

—

^{5 ( Т} ас ) = v ⁽ 5 *( T aC) ), 5 *( Т У), ..., X ⁽ Т^ ) )) ^{,       (1)}

где у — структурная функция системы - функция множества состояний 5 ( T _a C i ) ) с возможными значениями 0 и 1 для каждого.

Время безотказной работы (ВБР) i- й бортовой системы в течение времени Т У определяется как

Р ( 5 ( T aC i ) ) - 1) - PТ ) ), i - 1,2,..., K ,         (2)

где P ( Т^ ) — ВБР i- й бортовой системы в течение времени Т ⁽¹) . Аналогично для КА в целом ас ^—                      ^—

Р ( 5 ( Т ac ) - 1) - P ( Т ac ), _              (3)

где P(Т _ac ) — ВБР КА в течение времени Т _ac .

Цля проектной оценки надежности КА актуальной является задача определения ВБР P ( Т _ac ) космического аппарата по известным ВБР P ( Т^ ¹ ) ) бортовых систем КА и структурной функции v .

Поскольку отказ любой бортовой системы из состава КА приводит к невозможности выполнения целевой функции космического аппарата, то ВБР КА в самом общем виде можно представить как ^* ^*            ^* ^* ^*

P(Т ac ; 0) - P { X >  Т ac ; 0} =

Поставленная задача сводится к исследованию определенной области К -мерного пространства, в которой случайный вектор X имеет характерное распределение ^{р { X} >  ^f -; ® ^}

Цля независимых случайных величин X ^(,) выражение (4) для ВБР КА становится равным

_— K

P ( Т ac ; 9) П P ( т ) ; 9),                (5)

i = 1

где P ( Т У; 9) — ВБР i- й бортовой системы.

Если A K - область множества значений X >  Т _ас , то ВБР КА можно представить как — —         ^{— —}        —         — —

P ( Т ac ; 9) = Р ^{( 5} ) ( Т ac ; 9) - P {( X gA k ) >  Т ac ; 9}, (6) где 5 - индекс, обозначающий структуру с последовательным соединением основных компонентов, характерную для КА в целом.

При анализе ВБР бортовых систем КА рассматриваются системы самонаведения (ССН), образованные из конечного набора последовательных и параллельных ССН путем их соединения в более крупные ССН определенного типа. В этом случае ССН бортовой системы с параллельными структурами зависит от схемы задействования резерва определенного типа.

Цля схем с нагруженным резервом функция ВБР бортовой системы имеет вид

р(Т ^{( 1} ). °                              ^{( 1} 1) jy^{( 1 2)}       jy⁽ N )        ^{( 1} ). °

^{р ( Т} ас ; ^{У ) - 1 P {max} n ⁽ X , X , •••, X ) <  T ; У ^} , ⁽⁷⁾ где N -количество параллельно соединенных элементов (последовательных цепей) в i- й бортовой системе; X ⁽ j -случайная величина срока службы, / -го элемента i- й бортовой системы ( / = 1, 2, „., N ); max _N1(X ^{( 1} У X ^{( 1 2)} ,..., X ^{( 1}^ ⁾ ) - функция, равная максимальному значению из N величин, приведенных в круглых скобках.

Если A' ) - область значений X ^{( 1} ) <  T _a ⁽ _c ¹ ) , то ВБР КА становится равной

^{( 1} )           Р* ^P ) ^{( 1} )

P (Т ac ; и) _ 1    (Tac ; и)

( i 1) у( i ²⁾         у( iN)        ( i )         ( i ). —>

- ^{1 - p {(max} N X X , X , ..., X ) ^ga ) <  T ac ^{; 9 }} , ⁽⁸⁾ где P - индекс, обозначающий структуру с параллель

ным соединением элементов.

Цля бортовой системы, в которой применяется резервирование замещением, ВБР при абсолютной надежности и мгновенной работе переключателей и индикато

ра отказов составляет

^ p { г ⁽¹⁾ > т^, х ⁽²⁾ > T aC²⁾ , ..., х aK ) > - ) ; 9 } , (4) где X - ( X ⁽¹⁾, X ⁽²⁾,..., X ^{( к} ) ) - случайный вектор сроков службы К бортовых систем ( К- мерная случайная величина); 9 — параметрический вектор - набор параметров, определяющий вид распределения.

N

P ⁽ P ) ( T c ; 9) - Р ^ £ X ⁽ j ) >  T Cca ; 9 - .

^—

^—

, j = 1

В общем случае, если все элементы одинаковы (иден

тичны) и независимы друг от друга в смысле надежности, то функция ВБР для i- й бортовой системы

P ( Т К); 9 ) - [ р _з ( Т ^); 9 ) ] " ' J 1 + N £' ^{1 P} X ⁽ T" ; ^§)^ • J j - j f m + M 1 1, (10) j - 1             ^j !             m - 0 l         b 1 Л

где N i — общее количество элементов или цепей (параллельных друг к другу с целью резервирования) в i- й бортовой системе; M i — количество основных элементов в i- й бортовой системе; ( N i — M i ) — количество резервных (нагруженных или ненагруженных) элементов в i- й бортовой системе; P ₃ (Т ₃‘ ) ;9) - ВБР элемента i- й бортовой системы в рабочем режиме; P _x (Т ₃‘ ) ; 9) - ВБР элемента i- й бортово_й системы в режиме хранения; b = ln[ P_x (T^; 9 )] .

‘ ln[ P (T^; 9 )]

Формула (19) является универсальной, так как по ней можно получить формулу для любого вида резервирования при следующих условиях:

• -    при P _x (T i ; 9) = P ₃ (Т? ; 9) и M i = 1 получается формула для постоянного резервирования;

• -    при P _x ( T _a ⁽ _c i ) ; 9) = 1 и М _г- = 1 - формула для резервирования замещением;

• -    при P _x СТ ;/; 9) = Р _э ( Т/ ; 9) - формула для резервирования голосованием по мажоритарной схеме « M i из N i »;

• -    при M i = 1 - формула для резервирования замещением с учетом хранения ненагруженных резервных элементов в i -й бортовой системе.

Приведенные модели надежности КА и бортовых систем являются основой для расчета надежности КА на любом уровне. Они позволяют в рамках определенных допущений выстраивать структурные схемы надежности бортовых систем и оборудования и оценивать надежность с любыми основными вариантами соединения элементов в ССН:

• -    последовательное соединение и элементов (последовательная цепь);

• -    параллельное соединение N цепей, обеспечивающее постоянное резервирование (все цепи нагруженные);

• -    параллельное соединение N цепей, обеспечивающее резервирование замещением ( М цепей - основные (нагруженные), остальные ( N — M ) цепей - резервные ненагруженные цепи);

• -    параллельное соединение двух цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь - основная (нагруженная) и одна цепь - резервная ненагружен-ная, отличающаяся по структуре от основной цепи);

• -    параллельное соединение N цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь - основная (нагруженная), остальные ( N — 1) цепи - резервные ненагруженные; учитывается надежность при хранении ненагруженных цепей);

• -    параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование голосованием по мажоритарной схеме « М из N » (все N цепей - нагруженные, любые М из N цепей - основные);

• -    однофункциональная схема с разветвленной срук-турой и одинаковой надежностью элементов (так называемая мостиковая схема соединения элементов).

Все перечисленью выше основные варианты соединения элементов в ССН приведены в таблице.

В таблице использованы следующие обозначения:

• -    p ( t ) = e ^—Л t , откуда Л t = — ln P ( t ) - ВБР последовательной цепи элементов подчиняется экспоненциальному закону;

• - t - время эксплуатации;

• -    и - количество последовательно соединенных элементов разного типа;

• - I - интенсивность отказов при эксплуатации для отдельного элемента i -го типа ( i = 1,2, 3,..., и );

• -    к. - количество элементов i -го типа ( i = 1,2, 3, ., и ); .

• -    I - интенсивность отказов при хранении для отдельного элемента i -го типа ( i = 1,2, 3, ., и );

n

• -    Л = У k i X i - суммарная интенсивность отказов при i = 1

эксплуатации для всех элементов последовательной цепи; n

• -    Л _х = У k i X_xi - суммарная интенсивность отказов i ⁼¹- при хранении для всех элементов последовательной цепи;

• - P i (t ) = e — k ' " ' ¹ - вероятность безотказной работы при эксплуатации для всех элементов i -го типа последовательной цепи;

• -    P_x i ( t ) = e — k i ^ xi t - вероятность безотказной работы при хранении для всех элементов i -го типа последовательной цепи;

n

• -    p ( t ) = П p i ( t ) = e ^—Л t - вероятность безотказной ра- i = 1

боты при эксплуатации для всех элементов последовательной цепи;

n

• -    P x ( t ) = П P xi ( t ) = e ^Л x ‘ - вероятность безотказной i = 1

работы при хранении для всех элементов последовательной цепи;

• -    Р ( t) - ВБР всей резервированной схемы;

• - N - количество параллельно соединенных последовательных цепей в схеме;

• - М - количество основных цепей, определяющих работоспособность всей схемы, которые резервируются остальными ( N-М ) резервными цепями;

• - р ( t ) - вероятность безотказной работы при эксплуатации для ненагруженной резервной цепи, отличающейся от основной (нагруженной)цепи;

b!

• -    C a =------- , где а <  b - биноминальный коэффи-

• ^b    а !( b — а )!,

циент ( а , b - целые числа).

Рост требований к таким показателям надежности создаваемых КА, как сроки активного существования и ВБР и эффективности полезной нагрузки. ведет к усложнению схем, увеличению кратности резервирования, необходимости применения различных режимов работы элементов и функциональных устройств. Например, практика показывает, что разработчики некоторых радиоэлектронных систем (РЭС) для перспективных КА длительного функционирования часто испытывают трудности в выборе корректных математических моделей при проведении проектных (априорных) расчетов ВБР радиоэлектронных систем, работающих в сеансном режиме, используя при этом усредненные значения интенсивностей отказов приборов РЭС за время работы и время хранения. Между тем, в практике работы Научно-производственного объединения прикладной механики имени академика М. Ф. Решетнева в развитие методологии [2] используется апробированный метод точной оценки ВБР РЭС, работающих в сеансном режиме с чередованием времени работы и времени хранения [3].

Варианты соединения основных и резервных элементов в ССН

Соединение элементов в ССН	Графическое изображение					Формула ВБР
Последовательное соединение элементов (последовательная цепь)	1 а — 2 b _3 с ..........^^					p ( t ) — H p/ t ) — e Л t j — 1
Параллельное соединение N цепей, обеспечивающее постоянное резервирование (все цепи нагруженные)		т— 1 А — 1— 2 А — ;......NA .....	—			P ( t ) — 1 - [1 - p ( t )] N
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением ( M цепей основные (нагруженные) цепи, остальные ( N-M) цепей -резервные ненагруженные цепи)	_______1	--Г А - т- 2 А — -1— 3 А — Л......NA ■		_		P ( t ) — p M ( t ) f 1 + 1             1 I      J — 1          J !         )
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь рабочая и одна ненагруженная цепь, отличающаяся по структуре от рабочей цепи)		■ 2 В —				P ( t ) — p ( t ) + [ p н ( t ) - p ( t )] ln p * t ’ In - pt )- p н ( t )
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь рабочая, остальные ( N - M ) цепи - ненагруженные цепи, учитывая надежность при хранении ненагруженных цепей)	Ш 2 А — ......НА .....					P ( t ) — p ( t )1 + 1 [ p x ()] X I J — 1        J ! j — r (     In p ( t ) X m + — m1 l a (      In p , ( t ) )1
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование голосованием по мажоритарной схеме « M из N » (все N цепей - нагруженные, любые М из N цепей -основные)	— 1А . _ 2 А __ .......NA		И из N			p ( t ) — jt c N ■ p J ( t )[1 - p ( t )] N - J j — M
Однофункциональная схема с разветвленной структурой и одинаковой надежностью элементов (мостиковая схема соединения элементов)	-	1 А ---Г 5 А 2 А__	---3 А - ___4 А _		-	P ( t ) — p ( t ) ( 1 - [1 - p ( t )]2 ) 2 + + [1 - p ( t )] ( 1 - [1 - p 2( t )]2 )

Согласно этому методу априорная оценка ВБР РЭС для каждого промежутка времени с длительностью a T , в течение которого система работает, для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы может быть определена по формуле (10), которая учитывает полную группу работоспособных состояний системы и пригодна для любого вида резервирования:

Р3„ (aT) — [exp(-X3aT)]M (1 + £[1 - p -X-“T)] || f i + M11 ,(11) [ j-i             J!              -‘ I      b JJ где T- длительность сеанса работы РЭС; a - доля сеанса Т, в течение которого РЭС работает; М-количество ос новных комплектов прибора РЭС; К - количество резервных нагруженных или ненагруженных комплектов прибора РЭС; N - K + M - общее количество комплектов прибора РЭС; X3 - интенсивность отказов комплекта прибора при эксплуатации; Xх - интенсивность отказов ком-К плекта прибора при хранении; b — —.

^ ,

Формула (11), также как и формула (10), является универсальной, так как по ней можно получить формулу для любого вида резервирования при следующих условиях:

• -    при X _х — X ₃ и К= 1 получаем формулу для постоянного резервирования;

• -    при Л _л = 0 и ^ = 1 - формулу для резервирования замещением;

• -    при X _х = X _э - формулу для резервирования голосованием по схеме « К из N » (мажоритарная схема);

• -    при К= 1 - формулу для резервирования замещением с учетом хранения ненагруженных резервных комплектов прибора.

Аналогично априорная оценка ВБР РЭС для каждого промежутка времени с длительностью (1 — а) Г , в течение которого система хранится, для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы рассчитывается по формуле (11), учитывающей полную группу работоспособных состояний системы (положив X _э = X _х ):

P™ ((1 — < )=[exp(- X, (1 — а)Г)M х х-1 + £ [1 - exp(— X)(1 - '^)] П (i + M)-, j=1                   j!                   i=0

j —г         ( M ^— 1 + j )!

где    ( i + M ) =             .

• ^{д П} V         ( M — 1)!

Отсюда вытекает, что в случае М= 1 можно получить формулу для постоянного резервирования, при M > 1 - формулу для резервирования голосованием по мажоритарной схеме «К из N».

Априорная оценка ВБР РЭС для полного времени эксплуатации системы рассчитывается по формуле

Р рз_С ( t ) = [ P . ( « T ) ■ P . ( (1 — ^Г ^,          ( ¹³ )

t где t — полное время эксплуатации РЭС; £ = ^ - количество сеансов за время эксплуатации РЭС.