Модель определения рационального объема запасов продукции в цепях поставок со случайным спросом

В ведение. Создание запасов в цепях поставок объективно обусловлено необходимостью непрерывного обеспечения спроса на продукцию и невозможностью или экономической нецелесообразностью полностью совмещать объем и сроки поставок продукции с моментами возникновения спроса на нее. Вместе с тем создание запасов связано с дополнительными затратами на строительство соответствующих складов, создание запасов их хранение и обслуживание. Следовательно, возникает задача определения рациональных объемов запасов продукции. Разработка модели, обеспечивающей ее решение в условиях фиксированного периода пополнения запасов продукции и случайного спроса на нее, составляет цель настоящей статьи.

Описание модели. Вопросы определения рациональных объемов запасов продукции в различных условиях рассматривались в работах [11,12,9,15,8,14,13]. В основу предлагаемых в этих работах моделей и методов решения рассматриваемой задачи положены те или иные варианты формализации процесса спроса в виде предельных распределений для сумм независимых случайных величин. Вместе с тем реальный спрос связан с суммированием конечного (то есть не предельного), но априори неизвестного числа случайных величин [7,2,1,3]. Это обстоятельство учтено в предлагаемой в статье модели для определения рационального объема запасов продукции в цепях поставок со случайным спросом.

Введем обозначения:

Т – длительность периода пополнения запасов продукции;

J – количество видов продукции (номенклатура запасов);

N_j – случайная величина, характеризующая количество потребителей, обратившихся за продукцией j -го в течение времени Т_j ;

β_rj – случайная величина, характеризующая объем продукции j -го вида, запрашиваемый r -м ( r =1,2,…, N_j ) потребителем;

Х_j – объем запасов продукции j -го вида.

При принятых обозначениях объем продукции j -го вида, запрашиваемой за период времени Т , характеризуется случайной величиной:

¥,=^^. j = W;J.           (1)

/-0

С учетом (1) рациональность объема запасов продукции j -го вида характеризуется вероятностью F_j ( X_j ) события, состоящего в том, что ( Y_j ≤ X_j ). Следовательно, для определения рационального объема запасов продукции j -го вида при фиксированном периоде их пополнения и случайном спросе необходимо построить функцию распределения случайной величины Y_j объема спроса на эту продукцию.

Для ее построения вероятность события, состоящего в том, что случайная величина N_j примет значение n , обозначим p_nj . Кроме того, будем полагать, что случайные величины β_rj ( r =1,2,…, N_j, j =1,2,… J ) запрашиваемых потребителями объемов продукции j -го вида – независимы, имеют одинаковые для каждого вида продукции распределения и независимы от n . Тогда для определения функций распределения F_j(y) = F_j(Y_j сумм случайных чисел N_j (j=1,2,…,J) случайных величин β_rj (r=1,2,…,N_j) можно воспользоваться математическим аппаратом характеристических функций.

Характеристическою функцию случайных величин β_rj ( r =1,2,…, N_j , j =1,2,…, J ) обозначим φ_0j (ξ) . Тогда, на основе мультипликативного свойства характеристических функций, характеристическая функция случайной величины Y_j ( j =1,2,…, J ) может быть записана в виде [5,6]:

ФА^^Рп^А^ j-U,..,J. (2)

и=0

С учетом (2), плотность распределения

случайной величины Y_j ( j =1,2,…, J ) имеет вид:

Из (3), вследствие конечности выражения t-P-A® ⁵ ILpXW < », j = 1,2,..J /7=0                   и=0

следует:

где f_nj(y) – плотность распределения суммы n случайных величин β_rj ( r =1,2,…)

Из (4) следует, что вероятность отсутствия дефицита продукции j -го ( j =1,2,…, J ) вида при объеме Х_j ее запасов определяется соотношением

^FAy ^ ^) = t^Pnj U'AyW, j = i,2,.v•         (5)

w=0 о

С учетом (5), вероятность отсутствия дефицита по всей номенклатуре продукции определяется соотношением

а вероятность дефицита хотя бы по одной номенклатуре продукции – соотношением

Соотношения (5) – (7) составляют основу ряда моделей оптимизации объемов запасов продукции при фиксированном периоде их пополнения и случайном спросе. Для их построения введем обозначения:

c_j – стоимость содержания единицы запасов продукции j -го вида;

g_j – вес единицы продукции j -го вида;

v_j – объем единицы продукции j -го вида.

Тогда общая стоимость содержания запасов продукции определяется соотношением

С(Х) - ^_С]Х, •                        (8)

7=г

Общий вес запасов продукции определяется соотношением

G^^g/j,              (9)

7=1'

а их общий объем – соотношением

С учетом соотношений (6) – (10) можно построить следующие задачи оптимизации объемов запасов продукции при фиксированном периоде их пополнения и случайном спросе [4,10].

Задача 1. Определить объем запасов X* = {X ^* ₁, X₂ ^* ,… X_J ^* } , обеспечивающий минимизацию стоимости их содержания

при заданной вероятности R*(X) отсутствия дефицита

R^ = f] F^ R\X)(12)

7=1

и ограничениях на допустимый вес G* и объем V* запасов:

G(X^ygjXj

K(X) = Y v,.X,

v 7 ti J .1

7=1'

Задача 2. Определить объем запасов X* = {X₁^*, X₂^*,… X_J^*}, обеспечивающий максимизацию вероятности отсутствия дефицита по всей номенклатуре продукции

или минимизацию вероятности дефицита хотя бы по одной номенклатуре продукции gCX^minii-H^Cy^jr,)](15a)

7=1

при ограничениях на стоимость C* содержания запасов, их вес и объем:

C(X^yCjX.

G(X) = ^gjX f < G”,

7=1'

JZ(^) = yVjXj < v\(18)

7=r

Конструктивные методики решения этих задач получаются путем установления законов распределения случайных величин, характеризующих поток потребителей и запрашиваемых ими объемов продукции.

Для определенности будем полагать, что: количество потребителей продукции j-го вида за период T подчиняется закону Пуассона с параметром μj, то есть объем продукции, запрашиваемый каждым потребителем, имеет показательное распределение с параметром λj:

w^yVX^, j = l,2,...,J.            (20)

Характеристическая функция экспоненциально распределенной случайной величины имеет вид <р₀Д) = (А-1^'у'.                    (21)

Подставив (19) и (21) в (2), получим:

Подставив (22) в (4), после преобразований получим:

7',(.rl = ^X

je-»u,-^r^=I,

----------, j = 1.2....,j. (?3) (23

где Г(n) – гамма-функция.

Из (23) следует, что что при принятых допущениях вероятность отсутствия дефицита продукции j-го (j=1,2,…,J) вида при объеме Хj ее запасов определяется соотношением

Подстановка соотношения (24) в (12) и (15) обеспечивает конструктивность задачам оптимизации объемов запасов продукции при фиксированном периоде их пополнения и случайном спросе.

Заключение. В целом полученные соотношения (1) – (18) представляют обобщенную модель определения рационального объема запасов продукции в цепях поставок со случайным спросом. Соотношения (19) –(24) конкретизируют эту модель для случая пуассоновского потока потребителей и экспоненциального закона объема потребностей каждого из них.