Модель расчёта поглощения энергии от инкорпорированных излучателей моноэнергетических электронов в объектах природной биоты

Расчёт внутреннего облучения биологических объектов от инкорпорированных радиоактивных веществ является достаточно сложным разделом радиационной дозиметрии. Оценки дозы внутреннего облучения необходимы в радиационной терапии, диагностике с применением радиоизотопов, в задачах радиационной защиты человека и биоты от повреждающего действия ионизирующих излучателей.

В стандартной методике, разработанной Комитетом по медицинской внутренней дозиметрии (MIRD), поглощение энергии внутри заданного биологического объекта может быть выражено в терминах радиационной поглощённой фракции от общей энергии, выделенной в данном объёме [1-3].

Оценка величины поглощённой фракции

является ключевой задачей для внутренней дозиметрии различных биообъектов. Расчёт поглощённой фракции может быть выполнен либо численным интегрированием функции точечного источника по объёму для простой геометрии [2, 3], либо путём компьютерного моделирования с использованием метода Монте-Карло [4-6]. В медицинской дозиметрии опубликованы справочные таблицы поглощённых фракций от инкорпорированных эмиттеров разных энергий в биообъектах, релевантных для медицинских целей [4, 6, 7], данные получены с помощью компьютерных программ Монте-Карло.

В радиационной дозиметрии природной биоты были опубликованы значения поглощённых фракций внутреннего облучения для ограниченного набора биологических сфер с массами от 10-6 до 103 кг (всего 10 размеров с 10-кратным интервалом) и 18 значений энергий электронов [5, 8], расчёты были выполнены с использованием компьютерной системы MCNP4. Для других размеров биообъектов предложена схема интерполяции между имеющимися данными расчёт-

Сазыкина Т.Г. – гл. науч. сотр., д.ф.-м.н.; Крышев А.И.* – зав. лаб., д.б.н. ФГБУ «НПО «Тайфун».

ной сетки с использованием формул, включающих многочисленные подгоночные параметры. Также была предложена методика преобразования расчётов от сфер к эллипсоидам [5, 8]. На основе результатов перечисленных публикаций была создана европейская компьютерная система ERICA Tool, ставшая одним из основных инструментов расчёта доз на биоту в европейских странах и в РФ [9, 10] (см. также интернет-сайт .

Та же методология и интерполяционные методы заложены и в более современном электронном дополнении к Публикации 136 МКРЗ, в котором рассчитываются значения дозовых коэффициентов по заданным размерам организма и заданному радионуклиду [11], доступ на интернет-сайте

Разнообразные методы интерполяции, применяемые в радиационной дозиметрии биообъектов, содержат большое число подгоночных параметров (от семи и более параметров), которые подгоняются таким образом, чтобы соответствовать в точках расчётной сетки дискретным значениям, полученным из программ Монте-Карло.

Разнообразие форм и размеров организмов в природе очень велико, использование при расчёте дозовых нагрузок для каждого типа организмов компьютерных программ Монте-Карло является чрезмерно затратным.

В данной работе основная цель состояла в создании метода прямого аналитического расчёта поглощённых фракций без применения компьютерного моделирования методом Монте-Карло, а также без введения многочисленных подгоночных параметров.

В следующих разделах метод изложен применительно к биообъектам в виде сфер из мягкой биологической ткани. Излучатель моноэнергетических электронов предполагается равномерно распределённым в биообъекте. Представлена схема адаптации метода для расчёта поглощённых фракций электронного излучения в эллипсоидах.

Данные и методы расчёта

Выбор независимых международных баз данных значений поглощённых фракций электронного излучения в сферических биообъектах

Проверка работоспособности нового методического подхода и аналитической модели должна проводиться на независимых данных достаточно высокого качества, которые могут быть использованы в качестве истинных референтных значений при тестировании модели. С этой целью был выполнен анализ литературы и подобраны обширные зарубежные базы данных значений поглощённых фракций электронного излучения в сферических биообъектах, рекомендованные для использования в медицинской дозиметрии и в дозиметрии природной биоты [4-8].

В имеющихся публикациях наборы значений поглощённых фракций

для биологических сфер представлены в виде обширных таблиц и графиков для различных значений размеров объектов и энергий электронов [4-8]. Графики поглощённых фракций демонстрируют нелинейные зависимости как от радиуса R , так и от энергии E в виде однотипных гладких кривых, смещённых относительно друг друга для разных R и E и изменяющихся в диапазоне значений [0, 1]. При рассмотрении серий однотипных графиков

(i(E,R')

возникает очевидный вопрос - возможно ли с помощью масштабирования добиться объединения однотипных кривых в единую, универсальную кривую? Ответ – да, это возможно при специальном масштабировании.

Универсальная кривая поглощённых фракций в сферах с равномерно распределённым излучателем моноэнергетических электронов

Гипотеза о возможности существования универсальной дозовой кривой для электронного излучения была впервые высказана в конце 1960-х годов в работах Д.П. Осанова и Г.Б. Радзиев-ского [12] (см. также описание в книге [13]), которые предположили возможность существования универсальной кривой для изучаемых ими дозовых распределений от широких пучков моноэнер-гетических электронов при использовании масштабирования расстояний на длины пробегов электронов.

Имея в виду гипотезу об универсальной кривой, было необходимо произвести масштабирование размеров биообъектов, выразив их в виде безразмерных эффективных радиусов. Естественным способом получения безразмерного эффективного радиуса R eff было масштабирование (шкалирование) реального радиуса R на среднюю длину пробега ионизирующей частицы (электрона) в мягкой биологической ткани. Таким образом, для моноэнергетических электронов R β,eff =R/Λ(E β ) , где Λ(E β ) , см – длина пробега электрона с начальной энергией E β в мягкой биологической ткани. Значения Λ(E β ) являются стандартными табличными величинами, они рассчитаны для разных материалов, включая мягкие биологические ткани. Справочные таблицы значений длин пробегов электронов разных энергий имеются в справочниках по радиационной дозиметрии [14].

Применение масштабирования к международным базам значений поглощённых фракций в мягкотканных сферах выявило существование единой универсальной кривой поглощённых фракций как функции одного аргумента – безразмерного эффективного радиуса биообъекта, как подробно описано в нашей статье [15]. Фрагмент универсальной кривой поглощённых фракций электронов с указанием референтных данных показан на рис. 1.

Рис. 1. Фрагмент универсальной кривой поглощённых фракций электронного излучения в мягкотканных сферах (модифицировано из публикации [15]).

Отметим, что в работе [16] кривая сходного вида была получена путём аппроксимации собственных расчётов по программе Монте-Карло поглощения энергии электронов в сферических объектах для целей медицинской дозиметрии. В качестве базы для масштабирования в работе

• [16]    было предложено расстояние (X 99 ), на котором поглощается 99% энергии моноэнергетиче-ских электронов, испущенных из центра сферы; аппроксимация как величин X 99 , так и результирующей кривой для поглощённых фракций была выполнена с использованием ряда параметров.

Модель расчёта определения поглощённых фракций энергии от инкорпорированных излучателей моноэнергетических электронов в сферических биообъектах

В соответствии со специфической формой универсальной кривой новая расчётная формула для ф в (R в , eff ) должна иметь следующие свойства:

• •    функция одного аргумента R e , eff ;

• •    гладкая кривая, изменяющаяся в пределах 0-1;

• •    функция с насыщением по величине R e , eff .

Простейшей математической формулой кривой с насыщением, удовлетворяющей перечисленным выше свойствам, является зависимость типа формулы Моно.

В нашей работе [15] было показано, что уравнения для расчёта поглощённой фракции для моноэнергетических электронов и сферических биообъектов имеют вид:

^фР ^(R P.ef f ) = _t| 0,5   ^{; R} р,е f f = XT^ ;                                            ⁽¹⁾

RP^ff

® P^(RP^ff ) = exp⁽¹ — ^Rp,_eff ), если ^Rp^ff < ¹;

^RP^(RP,eff ) = ¹ ,     если ^R p,e f f ^ ^{1 ;}

где ф в (R в,eff ) - поглощённая фракция электронного излучения в сфере радиуса R , см;

R в ,eff =R/Л(E в ) - масштабированный эффективный радиус сферы (безразмерный); Л(Е в ) - пробег электрона в мягкой биологической ткани, см; 0 e (R e ,e« ) - корректирующая аналитическая функция, отличная от 1 при R e ,eff <1.

Выражение (1) для расчёта поглощённых фракций электронов в сферах является функцией одного безразмерного аргумента R e ,eff , который содержит одновременно информацию о размере биообъекта и энергии электронов. С помощью (1) поглощённые фракции могут быть рассчитаны непосредственно без подгоночных параметров и без применения методов Монте-Карло.

Модификация модели для расчёта поглощённых фракций электронного излучения в биообъектах несферической формы

Для расчёта поглощённых фракций ионизирующих излучений в мягкотканных эллипсоидах Э. Амато (E. Amato) с соавторами [6, 7] была разработана оригинальная методика, в которой продемонстрировано, что поглощённые фракции энергии внутреннего излучения одинаковы для эллипсоида и сферы, имеющей такое же отношение «объём/поверхность» как у исходного эллипсоида. В указанной методике при расчёте поглощённых фракций эллипсоид с объёмом V и площадью поверхности S аппроксимируется суррогатной сферой с генерализированным радиусом R cypp , который для эллипсоида рассчитывается по формулам:

R^_p = 3 - ,V = 4 m-a-b-c;                                    (2)

5 = 4я [(a:b)^+a.£)^+b:£^]d; d = 1пЗ/1п2 ^ 8/5, где а, b, c - полуоси эллипсоида; V, S - объём и площадь эллипсоида.

Таким образом, применительно к эллипсоидным биообъектам задача преобразуется к определению поглощённой фракции электронного излучения в суррогатной сфере с помощью уравнений (1). В дозиметрии природной биоты применение метода Амато оказывается весьма полезным, поскольку большинство животных при расчётах доз аппроксимируются однородными эллипсоидами разных размеров.

В дозиметрии биоты [6-8, 11, 17] для случаев непрерывного энергетического спектра бета-излучения радионуклида обычно производится аппроксимация спектра дискретным значением, равным средней энергии бета-излучения. При необходимости более точного расчёта может быть произведена более детальная аппроксимация непрерывного бета-спектра [18]. Примеры практического применения метода для аналитических расчётов дозовых коэффициентов внутреннего облучения эллипсоидных организмов биоты от инкорпорированных бета-излучающих радионуклидов приведены в нашей статье [15], также дозовые коэффициенты приводятся в работах [5, 11, 19].

Представляет интерес дальнейшее расширение применимости нового метода для расчёта поглощённых фракций электронного излучения в телах цилиндрической формы. Так же, как сфера и эллипсоид, цилиндр является выпуклым телом и для него величина средней хорды пропорциональна отношению «объём тела/площадь», т.е. V/S. Аналогично формуле (2) для эллипсоидов, радиус суррогатной сферы для цилиндра радиусом r и высотой h рассчитывается по формулам:

R^ = 3^, V нт²К (3)

5_ц = 2тг • г • (г + К).

Результаты и обсуждение

Тестирование аналитических результатов на независимых международных данных значений поглощённых фракций моноэнергетических электронов

Аналитические значения поглощённых фракций были рассчитаны для геометрических моделей разных размеров и форм. Аналитические значения сравнивали с рекомендованными из медицинской дозиметрии, опубликованными в работе [4] и с данными по дозиметрии биоты [5]. На рис. 2 представлены корреляции между аналитическими значениями для сферических биообъектов и референтными значениями поглощённых фракций электронов, взятых из публикаций разных авторов: рис. 2А показывает корреляцию с данными Стабина и Конейненберга [4] (расчёты Монте-Карло по программе MCNP); рис. 2Б - корреляцию между аналитическими значениями и данными Улановского [5] для сферических биообъектов. Сравнивались значения поглощённых фракций для одинаковых значений энергии электронов и одинаковых размеров сфер. Корреляционный анализ подтверждает хорошее согласие аналитического расчёта с независимыми международными данными, соотношение аналитических данных с расчётными описывается линейной зависимостью Y=kX , где величина к составляет значения 0,99-1, коэффициенты корреляции выше 99%.

Рис. 2. Корреляции между аналитическими значениями поглощённых фракций электронного излучения (сферические тела) и международными референтными данными [4, 5].

A – Сравнение с данными публикации [4]; Б – сравнение с референтными данными из публикации [5].

На рис. 3 представлены корреляции между аналитическими значениями поглощённых фракций электронов, рассчитанными по формулам (1)-(3) для мягкотканных цилиндров и независимыми референтными значениями, полученными в публикации [20] с помощью современной компьютерной программы Монте-Карло GEANT4. Сравнение показывает хорошую применимость аналитического метода для объектов цилиндрической формы.

Поглощенные фракции, аналитические значения

Рис. 3. Корреляции между аналитическими значениями поглощённых фракций электронного излучения (мягкотканные цилиндры) и референтными данными из публикации [20].

На рис. 4 представлено более детальное сопоставление величин поглощённых фракций электронов для разных объёмов цилиндров (от 1 до 105 см3, h=1,5r) для нескольких значений энергий электронов – 0,1; 1 и 4 МэВ; тестовые данные взяты из публикации [20], аналитические значения рассчитаны с помощью формул (1), (3). Как видно из представленных данных, новый метод имеет хорошую работоспособность для выпуклых биологических тел, включая сферы, эллипсоиды и цилиндры, что позволяет рассчитывать поглощённые фракции электронов для большинства объектов животного мира.

с

0.1 ■ о --------------------.--------------------.--------------------.--------------------.--------------------.

О 2        4        6        8        10

Отношение "объем/площадь" цилиндра

Рис. 4. Аналитические значения поглощённых фракций электронов в телах цилиндрической формы в зависимости от соотношения объёма и площади; сравнение с референтными данными из публикации [20].

Заключение

Разработана модель расчёта поглощения энергии от источников моноэнергетических электронов, равномерно распределённых в животных объектах природной биоты разной формы. Модель включает масштабирование реальных размеров организмов на стандартные средние длины пробегов электронов.

Предложенные уравнения расчёта не связаны с компьютерными методами Монте-Карло, а также не содержат подгоночных параметров и не требуют интерполяций между расчётными точками. Показана работоспособность уравнений для расчёта поглощения моноэнергетических электронов не только в сферах, но и в эллипсоидах и цилиндрах. Модель предоставляет возможность простого и общедоступного экспресс-расчёта поглощённых фракций бета-излучающих радионуклидов и дозовых нагрузок для различных объектов природной среды. Подход может иметь широкое применение в задачах оценок радиационной безопасности живых организмов, а также в задачах радиационной защиты окружающей среды.