Модель тепловой нагрузки при динамической абразивной обработке пищевых материалов

Значительная часть оборудования в пищевой промышленности использует абразивное воздействие (например, шелушение зерна и его помол). В этом случае объект изначально предполагается непрерывно контактирующим с рабочим органом. Последние исследования в области обработки пищевых продуктов одним из путей повышения энергосбережения является дискретный подвод энергии, то есть прерывистый контакт обрабатываемого объекта с абразивом. Предполагая, что технически организация такого процесса возможна, следует решить вопрос о технологических параметрах процесса [1–4]. В рассматриваемом случае определяющими показателями эффективности такой организации технологического процесса, по-видимому, будут более полное использование перерабатываемого сырья (снижение количества отходов) и сохранение его пищевой ценности (витаминов, нативных свойств клейковины и др.).

Если первый вопрос существенно зависит от конструкции рабочих органов и технологических режимов и может быть решен только опытным путем, то для решения второго (соблюдения определенного температурного режима) можно провести некоторые аналитические и численные оценки [5].

Рассмотрение траекторий перемещения обрабатываемого пищевого продукта свидетельствует о том, что он может в частности подвергаться кратковременному статическому нагреву в разных точках поверхности от абразивного контакта или от нагретых родственных объектов [6, 7].

Постановка задачи

Описанная физическая модель может быть соответственно формализована в виде тепловой аналитической задачи о теплопередаче шаре [9].

Классическая постановка тепловой задачи в этом случае может быть записана в виде: u t= a2 u хх, 0 < x <да, 0 < t <да c НУ: u (x,0) = u о, 0 < x < да и ГУ: u х(0, t) - u (0, t) = 0, 0 < t < да.(3)

Для нахождения решения данной краевой задачи будем использовать преобразование Лапласа по переменной t (отметим, что здесь можно выполнять преобразование по переменной x , т. к. ее диапазон изменения [0, да ].

Найдем образы частных производных, входящих в уравнение (1):

да

L[ u х ] = j u_e

_„ ,     6

e tdt = — U(x, s), 5x да       - sta2

^L[ u ee ^] = \ e_{x x} e   dt = —^U ( x , s ),

Подставляя полученные выражения в (1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

sU(x) - u0 = d-U, 0 < x <да .(4)

Начальные для уравнения (4), получаем преобразованием (2):

dU (0) = U (0) dx

Дифференциальное уравнение (4) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Для нахождения решения краевой задачи для данного уравнения необходимо задать еще одно условие, которое достаточно очевидно из физических соображений: при x ^ +да .

Общее решение уравнения (4) есть сумма общего решения однородного уравнения:

d - UU - sU ( x ) = 0

dx и частного решения неоднородного уравнения u / s :

U ( x ) = qe^' sx + c₂e"    + u ⁰     U ( x ) ^ 0. (5)

s

Из физических соображений ясно, что константа c = 0. Из граничных условий для уравнения (4) следует, что константа c является решением уравнения -c2 s[= = c2 + u0, по-s лученного подстановкой (5) в (4), c2 = -            .                (6)

• ²      s (V s + 1

Подставляя полученное значение (6) в (5), поучаем окончательное выражение для U ( x ):

U ( x ) = u₀ 1 -

s (V s + 1) _v

Для определения температурного поля u ( x , t ) необходимо вычислить следующий интеграл:

u ( x , t ) = L ¹ [ U ( x , s ) ] =

Ь[Д = j u ,( x , t ) e ^- st dt = u ( x , t ) e ^- st 0

да

+

c + i да

c + i да

j U ( s ) e s ds = j

c - i да

f 1

c - i да

s

| e st ds ’ s (V s + 1) J

да s j u (x, t) e - stdt = sU (x, s) - u (x, 0), используя для этого, например, методы функций комплексного переменного.

Результат его вычисления известен и приводится в справочниках по специальным функциям:

u ( X , t ) = u ₀ - u₀

, (9)

2 от где erfc(x) = —,= [ e -2de - функция, дополни-

4- X

непрерывного действия); a – коэффициент температуропроводности.

Начальная температура процесса постоянная [12]:

t(r, o) = t о = const (11)

Граничными условиями, при которых протекает процесс, являются граничные условия первого рода:

тельная к интегралу вероятностей. Выражение (9) является решением краевой задачи уравнений в частных производных (1).

Если в качестве модели обрабатываемого объекта выбрать сферу, на которую периодиче-

t ( R , t ) = <

t1 = tmin  для 0 < т < F t2 = tmp = tmax ДЛЯ T1 < T < T2

( t i >  t 2 ) ; ⁽¹²⁾

условие симметрии – граничное условие

ски подаются тепловые импульсы от трения ее об абразивные участки рабочих органов технологического оборудования, то тепловой процесс, возникающий при снятии кожуры овощей или же оболочки зерновых, может быть описан известным уравнением теплопроводности для тела сферической формы [8–11]

второго рода:

д t (0, т ) ₌₍₎ д r

д t      1 д ( ₂ d u

— = а—г—I r — дт r2 дr ^ дr или dt     ( d21   2 dt

= a    + дт    ^dr2   r дr

и условие физической ограниченности температуры в центре шара:

t (0, t ) <от (

Период:

Т = τ 2 (0 < τ 2 2 – τ 1

Число циклов:

N =     ■

(0 < r <  R , t >  0,

где t( r, τ) – температура; τ – время; r – радиус обрабатываемого продукта (например, картофеля); R – радиус рабочей камеры машины (радиус пружины для картофелеочистительной машины

где L – длина части внешней окружности клубня, которую абразив проходит за период Т.

Поставленная краевая задача решена методом интегрального преобразования Лапласа, и распределение полей температуры в теле получено в следующем безразмерном виде:

T ( X , Fo ) = 1

—

Fо 1

от

от

- I

m = 1

Fо

+

I ( - 1)

n

2(1

—

e

2          F 01

^- ( nn ) Fo ^{(1 -} —)

F 02    )

n

I=1

-

—

e

( nn ) ² F 0

•

sin( nnX )

nnX

-I

• e

^{( n n )2} F 0,

—

, —   2nm       F о          2nm

( P, cos(— ( Fo - —)) + P ₂ sin(— ( Fo

F 0        ² F 0

-

^{F 0}1 ))) 2

F 01 sin( nm ----)

F

ch (2

Inm x          I nm

>1 к.    ”'2 Frr:1

•

nmX

;

^P1 = sh.

I nm    Urm   Urm      Urm       Urm

---cos --- sh ( --- X )cos( --- X ) + ch ---sin --- ch (

F 0₂ F 0₂ F 0₂             F 0₂              F 0₂         F ₀

nm

nm      Urm

_{F 0} X )sin( _{F 0} X );

P 2

nm    Urm   Urm      Urm      Urm    Urm    nm      Urm

= ch ---sin --- sh ( --- X )cos( --- X ) - sh ---cos --- ch ( --- X )sin( --- X ),

F 02        F 02       F 02            F 02             F 02        F 02        F ₀ F ₀

где T ( X , F ₀) = ( t ( r , t ) - 1 1 )/( 1 ₂ - 1 1 ) - безразмер- Fo = ат(R² - число Фурье (критерий гомоная относительная температура, 0 X = r/R - безразмерная координата; Fo_t = a_Til R²(i = 1,2).

Обсуждение результатов

Аналитическое решение рассмотренной модели в виде сформулированной выше краевой задачи теплопроводности дает возможность прогнозировать и управлять температурным полем обрабатываемого продукта, моделируемого телом сферической формы (клубня картофеля, зерна злаков), предотвращая перегрев продукта, и тем самым влиять на его качество.