Модели и методы оценки оптимального размера производственного сегмента предприятия

В рамках неоклассической теории производства оптимальный размер производственного сегмента корпорации (предприятия акционерной формы собственности) – суммарная величина активов, включенных в этот сегмент, обеспечивающая максимальную эффективность затрат собственного и заемного капитала по критерию валового дохода с учетом сложившихся на момент принятия решения об объемах производства цен на готовую продукцию, факторы производства, ставок заемного финансирования, налогов и пр. Проблематика экономико-математического моделирования производственной сферы предприятия, функционирующего в изменчивой рыночной среде, достаточно полно представлена в трудах зарубежных [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] и отечественных исследователей [10, 11, 13], включая и работы авторов [13, 14, 15, 16].

В работах перечисленных авторов оптимальный размер производственного сегмента предприятия оценивается, однако, исключительно по критерию доходности производственной программы, включающей продукцию основного и вспомогательного производств. Однако, в условиях сегментации бизнеса по центрам ответственности, ставшей заметной особенностью современной организации производства, такой подход не может быть признан удовлетворительным. Производственный сегмент корпорации, как и любой другой центр ответственности (центр прибыли, затрат, инвестиций), кроме функции обеспечения доходности основной производственной деятельности, выполняет функции по организации у¹ Э/ d^ax^ _ у, Э/ ~\ дх. da ^ дх; '

ее финансирования, снабжения – сбыта продукции, эффективного использования основного и оборотного капитала и др. Очевидно, что учет в оценках валового дохода производственного сегмента предприятия объектов неосновной деятельности существенно отразится на основных его финансово-экономических и производственных показателях, включая и такие, как точка безубыточности и оптимальный размер выпуска.

Оптимальный размер предприятия в рамках неоклассической теории производства

В неоклассической теории производства [1, 2] аналитическое выражение оптимального по критерию доходности основной производственной деятельности объема производства получено для предприятия с однородной производственной функцией, являющейся:

– дважды непрерывно дифференцируемой в экономической области Ω (области задания);

– монотонно неубывающей и выпуклой вверх по каждому аргументу (в качестве аргумента выступает объем переменного или условно-постоянного ресурса – актива, включаемого в рабочий капитал (капитал производственного сегмента предприятия);

– однородной (степени r > 0):

ʄ(α x ₁,..., α x_i ,..., α x_I ) = α^rʄ( x ₁,…, x_i ,…, x_I ), (1) где I – число учитывающих в модели предприятия активов; x_i – объем i-го актива; α > 0, x_i , α x_i ∈ Ω.

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:

r-a'"¹-/ (x_v...,x_i,...,x_I).              (2)

В точке X = X ₀ оптимального объема выпуска:

Учитывая, что левая часть соотношения (3) сов п адает с суммарной эластичностью E ( X ₀) выпуска по факторам затрат (активов), запишем для α = 1:

E ( X о ) = r .              (4)

Обозначим выпуск (объем производства) предприятия переменной у :

а валовые (переменные плюс условнопостоянные) затраты на объем выпуска у – через с(у). Тогда соотношение

E ( X ₀ ) = ¹ можно записать в виде:

dc ( У ) = 1 dy r

(4`)

откуда получим следующее выражение для функции полных затрат на объем производства, равный у:

c ( y ) = c (1) ■ y r ,             (6)

где с(1) – удельные валовые затраты (затраты в расчете на единичный объем производства).

Пусть p ₀ – валовый удельный доход для произведенной в производственном сегменте предприятия и реализованной продукции. Если ввести в рассмотрение функцию прибыли предприятия:

^п ( У ) = p 0 ■ У - c ⁽¹⁾ ■ y r ,       ⁽⁷⁾

то оптимальный yопт объем производства для предприятия с неоклассической производственной функцией можно получить из условия экстремума для функции прибыли:

d П ( y ) dy

Al2.'Y cd) J

Комментарий . Для r > 1 объем производства, устанавливаемый на основе выражения (9), – точка минимума функционала (7). Для r > 1 – точка максимума.

В реальной производственной практике наиболее распространенным является второй случай: переменные и условно-постоянные затраты растут быстрее выпуска по причине нарастания косвенных затрат на входе и выходе производственного сегмента и нарастания трансакционных затрат сбыта и реализации.

Таким образом, оптимальный объем уопт производства для предприятия с неоклассической производственной функцией степени однородности, меньшей 1, задается выражением (8).

В общем случае (функция «затраты-выпуск» не обязательно является однородной) оптимальный размер производственного сегмента предприятия с учетом рыночного риска производственной программы может быть определен на основе следующей модели:

VD ( X i ,^, x , ,™, Xi ) =

= X ( p i - c i ) ■ X i ^ max; (10) = 1

I

Xa^ x, < Rj, j = 1, J ;(11)

i = 1

I

^CX, < OK;(12)

i = 1

x, < ^,i = 1,1;(13)

II                        / I A ²

ZZ xx - ^⁸ -^- ₂ ^cov 01 ; 2 ) < 2 5 ² ■[ X x i ; ⁽¹⁴⁾ 1 1 = 1 - 2 = 1                                                      V 2 = 1 7

X,e t‘, 2 = 1,I,(15)

где VD – валовый доход при выборе производственной программы, задаваемой вектором X ; p , c – средние за период наблюдения и п,ринимаемые в расчетах за актуальные соответственно, рыночная цена и удельные производственные затраты по i – му изделию производственной программы; J – число технологических операций, используемых в производственном сегменте предприятия; a j – технологическая фондоем- кость производства i-го изделия на j-й операции; Rj – эффективное время работы технологического оборудования на j-й операции; OK – оборотный капитал (текущие активы производственного сегмента предприятия); Si – рыночные спрос на i-е изделие производственной программы предприятия; δi – дисперсия доходности i-го вида продукции за период наблюдения; cov(i1; i2) – ковариация доходностей продукции с индексами i1 и i2 (за период наблюдения); δ – пороговое значение риска производственной программы принимаемого собственниками и менеджментом.

Экзогенные (неуправляемые) параметры модели P_i , C_i , S_i определяются рыночной конъюнктурой. Эндогенными (управляемыми) параметрами являют ся : эффективное время работы R j , j = 1, J основного и вспомогательного оборудования на технологических позициях, OK – оборотный капитал производственного сегмента предприя т ия, авансируемый в покрытие затрат; 5 - предельный риск производственной программы.

Если X (0) = ( X <⁰⁾,..., X <⁰⁾, _ , X f) -оптимальное решение нелинейной целочисленной задачи (10) – (15), то оптимальные размер производственного сегмента предприятия определим по формуле:

/=1

Учитывая выпуклость критерия (10) и ограничений (11), (12), (14), можно утверждать о наличии однозначной зависимости между оптимальным реш е нием мо дели (10) – (15) и вектором ( R j ( j = 1, J ), OK , 5 ) регулируемых параметров. А именно, если – двойственные оценки соответственно ограничений (11), (12), (14), то оптимальные размер произ-

/=1

водственного сегмента предприятия соответствует значению функционала:

, (17)

связывающего оптимальное решение модели (10) – (15) с вектором двойственных оценок регулируемых параметров.

Концепция и теоретические положения задачи выбора оптимального варианта производственной деятельности и размера производственного сегмента предприятия

Выше рассмотрены модели определения оптимального объема производства предприятия, функция «затраты-выпуск» которого корректно описывается соотношениями неоклассической теории производства или может быть получена на основе двойственных оценок регулируемых и нерегулируемых параметров внутренней (производственно-технологической) и внешней (рыночной) сред предприятия.

Важной особенностью этих моделей является их сугубо «производственная» направленность, в рамках которой производственный сегмент предприятия представляется классическим «черным ящиком» [15], на вход которого поступают производственные ресурс, а на выходе реализуется конечный продукт, стоимостная оценка которого (разница рыночной цены реализации и затрат в цепочке «снабжение-производство-сбыт») учитывается в финансовом результате основной производственной деятельности предприятия.

В реальной практике функционирующего в условиях рыночной экономики хозяйствующего субъекта деятельность его производственного сегмента не ограничивается только собственно выпуском продукции традиционного или инновационного ассортиментов, но включает и объекты внепроизвод-ственной деятельности: сдача/взятие в аренду эксплуатационных и производственных мощностей, управление финансовыми активами и др. виды деятельности, приносящие доход. Учет операций внепроизводственной деятельности в оценках «рыночной» мощности производственного сегмента предприятия существенно отражается на результатах моделирования и на стоимостной оценке его оптимального размера.

Ниже рассмотрим формальную постановку и математическую модель определения оптимального размера производственного сегмента предприятия в условиях изменчивых товарных и финансовых рынков, параметры которых составляют экзогенную часть переменных.

Отметим, что модели производственной сферы предприятия можно рассматривать и в статическом (для выбранного временного интервала) и в динамическом (для последовательности временных интервалов) вариантах, которые существенно отличаются критериями и составом ограничений [12].

Остановимся на более простом статическом варианте модели с критерием на максимум валового дохода производственного сегмента предприятия, производственно-технологическими, финансово-ресурсными и рыночными ограничениями, характеризующими условия основной и внепроизводственной деятельности предприятия.

Формальная постановка задачи и статичный вариант модели определения оптимального размера производственного сегмента предприятия

Введем следующие обозначения для параметров и переменных модели определения оптимального размера предприятия (для упрощения восприятия интервал планирования t будем считать присутствующим в этих обознач ен иях):

i, i = 1,I ,   индекс производи мой продукции;

x_i – планируемый объем производства i -того вида продукции;

pr_i ( x_i ) – цена реализации единицы i -го вида продукции в объеме x_i (в общем случае нелинейная функция объема реализации);

a ⁽ _j ¹⁾ – стоимость эксплуатации и затрат на восстановление изношенной части j -го постоянного актива в основных активах (рабочем капитале) предприятия:

r i (x) – эффективная нагрузка на j -й постоянный актив в рабочем капитале предприятия при производстве единицы i -го вида продукции в объеме x_i (в общем случае нелинейная функция объема производства);

J ₁ – число составляющих постоянных активов, учитываемых в оценках себестоимости производимой продукции;

d ⁽ _j ¹⁾ – средняя плата в расчете на единиц j -го постоянного актива, сдаваемого в аренду; ₍₁₎

PF_j , PF_j ^{( )} – соответственно, общая величина j -го постоянного актива в рабочем капитале предприятия и оставшаяся после сдачи в аренду часть эксплуатационных и производственных мощностей, используемая при производстве изделий из номенклатурного перечня предприятия;

J ₂ – число составляющих оборотных активов, учитываемых в калькуляции переменных затрат производственной деятельности предприятия;

a ⁽ _j ²⁾ – стоимость единицы j -го переменного актива;

t ^2 ( x i ) - объем затрат j -го переменного актива на производство единицы i -го вида продукции в объеме x_i (в общем случае нелинейная функция в объеме производства);

SK – собственный капитал предприятия, размещенный в производственном сегменте;

SK ⁽¹⁾ – собственный капитал, используемый на финансирование затрат переменных активов;

β – планируемое значение коэффициента автономии (отношение собственного капитала к полному капиталу) – риск структуры капитала производственного сегмента предприятия;

β_п – пороговое (минимальное) значение ко эффициента автономии;

• – максимально возможный объем заемного финансирования производственного сегмента предприятия;

• p ₁ – эффективная ставка по депозиту для предприятия в выбранном банке;

• p ₂ – номинальная ставка по краткосрочному кредиту для предприятия в выбранном банке;

S_i – спрос на i-е изделие, сложившийся на рынке для рассматриваемого периода времени.

Максимальный валовый доход VD (до налогообложения) производственного сегмента предприятия, покрывающий затраты переменных активов и по обслуживанию кредита (для рассматриваемого интервала времени), может быть рассчитан на основе следующей статичной модели производственного сегмента предприятия:

PV ( x . ( i = 1, I ) ; PF ( 1 ( j = 1, J 1 ) ; SK ⁽¹⁾; в ) = I I =1 ( РГ ( x . ) — I J =1 aj^*t j ( x )

— I J = 1 a ( 2 ) * j ( x i )) x. + I J = 1 ( PF j — PF ^H d ^ — a ( 1 ) ) +

+ ( SK — SK ⁽¹⁾)* p 1 — p ₂*^{(1 —в} ) * SK ⁽¹⁾ ^ max;

—

I I = i tr ji )( x )* x - PFJW , j = 1, J 1 ;	(19)
I J = 1 a ( !”I ' = 1 tr i21 ( x . ) x . - 1 * SK "*;	(20)
x . -S . , i = 1,7;	(21)
PF , (1)< PF j , j = 1, J ;	(22)
SK (1) ≤ SK ;	(23)
β ≥ β п ;	(24)
;	(25)
;	(26)

β ∈ (0; 1).                                       (27)

В составе переменных критерия (18) модели (18)-(27) перечислены эндогенные (управляемые), соответственно: объемы производимой продукции; постоянные активы, резервируемые для целей собственного производства; собственный капитал предприятия, планируемый для финансирования переменных затрат; коэффициент автономии.

Регулируемыми (определяемыми по результатам предыдущего производственно-коммерческого цикла) параметрами модели являются: об ъемы постоянных активов ( PF . , ( j = 1, J 1 ) , собственного капитала ( SK ) производственного сегмента предприятия и пороговое значение (β_п) коэффициента автономии.

Нерегулируемыми (экзогенными) параметрами модели являются: рыночный спрос (S. (i = 1,I)), цены (pr (xi)), i = 1, I на изготавливаемую продукцию и факторы производства (a^, j = 1, J1,a(2), j = 1, J2) , рыночные ставки (dj11, j = 1, J1) доходности по операциям сдачи/взятия активов производственного назначения в аренду, (p1, p2) по депозитам и краткосрочным кредитам и емкость рынка заемного капитала).

В группу «технологических» параметров модел и в ключены коэф фи циенты t j ( x . ) , j = 1, J 1 и tr j. ’ ( x . ) , j = 1, J 2 фондоемкости изделий производственной программы соответственно по элементам постоянных и переменных активов рабочего капитала производственного сегмента предприятия.

Соответствие модели (18)-(27) заявленной концепции определения оптимального размера предприятия обосновывается содержанием критерия и ограничений. В критерии (18) предложено учитывать одновременно и финансовый результат основной производственной деятельности в форме разницы стоимостей реализованной продукции и затрат на ее производство, лимитированный рыночным спросом и величинами рабочего капитала в части активов и пассивов, и альтернативные доходы производственного сегмента предприятия, связанные со сдачей в аренду излишка производственных мощностей и размещением свободных средств на банковском депозите.

Если рентабельность производимой продукции по совокупным производственным затратам, рассчитанная на основе первого слагаемого в выражении (18), выше доходности внепроизвод-ственной деятельности (второе слагаемое в выражении (18), то приоритет будет отдан основной производственной деятельности, а для обеспечения большего объема выпуска (в пределах рыночного спроса) будут запланированы большие объ емы постоянных активов PF j , ( j = 1, J 1 ) и денежных средств SK ⁽¹⁾, направляемых в покрытие переменных затрат.

В случае невысокой рентабельности основной производственной деятельности по затратам постоянных и переменных активов и (или) низкого рыночного спроса на конечную продукцию приоритетной окажется внепроизводствен-ная деятельность, результат которой описывается вторым слагаемым выражения (18). В этом случае резервируемая для осуществления основной производственной деятельности в ели чина постоянных активов PF j , ( j = 1, J 1 ) соответствует производственной мощности, обеспечивающей производство на уровне рыночного спроса на продукцию предприятия.

Изменяя регулируемые параметры производственного сегмента предприятия: об ъемы постоянных активов PF ., ( j = 1, J ) и рабочего капитала SK и пороговое значение β_п коэффициента автономии (правые части ограничений (2), (6), (7), лицо, принимающее решение, имеет возможность планировать и управлять финансовым результатом производственного сегмента предприятия в случае стабильных параметров товарного и финансового рынка: спроса и цен на готовую продукцию, цен на факторы производства, процентных ставок по депозитам и кредитам, емкости рынка краткосрочных кредитов и других параметров.

Таким образом, для фиксированных значений экзогенных параметров товарного и финансового рынка, перечисленных выше, оптимальный размер производственного сегмента предприятия на выбранном интервале планирования t зависит от установленных значений регулируемых параметров состава постоянных активов, объема и структуры капитала, инвестируемого в производственную сферу его рыночной деятельности. Эти значения используются в правых частях ограничений (19), (23), (24), что позволяет утверждать о наличии следующей зависимости, устанавливающей связь между оптимальным размером производственного сегмента предприятия для временного интервала t и двойственными оценками этих ограничений, соответствующих ему:

где PV ₀ – оптимальный размер производственного сегмента предприятия для периода t, соответствующий максимальному значе н ию критерия (18) модели (18)-(27); u_F – вектор двойственных оценок ограничения на об ъемы постоянных активов PF j , ( j = 1, J 1 ) ; u_SK -двойственная оценка ограничения на объем оборотного капитала производственного сегмента; – двойственная оценка ограничения на пороговое значение риска структуры капитала.

Комментарий 1 . Для случая непрерывной задачи (в отсутствии ограничения (26)), линейных критерия и ограничений модели (18) – (27) функционал (28) может быть представлен линейной сверткой двойственных оценок и абсолютных значений правых частей ограничений (19), (23), (24).

В общем случае непрерывной нелинейной задачи (18) – (25), (27) учитывая выпуклость критерия (18) и ограничений (19) – (25) для нахождения двойственных оценок ограничений (19), (23), (25) следует составить функцию Лагранжа исследуемой модели, выписать необходимые условия её экстремума и, опираясь на соотношения теоремы Ку-на-Таккера, определить двойственные оценки ограничений (2) – (8) и, в том числе, (19), (23) [16, 17]. (25).

Комментарий 2 . Модель (18) – (27) может быть «усилена» ограничением (14), что позволит в расчетах оптимального размера производственного сегмента предприятия учесть предельный уровень принимаемого риска потери доходности основной производственной деятельности.

Введение в модель дополнительного нелинейного ограничения типа «≤» сохранит разрешимость полной системы ограничений модели (18) – (27), (14) (лег ко видеть, что «тривиальное» решение x ⁽⁰⁾ = (0,...,0,...,0) ей удовлетворяет), но повысит вычислительную сложность численного алгоритма ее решения, который рассмотрим в следующем разделе.

Численный алгоритм решения дискретной нелинейной задачи (18) – (25), (27), (14)

На первом этапе рассмотрим численный метод решения дискретной нелинейной задачи (18) – (25), (27) (без ограничения (14) на предельный допустимый риск производственной программы). В качестве основной идеи численной процедуры используем метод линеаризации, предложенный М.А. Горским [13].

По результатам решения задачи (18) – (25), (27) на п реды дущих временных интервалах t = 1, t k -1 , ( t_k - текущий временной интервал) для каждого продукта из производственной программы предприятия определим минималь ны й x )m^1П) и максимальный x ^^ax) ( i = 1, I ) объемы его производства. ^,

Аналогично поступим для нелинейных функционалов pr i (x ), t j ( x ) и t j ) ( x i ), входящих в качестве составляющих в критерий (18) и левые ч асти ог рани чен ий (19) и (20) ( i = 1, 1 ; j = 1, J 1 ; j = 1, J 2 ).

Линейные представления этих функционалов для временного интервала t_k определим, используя метод «двух точек» [18, 19]:

pr_ik ( x ) = а (1) * x + 3 (1) ; i , i                 i , i i ,

где

p (1 k

(2)         (2)              (3)

j , i , k             j , i , k i j , i ,

( ( max )              ( min )

x(,k J-pr(xk J i, k                 (max)       (min)

x i , k   ^- x i , k

pr (xmin))* x(max)

- pr

(x (max)) * x (min)

(max)      (min)

x , k x , k

(По аналогичным формулам определяются коэффициенты линеаризации а ( ^ ,

Р (2)     (3)     (3)                                    #_ГО) /г(²)

i k , ^a i k , P i^- k и ^для ^рун^цион^лов tr j i ^и r j i

С использованием коэффициентов, линеаризации, приведенных выше, получим линейную дискретную модель следующего вида:

PFfr^YI a(1)       (1) - YJ1 (1Vа<2)        (2)    YJ2 fa*3)        (3)

^PVk ( x ) ^ i = 1 ^а i , k xi ^{+ e} i , k ^ j = 1 a j ( ^a j , i , k xi ^+e j , i , k ) ^ j = 1 ( ^а j , i , k xi ⁺P j , i , k ) ⁺ + X J =1 ( PF J - PF ?^ ) * ( d ^ - a ? ) + ( SK - SK ^) * P 1 — P 2 * ^^^* SK ⁽¹⁾ ^ max;    (18’)

У J 2 « (/) *У I ( a (/) к * Xi + P? ) k) ^ 1 * SK (1); j = , j            = ,       1 , i , k i         / , i , k	(20’)
x_< S i , г = 1,7 ;	(21’)
PF ( 1 < PF j , j = 1, J ;	(22’)
SK (1)<  SK ;	(23’)
;	(24’)
; p ж(|) + зк	(25’)
;	(26’)
β ∈ (0; 1).	(27’)

Если учесть, что параметр β относится к регулируемым, то модель (19’) – (26’) эффективно решается с использованием алгоритмов дискретной оптимизации, например, методом «ветвей и границ» [16, 20, 21].

Рассмотрим алгоритм решения нелинейной задачи (19’) – (26’), (14) (с включением ограничения (14) на предельный допустимый риск производственной программы).

На временном интервале k проводим линеаризацию основной задачи (18) – (26) и решаем целочисленный аналог ли не йной задачи (18’) – (26’), (27’). Пусть x_k – оптимальный набор продуктов для временного инт ер вала k.

Если набор x_k удовлетворяет ограничению (14), то оптимальное целочисленное решение для шага k найдено.

В противном случае, учитывая, что ограничение (14) задает выпуклую область допустимых решений и в совокупности с критерием (18) и другими ограничениями (19) – (26) является «стандартной» задачей линейного непрерывного программирования, то, применяя к ней симплекс – процедуру, выпишем множество базисных решений, удовлетвор яющих это му о граничению:

P k ,1 , P k^ , - , P_kN ( k ) (гДе N ⁽ k ) ^- число базисных решений задачи для шага k).

Введем в рассмотрение набор весов Wk,,, Wk,2,_, WkN(k), удовлетворяющих условиям:

( k )

X „, W = 1;(34)

W,, > 0, n = 1, N(‘’ ,(35)

N ( k )

и вектора p_k = X _n = , W k , n * P k , n , каждый из которых удовлетворяет ограничениям (19’), (20’), (21’) и (14).

Таким образом, оптимальный набор весов ( W o , W o , _ , W ^o _k ) и соответству- k ,1 k ,2             _{k , N}

N(k) o ющий ему вектор X„=i Won *Pk n оптимального решения непрерывной задачи квадратичного выпуклого программирования (18’) – (25’), (27’), (14) могут быть получены как решение более простой задачи линейного программирования:

PV k ( X N = , ) W k , n * P k , n ) ^ max; ⁽¹8”)

( k )

X ,„1 W k , n = 1;         (34-)

W kn >  0, n = 1, N'* ) .       (35’)

Соответствующие вектору P k =

N ( k )

N o квазиоптимальное ре-n=1 k, n k, n шение дискретной (с учетом ограничения (26’)) задачи может быть получено с использованием метода локальной оптимизации непрерывного решения, приведенного в работе [14].

Заключение и выводы

В статье представлен теоретический подход, экономико-математические модели и методы оценки оптимального размера производственного сегмента промышленной корпорации в условиях изменчивых параметров рынков готовой продукции и факторов производства.

Важной особенностью подхода, моделей и методов является их реализация в рамках неоклассической теории и фирмы, предполагающая широкое использование при выборе оптимальных вариантов основной производственной и внепроизводственной деятельности производственного сегмента корпорации двойственных оценок ограничений по внешним (рыночным) и внутрифирменным параметрам, характеризующим текущее состояние внешней и внутренней её сред.

С учетом этого аспекта полученные результаты являются новыми, имеющими важное значение для современной теории и практики производственного менеджмента.