Модели ограниченных случайных величин в задачах идентификации клавиатурного почерка

Введение1

В настоящее время актуальны задачи совершенствования систем аутентификации пользователей информационных систем (ИС), а также повышения результативности расследования компьютерных инцидентов. Одним из способов их решения является идентификация клавиатурного почерка (КП) пользователя ИС. Клавиатур- ный почерк – это поведенческие закономерности ввода конкретным оператором текста. КП фиксируется значениями биометрических характеристик. Такими характеристиками являются: продолжительность нажатия клавиши, период времени между нажатиями клавиш, период времени между отпусканием и нажатием следующей клавиши, среднее значение продолжительности нажатия клавиши, среднее квадратическое отклонение продолжительности нажатия клавиш и т.п. Совокупность значений этих характери-

ВЕСТНИК 2015

стик, полученная при вводе текста оператором, является реализацией случайного вектора, а его распределение зависит от индивидуальных особенностей личности.

Как правило, большинство элементов рассматриваемого случайного вектора являются независимыми, а следовательно плотность распределения случайного вектора может быть представлена произведением плотностей распределения отдельных его элементов. Для описания закона распределения такого случайного вектора необходимо использовать законы распределения элементов вектора, которые могут быть получены на основе обработки зарегистрированных характеристик клавиатурного почерка. Носители распределения указанных характеристик принципиально ограничены, поэтому представляется целесообразным искать аппроксимирующие распределения в классе распределений ограниченных случайных величин (СВел).

Анализ форм кривых бета-распределения привел к выводу о том, что именно с его помощью удобно аппроксимировать большинство законов распределения (ЗакРас) ограниченных СВел.

Плотность ф _х ( x ) и функция F_x ( x ) четырёхпараметрического бета-распределения определяются следующими выражениями [1]:

фХ (x) = фХ B ] (x; a, b ,а, в) = x-aαb-x β

----⁽---- )-(---- )—— П ( x; a , b ) B ( а + 1, в + 1 )( b - a ) ^{а + в}

X

F_x ( х ) = F x ^b ] ( x ; а , b, а , в ) = J ф _х ^B ] ( x '; а , b, а , в ) dx' =

X

= J

-∞

-∞

( х' - а ) ^а ( b - х ' ) ^в dx '

B ( а + 1, в + 1 )( b — а ) “ ^{+ в + 1} ,

где x ˆ – случайная величина (˄ – символ случайного объекта); a < b ; a, b ∈ (–∞, ∞) – параметры положения распределения (минимальное и максимальное значения СВел); α ≥ –1, β ≥ –1 – параметры формы распределения; B ( а + 1, в + 1 ) =

1               Г(а + 1)Г( в +1)

= v^a ( 1 - v ) dv = —-----—------ - интеграл Эй-

J V ’        Г(а + в + 2)

∞ лера первого рода; Г(z) = Jtz-1 e-tdt - интеграл 0

Эйлера второго рода (гамма-функция) при z , являющимся натуральным числом Г ( z ) = ( z - 1 ) !;

,     . 10, при x <  а или x >  b

П (x; а, b) = <

[ 1, при а < x < b селектор

интервала.

При a = 0; b = 1 ^ b - a = 1 ^

^ фх0 (x )=фХB ](x ;0,1,«,e ) = xa (1 - x)e

B (a +1, в +1)

П ( x ;0,1 )

F x_o ( x ) = F X b ^]( x ;0,1, а , в ) =

x

= J ффB](x';0,1,a,в)dx'-П(x;0,1) + A(x-1)= (4)

-∞ xx'“ (1 - x')в dx' J B(a +1,в +1)

•П ( x ;0,1 ) + A ( x - 1 ) ,

где x ˆ₀ – нормированная по величине ( b – a ) размаха выборки СВел x ˆ ;

, _x [0, при x <  d

A ( x - d ) = <              - селектор луча.

[ 1, при x >  d

Бета-распределение с плотностью (3) и функцией (4) называется каноническим [2]. Примеры графиков его плотностей для различных значений α и β приведены на рис. 1.

Приведенные графики плотностей распределений показывают широкие возможности предлагаемой модели по аппроксимации ЗакРас, наблюдаемых в природе СВел. Как видно из приведенных примеров, универсальность бета- распределения позволяет аппроксимировать ЗакРас практически всех наблюдаемых в природе СВел, которые являются ограниченными в силу закономерностей процесса их измерения исследователем. Таким образом, в автоматизи- рованных системах, использующих законы рас- пределения, возможно описывать законы распределения только моделью бета-распределения. Параметры ЗакРас бета-распределения легко определяются на основе следующих выражений

[3]:

^ Г 1

a = m [ , x ₀ ]