Моделирование движения гусеничного транспортного средства при случайном кинематическом возбуждении

Одним из важнейших элементов любой транспортной системы, определяющим её динамические качества, является система подрессоривания - подвеска; от того, как она спроектирована, существенным образом зависят проходимость, устойчивость, надежность работы и скорость транспортной машины, а также сохранность перевозимых грузов и самочувствие находящихся в ней людей. Поэтому вопрос создания рациональной подвески относится к числу важнейших проблем транспортного машиностроения.

Рис.1. Расчетная колебательная схема транспортного средства

Рассмотрим математическую модель движения гусеничного транспортного средства (рис.1), подверженного внешнему случайному кинематическому воздействию. На рисунке 1 обозначены: М -подрессоренная масса; с - приведенные жесткости рессор; д - коэффициент вязкого сопротивления амортизаторов; U к – вертикальное перемещение катка относительно корпуса машины; l i - расстояния от центра колеса до поперечной плоскости, проходящей через ц.т. машины; v – скорость движения.

Для решения задачи примем следующие значения:

• 1)    корпус машины - жесткое тело, т.е. его деформациями пренебрегаем;

• 2)    проекция скорости движения центра тяжести машины на направление движения – постоянная величина;

• 3)    реакция грунта в продольном и поперечном направлениях отсутствует;

• 4)    неуравновешенность и гироскопические моменты вращающихся масс трансмиссии и двигателя равны нулю;

• 5)    контакт катка с гусеницей точечный.

Профиль дороги рассматривался как стационарный нормальный случайный эргодический процесс с корреляционной функцией [1]:

K ( т )= а ₀ ² e ^{| |}(cos( Р^ )     sin( р | т |)),                              (1)

где СУ 0 , а , Р - параметры, зависящие от типа дороги и ее состояния. Реализации процесса под обеими гусеницами считались различными.

По данным, приведенным в работе А.А. Силаева, сила упругого сопротивления рессор может быть представлена выражением:

P ( U ) C ( U + U ^m ),                                 (2)

где С – жесткость рессоры; U – перемещение катка относительно корпуса машины; у— параметр нелинейности; m – целое число (m=1,2,3), а сила вязкого сопротивления амортизатора – зависимость вида:

i

P ( U ) = цU ,

где д - коэффициент вязкого сопротивления; U - относительная скорость перемещения катка; i -целое число ( i = 1,3).

При помощи уравнения Лагранжа 2-го рода

ddt

дT

5qj

®TQ

а ^qj   ^Qj

получим систему дифференциальных уравнений движения транспортной машины. При этом кинетическая энергия системы

T  T ₁ + T ₂ + T ₃ + T ₄ ,

где T ₁ – кинетическая энергия корпуса машины; T ₂ – кинетическая энергия гусениц; T ₃ – кинетическая энергия деталей двигателя; T ₄ – кинетическая энергия катков. После преобразований система уравнений движения приводится к виду:

i

2 n                                                ⁱ

^Z =Е ^b 11 j^Uj+ _U m_j •г>^b 12 j^Uj   ^b 13 ^Pв

13 в . к . ,

j 1

i

j 1

22 j

U j bP

23    в . к .

i

2 n                                                 ⁱ

• ^b 31 j^Uj+ /•_U m _j > ^b 32 j ^{U j}

  ^b 23 ^Pв . к .

  
  

j 1

где b , b , b , b - коэффициенты; n - число катков одного борта; P - сила тяги на ведущем колесе.

Рис.2. Зависимость среднего ускорения на месте водителя (а) и среднего числа выбросов (б) от скорости движения машины: 1 - моделирование; 2 - эксперимент

На основании (6) с использованием методов статистического моделирования составлена программа, позволяющая моделировать движение гусеничного транспортного средства по дороге со случайным профилем. Результаты, полученные с помощью натурного эксперимента и путем численного моделирования, приведены на рисунке 2. Характеристики машины имели следующие значения:

G 42 10⁴ Н ; J ou   1,6 10⁵ Нмс ²; J_ox  9 10⁴ Нмс ²; n 6;

C 24 104Н /м;ц =36 104Hc3/м3;m 1;i 3, где G0 - вес машины; Jou , Jox - моменты инерции корпуса.

Транспортная машина считалась симметричной. Амортизаторы расположены вдоль борта на 1, 3, 6 катках.

На рисунке 2а представлены зависимости среднего ускорения на месте водителя от скорости движения машин, а на рисунке 1б- зависимости среднего числа выбросов (выход параметров качества системы за допустимые границы) от скорости движения.

Определим оптимальные параметры системы подрессоривания гусеничного транспортного средства в зависимости от скорости движения и от дорожных условий [1]. Оптимизация параметров проведена по критерию максимума надежности, согласно которому за заданное время функционирования вероятность безотказной работы системы должна быть максимальной:

R ( T ) max,                                      (7)

где R ( t ) - функция надежности; Т ^* - заданное время функционирования системы.

Предположим далее, что процессы на выходе системы близки к нормальным, т.е. воспользуемся гипотезой квазинормальности, сформулированной М,Д. Миллионщиковым. Будем также считать, что для правильно спроектированной системы подрессоривания выброс параметров качества из допустимой области пространства качества – явление достаточно редкое. В этом случае, поскольку выходной процесс близок к нормальному и стационарен, критерий максимума надежности может быть заменен критерием минимума числа выбросов из допустимой области в единицу времени

V min,                                           (8)

где V – интенсивность отказов.

Для систем гауссовского типа в случае отказа n - мерного качества формула для нахождения верх-

ней границы интенсивности отказов имеет вид:

n

k 1 2 71

exp

( Uk   ak )²

² СТ k ²

+ exp

( иk     a k )²

² G k ²

где СО_k - эффективные частоты векторного процесса и ( t );

a _k - математические ожидания компонент процесса и ( t );

• - дисперсии компонент процесса и ( t );

• иk , и_k - ограничения сверху и снизу, наложенные на компоненты процесса и ( t ).

При этом случае, когда выбросы – редкие события, оценка сверху близка к истинной.

Таким образом, имеем классическую задачу многопараметрической оптимизации, в которой в качестве целевой функции, которая должна соответствовать минимуму, выступает интенсивность отказов V.Для решения этой задачи использовались численные методы, основанные на соответствующих алго- ритмах отыскания минимума функции многих переменных. При этом значения ak , СУ , соk находятся непосредственно в процессе решения задачи оптимизации из системы уравнений (6) при помощи спектральных методов.

Результаты решения задачи оптимизации конструктивных параметров системы подрессоривания гусеничной транспортной машины с характеристиками, приведенными ранее, показаны на рисунке 3.

В рассматриваемом случае введены безразмерные переменные:

*    H_cт     *       ^р    *     а ср .

H           ; N           ; а

Н ст . оп .          N ср . оп .         а ср . оп .

с     *     ^ср .

; С            ;               р .

.

с оп .

Д ср . оп .

Значения найденных оптимальных конструктивных параметров системы подрессоривания и соответствующих им параметров качества равны [1]:

Cоп   6,8 105 Н / м ; ср.оп.   6,12 Нс / м ; аср.оп.   1,69 м / с ; Nср.оп.   16; Н ст.оп.   0,06м, где Hст. - статический ход катка; acp - среднее ускорение на месте водителя; c - средний коэффициент жесткости рессор; cp - средний коэффициент демпфирования амортизаторов; N cp - среднее число выбросов из пространства качества за время испытания.

Исследуем стохастическую устойчивость стационарного решения, соответствующего найденным конструктивным параметрам системы подрессоривания, относительно совокупности моментных функций. Это необходимо из-за возможности появления неустойчивых решений, поскольку исследуемая система является нелинейной [1, 2].

Рис.3. Результаты решения задачи оптимизации

Для суждения об устойчивости стационарного решения была получена система дифференциальных уравнений в возмущениях, которая в векторно-матричной форме имеет вид:

q ( t ) + f , .q ( t ) + f ^ -q ( t ) = 0,                                        (10)

Система (10) совместно с системой (6) образуют систему марковского типа в расширенном пространстве фазовых переменных. Дифференциальные уравнения относительно моментных функций могут быть получены из нее либо при помощи правила дифференцирования Ито и операции осреднения, либо при помощи прямого уравнения Колмогорова. После замыкания полученной бесконечной связанной системы дифференциальных уравнений на уровне моментов второго порядка при помощи гипотезы квазигауссовости и линеаризации ее около тривиального решения, приходим к системе:

dm4- = Hm4,                                        (11)dt

где ч = 2 - уровень замыкания; т ч - вектор моментов, составленный из моментных функций до порядка ч включительно; Н – числовая матрица.

Если для этой системы выполняются условия теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, то тривиальное решение исходной системы устойчиво.

Для суждения об устойчивости использовался численный метод, основанный на критерии устойчивости Зубова, в основе которого лежит отображение левой полуплоскости характеристик показателей на внутренность единичного круга. Критерий реализуется путем возведения матрицы R в высокие степени:

R = ( H — T )" * ( H^E),                              (12)

где Н – числовая матрица из (11).

После исследования устойчивости стационарного решения принимается окончательное решение о целесообразности применения соответствующих этому решению конструктивных параметров.

На рисунке 4 приведены кривые изменения некоторых основных параметров качества для оптимизированной и неоптимизированной системы подрессоривания.

Из рисунков видно, что величина среднего ускорения на месте водителя в обоих случаях находится в допустимых пределах (менее 3м/с ² ), а среднее количество выбросов за время испытания в оптимизированной системе значительно меньше, чем в неоптимизированной (в неоптимизированной системе количество выбросов при скорости 10м/с достигло допустимого предела).

Поскольку максимальная скорость движения транспортной системы в большинстве случаев бывает ограничена не тяговыми возможностями двигателя, а числом выбросов в системе, то существует реальная возможность ее увеличения без существенных конструктивных изменений за счет оптимизации конструктивных параметров системы подрессоривания применительно к характерным условиям эксплуатации.