Моделирование и анализ распределения потенциала полевого эмиссионного катода на основе уравнений Лапласа и Пуассона

С непрерывным развитием современной науки и техники электронно-оптические системы находят все более широкое применение во многих областях, таких как высокоточные измерения, микро- и нанофабрикация и анализ поверхности. В этих приложениях технология электронной эмиссии играет решающую роль, особенно технология полевой электронной эмиссии в условиях высокой напряженности поля. Изучение физических механизмов и математическое моделирование не только углубляет понимание физических явлений, но и обеспечивает теоретическую поддержку для оптимизации конструкции соответствующих устройств.

Под полевой электронной эмиссией понимается явление потока электронов, испускаемого с поверхности проводника или жидкости под действием внешнего электрического поля высокой напряженности. Как один из основных компонентов электронно-оптической системы, форма и свойства материала катода для полевой эмиссии оказывают важное влияние на эффективность эмиссии и производительность системы. С помощью математического моделирования и численных расчетов

можно эффективно предсказать распределение потенциала и плотность тока в системе, чтобы обеспечить теоретическую основу для оптимизации конструкции.

Основной целью данного исследования является создание математической модели распределения потенциала для полевого эмиссионного катода с наконечной структурой и решение этой модели с использованием граничных условий. При этом используется метод разделения переменных, позволяющий преобразовать сложную краевую задачу в процесс решения в виде разложения по собственным функциям. Этот метод не только повышает эффективность решения задачи, но и может служить высокоточным ориентиром для последующего инженерного проектирования.

В данной работе представлена математическая модель, основанная на уравнениях Лапласа и Пуассона, процесс решения и его физическое значение, а также результаты численного моделирования и их прикладное значение.

• 2.    Уравнение Лапласа

  • 2.1.    Математическая модель

) = 0 (1)

	dU(x,y) _ dU(x,y) _ q dx X=X1    dx X=X2 dU(x,y) _ dU(x,y) _ q dx y=y1   dx y=y2
2.2. Решение	AU = ~ + — =0             (4) dx2   dy2 U(x,y) = X(x)Y(y) * 0                     (5)
(4)(5)производное:	Xy + xY = 0                               (6) - = -=0                                 (7) X   Y                                                     v 7 X = -a2                                    (8) Y = -P2                                      (9) a2 = —p2                                    (10)
решить	X + a 2 X = 0                             (11) Y + p 2 Y = 0                              (12)

Характеристическое уравнение выводится следующим образом

X2 + α2 = 0(13)

X(x) = C1 cosαx + C2 sinα(14)

Y (y) = C3 cosβy + C4 sinβy(15)

U(x,y) = (C1 cosαx + C2 sinαx) · (C3 cosβy + C4 sinβy)(16)

потому что(1) - (2) = 0

X(x1) = 0 = C1 cosαx1 + C2 sinαx1

X(x1) = 0 = C1 cosαx2 + C2 sinαx2

Решено Лианли (17) (18)

cos ax1 + sin ax2 — cos ax2 sin ax1 = 0

ПП an =----

• ¹¹    X 2 -X 1

  
  

  Решено Лианли (10) (12)

  
  

  zY ( _y ) = с₃е^апУ — с₄е^апУ = sha_ny = cha_ny

  Q — ПП ^pn = “ ~

  ^y2^-y1

  X ( _x ) = C 1 cos a_nx + C 1 sin a_nx = - _{sing x} sin a_n(x — x 1 )

  
  
  
  
  
  

  U (xy) = Z “=i sin a n ⁽x - ^ 1 ) • (^c 3 ^cos P y + C + sinpy]

  
  
  
  

  потому что U ( x,y 1 ) = U ( x,y 2 ) = 0,Решено Лианли (20) (22)

  Преобразование Фурье дает

  
  

  _U     =V ” (a sh y ■ _b ^shan^y-(y) _)s i _{na (x — x}y

  ^UK^y)   2-i_n=1[ ⁿ shan(y2-(y1)) ⁿ shan(y2-⁽y1⁾y     ^{n       1}

  
  
  
  

  U_u = У “ (с^П^^^^

  ^1(x, y) Zj_n=1l ⁿ sh V n (y2-(y1)) ⁿ sh P n (y2- ⁽ yiy)^{J n        1}

  
  
  
  

  c 12 ≤ min { c 1 , c 2 } ,

  c 13 ≤ min { c 1 , c 3 } ,

  c 23 ≤ min { c 2 , c 3 } , c 123 ≤ min { c 12 , c 23 , c 13} ,

  
  

  где cK представляет собой стоимость коалиции для коалиции K. Эти параметры стоимости разработаны таким образом, чтобы затраты для любой коалиции не превышали ми-

  3. Уравнение Пуассона математическая модель

  
  

  нимальных затрат, с которыми сталкивается любой отдельный участник коалиции, тем самым снижая барьеры для формирования коалиции.

  
  

p(x, y) Av(x,y) = —±-^L £0

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ b

x0 - ε < x < x0 + ε x0 - ε < x < x0 + ε y0 - δ < y < y0 + δ

d2U d2U     p(x,y)

dx2 + dy2        80

P(x,y){

X0 S

• 3.1.    Решение

ИтАрг2

Если е ^ 0,3 ^ О,^)   $ Перенос из (12) дает

	Yn(y) = sin^y                                           (29) U(x,y)=S“=i  U^sin^y                         (30)
В соответ	ствии с граничными условиями для функции U получаем U"n(x)-^^un^=^v(x) I   sin^ydy               (31) 0       Jy-~8 (32)
Для vn(x) э	то будет иметь следующий вид U"n(x) -^U„M= 2g(cosn"    's) - cosn" ■  s))        (33)
Получить	U"n(x)-^^un{x) = ^ Я=1Ф1 Wsinl^          (34)
Пусть vn(x	) заменяется на Un(x) = c1(x) ch^^x + c2(x)sh^x                 (35)
Получить	ci(x) = -^-sin^y   (\i(X)sh^XdX + ci           (36) 0        Z—ii=i 0 ci(x)= ^sin^V  IX i(x)ch^xdx+ c2      (37) i=i 0
причина,	о которой
Un(x) =	c^c^x+c^sb^x+^sm^    Y^sh^-x)^ (38) 0                i=i 0
Из vn(0) =	vn(a) = 0 получаем
с	2Sh2£a+JLy  sin^sh^(a-x0yX°‘sb^-aU^O    (39) пп£о /  ii i                           xx--£

Следовательно

ZN

„ . . mi   . ,пП,      . ,пП                          X ’

2T1 sm-^- yoi sh—(a—x0)sh—x    45   , nnVo X                  , nn , t----^^I^a----+ ^sm— ^ X pi(r^sh-(r—x)dr

1=1                                                    1-1

Для x < x0

Un(x) =

I

N

1=1

„     mi      пП,     . пП

2ti sin-^-y₀i sh—(a-x₀)sh—x

, пП nn£0sh—a

Для x > x0

ZN mi     ,пП,       ,пПxX

2т1 sm-b Уо1 sh—(a-xo)sh—x    4Spj . nnv0 f     ry ,nH ,      , ,.

----- ------“=77---------1--Sin----    (_л (r) sh — (r — x) dr +

_           nneoshmП■a             nn£0      bJ0

r^x= ⁴⁵   • ⁿTCVr\ I     XXI ^пП X      XI

^Sin—г I Pi(r')sh — (r—x')dr(42)

Наконец, расширение потенциала имеет вид для x < x0

“"’■Д.,1

„  .  . пи .  , пП,       ,

2ti sin-Yy₀i sh-(a-x₀)

n=1

nsh^a b

sin—y. sh — x b 7      b

Для x > x0

u""=Z_Z

2T1 sin-^-Уо1 sh—(xo)

n=1

nsh^a b

sin^y .shn.(_a— x)

• 3.2.    Картина эквипотенциалей

  

  Рис. 1. Poisson

  
  

  Заключение

  С помощью математического моделирования и решения проблемы распределения потенциала полевого эмиссионного катода с наконечной структурой в данной работе

  
  

  стоверность модели подтверждена численным моделированием, что обеспечивает теоретическую поддержку для оптимизации конструкции полевого эмиттера и улучшения эффективности эмиссии электронов. Будущие

  
  

  успешно построена теоретическая модель, основанная на уравнениях Лапласа и Пуассона, и решена задача распределения потенциала с использованием метода разделения переменных. Результаты показывают, что геометрия поверхности катода и напряженность элек-

  
  

  исследования могут расширить существующую модель, чтобы учесть более сложные физические эффекты, такие как изменение температуры и неоднородность материала, для более точного прогнозирования распределения потенциала и характеристик эмиссии в

  
  

  трического поля оказывают важное влияние на эффективность эмиссии электронов. До-

  
  

  практических приложениях.