Моделирование и оптимизация технологических систем с распределенными параметрами

Введение. На нефтеперерабатывающих заводах ведется переработка нефти в бензин, керосин, мазут, смазочные масла, сырье для нефтехимии и т. д. Переработка осуществляется в технологических установках для первичной переработки, каталитического риформинга, каталитического крекинга и т. д. Основными аппаратами установок являются трубчатые печи, ректификационные колонны и др. Основу работы этих аппаратов составляют процессы теплообмена, массообмена и гидродинамики взаимодействующих потоков. Анализ процессов и проектирование эффективных режимов рассматриваемых объектов химической технологии с целью создания автоматизированных систем контроля и управления является важнейшей проблемой современного производства.

Математические методы и вычислительные средства позволяют осуществить процесс моделирования и оптимизации сложных технологических установок, включающих технологические печи, ректификационные колонны и др. Для описания таких процессов всей установки возможна математическая модель всей цепочки. На рис. 1 приведена принципиальная схема подобной установки. Опыт исследования отдельных аппаратов уже накоплен достаточный, и возможен подход к исследованию установки в целом. В работе исследуемые объекты химической технологии рассматриваются как объекты с распределенными параметрами, для описания которых применяется математический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. Для анализа статических и динамических режимов и решения задач оптимального управления формулируются соответствующие краевые задачи.

Ректификационная установка состоит из технологической печи и ректификационных колонн. Трубчатые печи разных конструкций широко распростране- ны в нефтегазоперерабатывающей, нефтехимической и других отраслях промышленности, являются составной частью многих установок и применяются в различных технологических процессах (перегонка нефти и мазута, пиролиз, каталитический крекинг, очистка масел и др.). В печи сырье нагревается до требуемой температуры и подается в среднюю часть колонны для разделения смеси на компоненты.

Трубчатая печь имеет камеры радиации и конвекции (рис. 1). В камере радиации (топочной камере), где сжигается топливо, размещена радиантная поверхность (экран), поглощающая лучистое тепло в основном за счет радиации. В камере конвекции расположены конвекционные трубы, воспринимающие тепло, главным образом, при соприкосновении дымовых газов с поверхностью нагрева труб конвекции.

Уравнения процессов в технологической печи. При исследовании процесса горения капель жидкого топлива в воздухе в основном представляет интерес распределение концентраций компонентов, плотности, температуры сырья, температуры и скорости ды- мовых газов в печи при статических и динамических режимах работы. Исходя из одномерности движения потока, математическая модель нестационарного горения может быть представлена следующими уравнениями [1]:

• 1.    Уравнение неразрывности

dp + 5(рu)=0

д t     61      :

где p - массовая плотность смеси, и - скорость движения смеси.

Для покомпонентной модели процесса горения уравнение (1) можно записать в виде

6 ( p x ) 6 ( p xu ) p x "IT '      Т- ,

где ℓ – линейный размер; х – концентрация горючего

вещества в смеси (0≤ х ≤1); τ – время сгорания.

2. Уравнение движения в виде

ρ

д u

д u

д P

д t

+ u I +    —

d t

d t

0,

где P – давление.

3. Уравнение сохранения энергии

f дS   д S ) _ px

p Tп I   + u^ I—   q - Q (Tn) +

V д t       tit )    т

+ K 1 ( T c1 - T n ) + K 1 ( T c2 - T n ) ,            (4)

где q – теплота сгорания топлива; Т П – температура дымовых газов; Q ( T П ) – потери на излучение; T _c ¹ , T _c ² – температура нагреваемого сырья, движущегося

в нижнем и верхнем направлении; К ₁ – коэффициент теплопередачи; S – энтропия, причем

^{S —} C v ^ln P ( Y ^— 1 ^- 1,⁴ ) .

ρ ^γ

4. Уравнение теплообмена между нагреваемым сырьем, движущимся в низ и верх печи, и дымовыми газами можно записать в следующем виде:

T- w ^T- — K 2 ( T n - T c ) - Q ( T n );      (5)

^aTr + w ^W — K 2 ( ^T П "  T c² ) - Q ( T n ),      (6)

К 2 – коэффициент теплопередачи; w – скорость течения сырья.

Для постановки краевой задачи необходимо задать неизвестные параметры в начальный момент времени и на границе объекта.

a                                                      б

Рис. 1. Схема ректификационной установки: а – технологическая печь; б – ректификационная колонна; 1 – камера радиации (топочная камера); 2 – камера конвекции; 3 – дымовая труба; 4 – конвекционные трубы; 5 – радиантные трубы; 6 – вход сырья; 7 – выход сырья; 8 – дымовые газы

Начальные условия:

p( ^ , 0) = P o , x ( / ,0) = x 0 , и ( / ,0) = и 0 , T n ( / , 0) = T n0 , T c ¹ ( / , 0 ) = T 0 , T ² ( / , 0 ) = T _c ² 0 .

Граничные условия:

P (0, t ) = a 1 , x (0, t ) = a 2 , и (0, t ) = a 3 ,

T n (0, t ) = a 4 , T c ¹ ( L , t ) = a 5 , T _c ² ( 0, t ) = T ^ ( 0, t ) = a 6 ,

где L – длина печи.

На базе системы (1)-(8) можно сформулировать и решить задачи оптимального управления с различными управляющими параметрами [2-6].

Расчет динамических режимов трубчатых печей. Рассмотрим следующую тепломассообменную задачу для процессов в трубчатой печи. Для этого приведем систему (1)–(6) к следующему виду:

Рис. 2. Кривые разгона по плотности потока в зависимости от температуры потока (от 424 до 636 °С)

д р      д р    д и

— = — и--р —, дt      д/ д/ дx     дxx

— = — и, д t      д/ д и     д и  „д

— = — и R —П дt      д/

^^^^^^в

RT n д р p д / ’

д T            ди   д T

П = (1 - Y) T — и П +

П

x

‘ +--q

^^^^^^в

Q ( T n , T c¹ , T c² ) +

С v ρ

+ K 1 ( T — T n ) + K 1 ( T c² д-ХС—

= w ⁺ K 2 T П

— Tn),

— Т —

д t       д /      ² V ⁿ С 7

— Q ( Т П ) ,     t € [ 0, T ] ,     / € [ 0, L ] ,

д T 2      д T ²

—— = — w ——

— Т —

д t

-Q ( т n),

д /      2^{V n} '

t € [ 0, T ] , / € [ 0, L ] ,

Рис. 3. Кривые разгона по скорости потока дымовых газов в зависимости от температуры сырья (от 216 до 324 °С)

где L 1 – точка вывода сырья из печи. Таким образом, сформулирована краевая задача (7)–(9). Здесь температура сырья T _c ¹ задается в точке ℓ = L , так как сырье подается сверху в печь, и таким образом мы имеем противоточный технологический процесс.

Кривые разгона на выходе печи получены при возмущении на ± 20 % с шагом 5 % на входе печи по температуре сырья и по температуре дымовых газов (рис. 2–5).

Кривые переходных процессов для плотности, скорости, температуры потока дымовых газов и температуры сырья используются при решении задач локальной автоматики промышленных установок.

Необходимые условия оптимальности в задаче управления объектами с рециркуляцией взаимодействующих потоков. Рассмотрим задачу оптимального управления расходом сырья F в ректификационной колонне.

Рис. 4. Кривые разгона по температуре дымовых газов в зависимости от температуры сырья (от 216 до 324 °С)

Рис. 5. Кривые разгона по температуре сырья в зависимости от температуры потока газов (от 424 до 636 °С)

Для получения необходимых условий оптимальности (условий стационарности) используются методы классического вариационного исчисления [5-15]. Управления предполагаются кусочно-непрерывными, а соответствующие им решения - непрерывными и кусочно-гладкими.

Здесь рассматривается следующая модель процесса [16]:

д ( Lx ) d t ^д( Vy ) d t

д( Hxx) — дt dHy) д t

= k ( У ^- У *^{( x} ) ) + F ^{( t )Ф} x ^{( t ) x} F ,

= k ( y *( x ) - y ) , 0 <  t <  T , 0 <  t <  L .

Краевые условия: при I = 0

ности в жидкости и паре; x_d - концентрация целевого продукта в дефлегматоре; xk - концентрация целевого продукта в кубе. Возмущающее воздействие по концентрации целевого продукта в сырье F ₂ (рис. 6, а ); y * - равновесная концентрация целевого продукта в паровой фазе; D , W - отбор целевого продукта вверху и внизу колонны; Ld - орошение.

Величины потоков при этом удовлетворяют условиям

W ( t ) +D ( t ) = F ( t ),    D ( t ) +L d ( t ) = V ( 1, t ) ,   (14)

W ( t ) + V ( 0, t ) = L (0, t ),     V d ( t ) = V ( 1, t ) .

Предполагается, что удерживающие способности H_x , H_y постоянны, V не зависит от I .

Анализ условий (14) показывает, что только два из четырех потоков ( W , D , L , V ) являются независимыми. Выбор тех или иных двух независимых потоков в качестве управлений определяет соответствующие задачи. Эти задачи рассматриваются как задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений с критерием качества:

tl                 2

I = JJ ( y ( t , t ) - 9 * ( t , t ) ) d t d t ,            (15)

0 0

где 9 * - заданное значение концентрации целевого продукта.

Потоки L , D фиксированы, а V , Vd , Ld исключаются согласно (14). Управление F выбирается в классе кусочно-непрерывных функций и принимает значение в промежутке

F _mm<  F ( t ) <  F max .

Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений (10)-(12), получаем следующую задачу. Рассматривается процесс ректификации, описываемый уравнениями d (Hxkxk ) dt

= L ( 0, t ) x ( 0, t ) - V ( 0, t ) y ( 0, t ) - Wx_k ( t ) , (11)

:; = Н ^ ( L + L ) Z”

*

+ д7 ^x + ^{k ( y - y} *^{) +}

y (0,t) = a [yk (xk)-xk (t)] + xk (t), при1 = L d^Hddxd) = Vd (t)yd (t)-(Ld (t) + D(t))xd (t), Vdyd (t)- V(L, t) y (L, t) = Ldxd (t)- L(L, t) x(L, t), (12) yd ( ' ) = y (L, ' )+Ed [ yd (xd)- x (L, ' )].

Начальные условия:

x ( t ,0 ) = x 0 ( t ) , y ( t ,0 ) = y 0 ( t ) , 0 <  t <  1, x d ^{( 0 )} = x d 0 ,     ^x k ^{( 0 )} = ^x k 0 ,    ^{0 -} a ,     E d ^{- 1.}

Здесь величина F ( t ) - поток сырья в жидкой фазе, подводимый в колонну и являющийся управлением; x ( L , t ) , y ( L , t ) - концентрации целевого продукта в жидкой и паровой фазах; L ( l,t ) - поток жидкости, V ( I , Н) - поток пара; Нх , H_y - удерживающие способ

+ FxF Ф x ]- X, x' i = Z(1), yt = 7Г[-(D + L)Z(2)+ k(y* -y)]s Y, Hy y' i = Z(2)

при краевых условиях x’kt = FT [(L+F)x-Vy-W^k ]= Xk,

Hxk y=a [ yk - xk 1+xk, t = 0, 0

^{L ]}                                           (17)

xdt=—[(D+L) yd -(L+D) xd ]-Xd, t =L, 0 , Hxd

(D+L)(yd - y)- L (xd -x )= 0, yd - y - Ed (yd - y )= 0, при начальных условиях (13) и ограничениях на управления

(F - Fmin )(Fmax - F )-U 2 = 0,         (18)

где и - вспомогательное управление.

Задача состоит в том, чтобы в множестве кусочнонепрерывных функций F, удовлетворяющих условию (18), найти такую, что соответствующее ей решение задачи (16)-(18), (13) дает минимум интегралу (15). Применяя известную процедуру вариационного исчисления, получаем необходимое условие оптималь

ности:

'

L + L

x

' ( ^t = k (У ) -

ξ

^^^^^^в

η

H

,

' V

П t⁺— nt = k

Hy

(^

H

к -

x

^^^^^^в

η

H

• 3)    далее полагаем Fⁿ⁺¹⁾ = Fⁿ) - aH;

• 4)    предельные значения F(ⁿ⁺¹⁾ при n ^ да дают оптимальные управления.

На рис. 6 приведены результаты расчетов по оптимальному управлению для промышленной колонны К-34 [17-20] установки сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами (разделяемая многокомпонентная смесь сведена к бинарной). Основные параметры: D = 27,06 кмоль/ч, W = 76,59 кмоль/ч, L_d = 45,21 кмоль/ч, Hx_d = 50 кмоль, Hx_k = 30 кмоль.

при I = 0, 0 < t< T

dZ^= Z W ^dt ^HXk

<> (L + F)-^(L + L) = 0,

V Л_ —     — Z (²⁾= 0;

h„ h.     k

xk J

при t = T, 0 < I< L, ^ = 0, n = 0;

при I = L, 0 < t< T

^ = L+D Z k- LZ d2),  Z «( T ) = 0, d t

- — Z ^1-+ Z (2)V + Z £- = 0, dd d

Hx_d

(,'

z(2)—^ L —^ L - z(3)Ed y*

d                               d d d j '

к     ^Hxd J ^Hxd

(

• -0--Z⁽²⁾V-Z⁽³⁾(1 -E_d) = 0;

H d          d у d J -

при 0 < t< T

0,20 \- а б

в

г

Рис. 6. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре (б) и кубе (в) при управлении потоком сырья (г)

*

H = [-^Lx + Ф x_F h  dtdf    х ^F

0 ^x \

^^^^^^B

* dL_z(1-dF

dt

^^^^^^B

Z(1)

- "FT ( xk - x ) ⁺Y (^F™ ^{+ F}max ^{- 2F} ) = ⁰,

H

Yu = 0, где ^, n, Z(1)d, Z(2)d, Z(3)d, Z(1)k, Z(2)k - множители Лагранжа.

Алгоритм решения задачи оптимального управления содержит следующие этапы:

• 1)    задается начальное приближение управляющей функции F°( t);

• 2)    решается система уравнений (10)-(13) и (19)(21);

Заключение. Приведенная математическая модель процесса горения в технологических печах и процессов разделения в ректификационных колоннах является основной для проектирования оптимальных режимов промышленных установок. Расчет статических и динамических характеристик управляемого процесса позволяет определить основные параметры оптимальных процессов управления. Без знания динамических характеристик невозможно управление технологическими процессами в реальных условиях. Возможность получения параметров нестационарных режимов позволяет в режиме реального времени с высокой степенью эффективности избавиться от вредного влияния возмущений. Эффективность данного подхода проиллюстрирована на процессах тепломассообмена в промышленных объектах.