Моделирование электропривода на основе трехфазного асинхронного двигателя с частотным управлением

Современные системы векторного управления прошли долгий путь развития и в настоящее время являются наиболее распространенными среди систем электропривода переменного тока. Они позволяют просто и эффективно управлять такими сложными объектами как асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором (АКЗ), что в свою очередь, позволяет существенно расширить область его применения, почти полностью вытесняя из автоматизированных управляемых приводов двигатели постоянного тока. Это связано в первую очередь с развитием силовой электроники, позволяющей создавать надежные и относительно дешевые преобразователи, а также с развитием быстродействующей микроэлектроники, способной реализовать алгоритмы управления практически любой сложности. Поэтому высококачественный асинхронный векторный электропривод (АВП) в настоящее время является по существу техническим стандартом.

Асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором (АКЗ) уже около 100 лет используется и будет использоваться как практически единственная реализация массового нерегулируемого электропривода, составляющего до настоящего времени более 90% всех промышленных электроприводов. В последнее десятилетие благодаря успехам электроники (преобразователи частоты) короткозамкнутый асинхронный двигатель стал основой частотно-регулируемого электропривода, успешно вытесняющего доминировавший ранее электропривод постоянного тока во многих сферах.

Применение такого электропривода особенно важно для решения задачи автоматизации ленточных конвейеров. В силу специфических условий работы электрооборудования на горных предприятиях электропривод постоянного тока практически не находит применения в качестве привода ленточных конвейеров. Абсолютное большинство действующих в стране конвейерных установок снабжено электроприводом на основе асинхронного двигателя с короткозамкнутым (АКЗ) и с фазным ротором (АДФ). Существуют схемы электроприводов на основе АКЗ и АДФ, которые применяются или могут найти в будущем широкое применение в горной промышленности.

Обобщенный асинхронный двигатель с трехфазной обмоткой на статоре и трехфазной обмоткой на роторе изображен на рис. 1.1. Модель асинхронной электрической машины составим согласно известному методу, приведенному в работах [1,2,4].

Рис.1. Обобщенная асинхронная машина.

Обмотки статора и ротора в общем случае подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения.

Уравнения равновесия ЭДС на обмотках статора и ротора базируется на втором законе Кирхгофа.

Для статора:

Для ротора:

uA

= R A i A

₊ d^ A dt

п , d^ B

Ur = Rr^r +--, ।

B   BB

uC

= R C i C

₊ d^ c dt

^Ua = R a i a +

u b = ^Rb4 ⁺

^Uc = R c i c +

d^a dt ’ dVb dt ’

Nc

dt

.

>

(1.1)

В уравнениях (1.1) фигурируют мгновенные напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому

R А =R В =R С =Rs - активное сопротивление статорной обмотки, R а =R b =R с =R R - активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

Для статора:

W a	= L AA i A	+ L AB i B	+ L AC i C	+ L Aa i a	+ L Ab i b	+ L Ac i c ,
W b	= L BA i A	+ L BB i B	+ L BC i C	+ L Ba i a	+ L Bb i b	+ L Bc i c ,	l	(1.2 а)
V a	= L CA i A	+ L CB i B	+ L cc i c	+ L Ca i a	+ L Cb i b	+ L Cc i c .

Для ротора:

V a = L aA i A + L aB i B + L aC i C + L aa i a + L ab i b + L ac i c , W b = L bA i A + L bB i B + L bC i C + L ba i a + L bb i b + L bc i c , * W c = L cA i A + L cB i B + L cC i C + L ca i a + L cb i b + L cc i c •

(1.2 б)

Уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (1.2) LАА, LBB,LCC,Laa,    Lbb,Lcc,    являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные - взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона - закон равновесия моментов на валу машины:

J — = M - M c ,                                  (1.3)

dt где J (кг-м2) — момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу rad инерционности рабочего механизма и редуктора, <ут (—) - угловая с скорость вала машины, Мс (Н-м)- момент нагрузки рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и угла поворота.

Наконец, четвертым и последним законом, лежащим в основа анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем, как правило левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцепления и тока:

М = k ( w х i) .                                                     (1.4)

Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (1.1) - (1.4) для исследования машины встречает серьезные трудности. Из них основные:

• -    в уравнениях (1.3 и 1.4) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (1.1 и 1.2) скалярные;

• -    количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов - 44;

• -    коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора в уравнениях (1.2) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (1.2) являются уравнениями с переменными коэффициентами;

• -    уравнение (1.4) является нелинейным, так как в нем перемножаются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, который позволил существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод позволяет связать уравнения (1.1-1.4) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором.

Это математическое преобразование статора):

i = j( i A + ai B + a i C ),

имеет вид (например, для тока

(1.5)

2-    .       4n j2j где a = e 3 , a = e 3 - векторы,

смещение    обмоток,     г_А = I_m cos m t,

учитывающие пространственное iB = Im cosH — 2П), ic = Im Cos(mt + 2П) -

симметричная трехфазная система токов статора.

Подставив в уравнения (1.5) значение мгновенных токов, найдем математическое описание пространственного вектора статорного тока:

П                   ^{2 n}                       ,^{4 n}             n —

• ^{2                              2 П}              2   .                 mm

  (1.6)

  
  

i s = j I _m (cos m t + e 3 cos( m t - —) + e ³ cos( m t + — )) = I_me^J .

На рис. 2. представлена геометрическая интерпретация пространственного вектора тока - это вектор на комплексной плоскости с модулем (длиной) Im, вращающийся с угловой скоростью to в положительном направлении. Проекции вектора is на фазные оси А, В, С определяют мгновенные токи в фазах. Аналогично пространственными векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепления, входящие в уравнения (1.1), (1.2).

Теперь можно переходить к упрощению уравнений.

Рис. 2. Пространственный вектор тока.

Шаг первый. Для преобразования уравнений (1.1) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на

выражения: первые уравнения на , вторые – на a , третьи – на a , - и сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:

u s = R_si s +

U r = R r i R +

dVs dt , dVR dt ,

(1.7)

V s

V r

= Lsis + Lm (0)iR , = Lm (0) is + LrU , где LS, LR - собственные индуктивности статора и ротора, Lm(0) -взаимная индуктивность между статором и ротором. Таки образом, вместо двенадцати уравнений (1.1)-(1.2) получено лишь четыре уравнения (1.7).

Шаг второй. Переменные коэффициенты взаимной индукции уравнениях для потокосцеплений (1.7) являются результатом того, что уравнения равновесия ЭДС для статора записаны в неподвижно системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия ЭДС для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся произвольной скоростью га к . В этом случае уравнения (1.7) преобразуются к виду:

u s = R S i s +

U r = R r i R +

d V s dt d V R dt

⁺ j ^ k V s ,

⁺ j(®k - ®> r ,

>

(1.8)

^v s = ^Ls^is + L m^iR ,

V _R = ^Lm i s ^{+ L} _Ri R , где to =p^ ra m , р - число пар полюсов в машине.

В уравнениях (1.8) все коэффициенты являются величинами постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. Момент в уравнении (1.4) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (3.8) следует, что таких пар может быть шесть (is,Ir); (ys,yR); (is,ys); (is,yR); (Ir,ys); (Ir,yR).Часто в рассмотрение вводится потокосцепление взаимной индукции ym = Lm (is + Ir). В этом случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие пары: (is,ym); (iR,ym); (ys,ym); (yR,ym). После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определенность, а количество уравнений в системе(1.8) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (1.3) и (1.4) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцеплений расположены и плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины имеет вид:

• 3   ,   _- х

M = -pL_m • Mod ( i s X i R ),

• 3•

  >

  
  

  (1.9)

  
  

M = — p • Mod(y _s x i s ),

_  3  ,  _x

M = — pk_R • Mod(y_R x i s ).

В конечном виде уравнения обобщённой асинхронной машины имеют вид:

n . dWs .•

Us = Rsis + —— + j^kCys, dt d^R uR = RRiR + —— + j (tok - ptom ^)Yt< , dt

V s = ^LS i S ⁺ L m i R ,

(1.10)

y R = ^Lm i S ^{+ L}R i R ,

M = — p • k • Mod(y _t x i k ),

Jd ^ m = M - M .

dt            ^С

Уравнения асинхронной машины с короткозамкнутым ротором или машины с фазной обмоткой, если к ней не подключено питающее напряжение, можно получить из уравнений (1.10), если в этих уравнениях положить Ur = 0 .

-    _ * d^s      — us = Rsis + —— + jtokVs, dt dV

0 = RRiR +  /.  + J (^k - P®m VR , dt

V s = L S i S + L m i R ,

(1.11)

V r = ^Lm i S + ^LR i R ,

M = — p ■ k ■ Mod(yt x ik), dto

J-- m = M - M_r.

dt            ^С

Для динамических систем необходимо учитывать переходные электромагнитные процессы в машине. В этом случае в качестве пары переменных, описывающих машину, оставим пространственные векторы тока статора и потокосцепления ротора (is, yR), тогда уравнения (1.11) с учётом уравнений для потокосцеплений (1.8) после соответствующих преобразований примут вид:

"*      _ *• , r' dis . • т *•      kRm us = riS + Ls — + JtokLsiS - — ^R + JkRptom^^R ,

0 = - kRRRiS + 1- VR + d^T + J(®k - P®m ^R , Tdt

(1.12)

M = — p ■ k_R ■ Mod ( v _R x i s ),

Jd^m = M -M , dt

L I       ,■

ГДе r = ^R _s +    ^Rr , L s = L s

LR

L2   . L _ L„

- m ,-, k_R = —, T_R = — - коэффициенты.

L R        Lr   R Rr

Для синтеза и анализа электропривода, построенного на базе асинхронного короткозамкнутого двигателя решающим является выбор системы координат. При построении реальных систем электроприводов переменного тока практически всегда в систему управления включают преобразователи координат. Это обусловлено тем, что реализация регуляторов возможна лишь во вращающейся системе координат, а реальные токи в обмотках статора – это токи в неподвижной системе координат. Используя при математическом описании электропривода вращающуюся систему координат, удается существенно упростить описание и моделирование, так как не возникает необходимости в преобразователях из вращающейся системы и обратно, а также в преобразователях фаз 2/3 и 3/2.

Во вращающейся с относительной угловой скоростью ^ в системе координат с вещественной осью “x” и мнимой осью “y” уравнения (1.12) в операторной форме запишутся в виде:

u Sx = r ⁽¹ + ^TS s ) i Sx   ® K^LS i Sy

—

u Sy = r ⁽¹ + ^TS s ) i Sy + ® K^LS i Sx

k

R V V Rx - k R P ^ m^Ry , T_R

k

RE T V Ry + kRP ^rn^ Rx T_R

⁰ = - k R R R i Sx + 1 - V Rx + ^S V Rx - ( to t - P ^ m ) ^ Ry , T_R

(1.13)

0 = -kRRRiSy + 17 VRy + s^Ry + (®k - P®m VRx , TR m = 1.5 PkR (VRxiSy —VRyiSx ) , Jstom = M - MH .

Структурная схема АКЗ и ее модель зависит от выбора базового вектора, который определяет скорость вращения координат. За базовый вектор принимается тот, который при анализе совмещается с одной из осей системы координат.

Так если за базовый вектор принять вектор u , то система координат будет вращаться со скоростью to равной угловой частоте напряжения питания. Кроме того, если совместить вектор u с осью x вращающейся системы координат, то в уравнениях (1.13) следует принять u _sx = U_v u _sy = ⁰.

U 1 = r ⁽¹ + T S s ) i Sx — ® 1 L S i Sy — k R V rx — k R P ^ m V Ry , T_R k

• ⁰    = r ⁽¹ + T S s ) I Sy + to i L S l Sx ^- R V V Ry + k_RP ® m V Rx T_R

• ⁰    = — k R R R i Sx ⁺ 1 7 V Rx ⁺ s V Rx — ^{( to} 1 — P ^to m ) V Ry ,                   (1.14)

TR

• ⁰    = — k R R R i Sy ⁺ 1 7 V Ry ⁺ s V Ry ^{+ ( to} 1 — P ^to m ) V Rx , T_R

• m    = 1-5 Pk R ⁽ V Rx i Sy —V Ry i Sx ) ,

Js to m = M — M H .

Моделирование проведено в пакете прикладных программ Simulink.

Структурная схема, построенная по уравнениям     (1.14)

представлена на рисунке 3.

Для моделирования выберем АКЗ 20HP (15kW) из библиотеки SimPowerSystem со следующими паспортными данными и параметрами: U_AB= 400 B, f = 50 Гц, R_s = 0.2147 Ом., R_r = 0.2205 Ом., L_s = L_R = 0.06518 Гн, L_m = 0.06419 Гн, J= 0.102 кгм², p=2.

Коэффициенты, необходимые для моделирования уравнений помещены в табл. 1.

Таблица 1.

Коэффициенты	r		т R	kR	L
Един.измерения	Ом	с	с		Гн
Значение	0.4285	0.0046	0.2956	0.9848	0.00196

Результаты моделирования представлены на рис. 4. В этой модели напряжение питания и частота, являясь переменными режима, могут изменяться независимо друг от друга.

Рис. 3. Модель АКЗ во вращающейся системе координат с базовым вектором напряжения.

Рис. 4. Переходные процессы в АКЗ при пуске и набросе нагрузки.

Результаты моделирования, приведенные на рис.2.3, показали, что при прямом пуске привода с постоянной нагрузкой наблюдаются значительные колебания момента и скорости. Кроме того, наблюдается значительное падение скорости под нагрузкой, то есть ошибка отработки задания.

Математическое описание АКЗ во вращающейся системе координат, совмещенной с вектором напряжения является основой для синтеза асинхронных систем с частотными способами управления.