Моделирование каскадных процессов в конвективной турбулентности при экстремальных значениях числа Прандтля

Каскадные модели появились как попытка описать процессы спектрального переноса в развитой турбулентности с помощью небольшого числа переменных U„. каждая из которых является коллективной характеристикой амплитуд пульсаций поля скорости в целой октаве волновых чисел 2" <|£|< 2"41 .Уравнения для (7„ должны воспроизводить "базовые" свойства уравнений Навье-Стокса, а именно, иметь по меньшей мере те же интегралы движения и тот же вид нелинейности. Каскадные модели использовались рядом авторов начиная с 70-х годов [1.2.5.7,9,13] . но особенно активно их стали исследовать в 90-х [14,18,19,21] после того, как было показано, что они воспроизводят поведение структурных функций высших порядков в реальной турбулентности [23] . Наиболее активно исследуется модель, называемая GOY (Gledzer-Ohkitani-Yamada), которая записывается для комплексных переменных U п в виде d,u„ = ik„ <а1Гпчли;+, + ьи^.и^, + cu;.xu;_j - Re1 vu„ +f„,          (i)

где Re - число Рейнольдса, k_n=k₆T - волновое число, а коэффициенты о,Z>,(. выбираются так, чтобы обеспечить сохранение энергии Е = ^ '^„Р ^в пределе Re —> оо, f„ —► 0 (например, а = 1, b = -1/4, с = -1/8 ).

Следует указать два основных качественных отличия каскадных моделей от уравнений Навье-Стокса. Во-первых, это полная потеря информации о пространственном распределении исследуемых случайных полей. Во-вторых, уравнения типа (1) описывают только локальные (в /с-пространстве) взаимодействия. Первый недостаток является следствием низкой размерности динамической системы, второго можно избежать и оставаясь в рамках каскадных моделей. Впервые модель с нелокальными взаимодействиями была построена в работе [7] для двумерной турбулентности. Модель для конвективной турбулентности описана в [8]. Модификация этой модели используется в данной работе для рассмотрения конвективной турбулентности при экстремальных значениях числа Прандтля, когда учет нелокальных взаимодействий становится принципиальным.

Турбулентная конвекция. Рассматриваются течения, описываемые в рамках приближения Буссинеска для термогравитационной конвекции несжимаемой жидкости. Уравнения движения запишем в безразмерной форме д,й + (й ■ V )и = -VP + Gr ~i/2 Au + e T.(2)

d^ + zz-V7" = ^‘G’r^AT",(3)

Vu = 0,(4)

где й - скорость, P - давление, T - температура, e - единичный вектор вдоль вертикальной оси, Gr = g^T'v'² - число Грассгофа.а = v/x - число Прандтля, v -кинематическая вязкость, х - температуропроводность. В качестве единицы длины выбран макромасштаб L, единицы температуры - характерная для этого масштаба разность температуры Т*, единицы скорости V = (g$LT*)^vl и единицы времени t=L/V. При выбранной единице скорости число Грассгофа просто связано с числом Рейнольдса Gr = У" I?v~² = Re².

В случае, когда единственной причиной движения являются неоднородности температуры, а малые значения вязкости и температуропроводности позволяют развиться инерционному интервалу, простые соображения размерности согласно теории Колмогорова позволяют предсказать спектральные законы для пульсаций скорости и температуры. Спектральный поток кинетической энергии, который в случае колмогоровской турбулентности пронизывает все масштабы и равен скорости диссипации энергии е . в конвективной турбулентности перестает быть константой, так как силы плавучести привносят энергию в каждый масштаб. Зато сохраняющейся величиной становится поток энергии пульсаций температуры s₇ , который на масштабе / есть §Т² /t_t (характерное время переноса /, =//8^). Постоянство е_г дает для характерных пульсаций скорости ЗЕ и пульсаций температуры ЗГ, на расстоянии I (L» 1» l_vJ_r)

STM ~ /.

Динамика конвективного интервала определяется помясштабным балансом нелинейного члена и члена, описывающего архимедовы силы в уравнении для скорости, что позволяет написать соотношение bV^ll-bT,.(6)

Комбинируя (6) и (5), легко получить для инерционного интервала оценки

6У,~Р!\   ЪТ,-Г!\(7)

соответствующие спектральным законам

Ev^~k"XMV(8)

M*W~?’-(9)

Эти законы, впервые полученные Обуховым [6] и Болджиано [5] для стратифицированной среды, многократно воспроизводились и обсуждались на различном уровне строгости [3,4,16,22]. Отметим, что исключение из определяющих параметров спектрального потока энергии е делает результаты (8)-(9) не зависящими от размерности пространства. В обычной же гидродинамической турбулентности переход от трехмерного пространства к двухмерному связан с появлением дополнительного интеграла движения (энстрофии) и приводит к качественному изменению характера каскадных процессов.

Появления инерционного интервала с законами (8-9) можно ожидать, когда масштабы вязкой диссипации и тепловой диффузии имеют один порядок малости.

т.е. число Прандтля а~1. Однако и в пределе бесконечно малых v и % интервал (8-9) не растет неограниченно. Поступление кинетической энергии за счет архимедовых сил падает по мере уменьшения масштаба как /4' и на масштабе /g = (^Р/^е'Ч'34 (масштабе Болджиано) возникает ситуация, когда обычный каскадный перенос становится эффективнее термогравитационной конвекции и в трехмерном течении устанавливается колмогоровский спектр. Цель данной работы состоит в рассмотрении специфики каскадных процессов вблизи масштаба Болджиано в двумерной турбулентности, а также каскадных процессов при очень низких и очень высоких значениях числа Прандтля.

Каскадная модель. Для двумерной турбулентной конвекции каскадная модель была построена в работе [8] и имела вид d,U„ ^„„.UJJ, -Re' +Fn©„-                         (Ю)

mJ d^^^H^U^.-k^GReFO,,,                       (11)

mJ где Fn=FF,T,J,J=lNT1,^-.,H»^=l'lHtJM).„, а значения элементов для центральных частей матриц Т^ и HOmj приведены в таблицах. Структура матриц следует из разбиения пространства волновых векторов на октавы и из требования сохранения кинетической энергии Ev = X„l^"i ’ энстрофии О = ^ |2"t7.,|2 и энергии пульсаций температуры Ет = ^п|2’0в| .

Т ^.mJ

/ \ m	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
4								0.155
3							0.242
2						0.431
1	-0.0088	-0.0257	-0.0796	-0.269
0
-1	0.0032	0.0096	0.0269
-2

1 \ m	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
4								-0.0537
3							-0.0941	-1.493
3						-0.125	-0.720	-0.153
1	-0.0058	-0.0145	-0.0374	-0.0996	-0.221	-0.365	-0.145
0
-1	0.0018	0.00468	0.0125	0.0277	0.0457	0.0181
				0.00196	0.0113	0.00239
-3				0.000184	0.00291	0.00030
-4				0.000013	0.00073	0.00004

В данной работе используется модифицированная модель вида (10-11). Во-первых. рассматриваются комплексные переменные, использование которых существенно снижает время интегрирования, необходимое для получения устойчивых статистических характеристик [17]. Во-вторых, в матрице HltMj рассматриваются только члены, описывающие генерацию неоднородностей температуры крупномасштабным полем скорости (строки Z = ±1, т < 0), и диагонали т=п и i-m. которые очевидно доминируют над соответствующими боковыми столбцами. Тогда, с учетом связей между элементами матрицы, следующих из законов сохранения, можно записать d,u„ = /rf

-k^Re"' U„+Fn©„,

^е,. ='2"f           -8^,©^)+

+ H^LF.©;.-, - 2^vG'„-_+y©:₊,)} - Zr> R_eyX ,

Параметр J фиксирует наиболее далекие взаимодействия (при J =1 система возвращается к стандартному виду каскадных уравнений, описывающих только локальные взаимодействия).

Умеренные числа Прандтля (о- 1). Спектральные законы вида (8-9) получались в моделях как двух-, так и трехмерной конвективной турбулентности при решении каскадных уравнений для относительно небольшого диапазона масштабов (порядка десяти) [8,9,3]. Рассмотрим эволюцию спектров двумерной турбулентной конвекции при очень больших числах Грассгофа, когда большой интервал значений волновых чисел позволяет проследить за формированием спектров по обе стороны от масштаба Болджиано. Система уравнений (12-13) для случая, когда число Прандтля равно единице, а число Грассгофа Gr = 10²⁴ (что соответствует Re = 10¹²), интегрировалась методом Рунге-Кутга четвертого порядка с постоянным шагом по времени для 0 <  п < 30. Равномерный нагрев на макромасштабе моделировался путем поддержания стационарного значения модуля переменной 1®₀1 = 1.

В отличие от трехмерного случая, в двумерной гидродинамической турбулентности существование инерционного интервала с прямым каскадом энергии невозможно. Это обстоятельство препятствует установлению стационарного распределения энергии по спектру. Процесс передачи энергии к мелкомасштабному движению блокируется на масштабе /„. вправо от которого формируется инерционный интервал переноса энстрофии. Влево от Z„ развивается интервал обратного переноса энергии к крупным масштабам со спектральным законом "-5/3", причем граница этого интервала продвигается ьлево по мере накопления системой энергии.

Стационарной ситуации удается добиться путем введения дополнительной диссипации кинетической энергии на больших масштабах (в уравнение для U„ дописывается член вида -yt/„ , так называемое линейное трение, обычно используемое и при прямых численных экспериментах с двумерной турбулентностью). На рис.1 показаны осредненные по времени значения энергии пульсаций скорости и температуры в отдельных октавах Е,._п и Е_Тп. Проведены линии, соответствующие степенным законам для спектров Еу^к^ и Е_т^ку При рассматривании рисунков следует помнить, что показатель степени для величины

£ (Л„)на единицу меньше, чем для самого спектра Е(А), что связано с принятым делением оси волновых векторов на октавы. Границы различных интервалов более четко выражены в спектре пульсаций скорости. В спектре пульсаций температуры переходы размытые и степенные участки не столь ярко выражены.

log X'„/log2

---------------------------------------,----,--------------------------------------,--------------------------------------]--г Ev о и 8              К 5•

О • • *^5——_

О'

J____I--------------------------------------1-------------------------------------- о          5         К) 15         20         25"

Рис. 1

Любопытно отметить, что описанный численный эксперимент есть первая удачная попытка получения стационарного интервала обратного каскада энергии в каскадных моделях двумерной турбулентности. Инверсный каскад с законом, близким к "-5/3". регистрировался в каскадных моделях двумерной гидродинамической турбулентности в узком интервале волновых чисел [7], но все попытки получения стационарного интервала с постоянным потоком энергии не дали положительного результата - после накопления некоторой энергии в крупных масштабах (малые л) устанавливался режим равнораспределения энергии между переменными £„ с соответствующим спектром E,.(k)~k~' [10,17] Рассмотренная нами ситуация отличается способом подвода энергии, а именно, отсутствием какой-либо искусственной силы. возбуждающей турбулентность на промежуточных масштабах.

Малые числа Прандтля (о<< I) приводят к возникновению инерционнодиффузионного интервала в спектре пульсаций температуры. Он возникает в масштабах, на которых сохраняется обычный инерционный интервал в поле скорости, но существенна тепловая диффузия. Из сопоставления соответствующих членов уравнения (4) S^ST^Z."¹ 57]Г² и колмогоровской оценки для пульсаций скорости в инерционном интервале получается [12]

Е,(к) к''¹³.                                                            (14)

В этом случае результат зависит, естественно, от динамики инерционного интервала и в случае рассмотрения двухмерной турбулентности, в которой реализуется инерционный интервал переноса энстрофии со спектральным законом Е(к) - А ' . мы придем к закону [8]

Е, (к)-кЕ                                                  (15)

При столь быстром затухании энергии пульсаций трудно рассчитывать на формирование протяженного интервала. Это подтверждают и результаты численного счета для случая а = 10 8 . приведенные на рис.2. где не удается выделить интервала с постоянным степенным законом.

logA„/ log2

0          5         10         15         20        25

Рис. 2

На рисунке даны результаты счета с различными значениями параметра J. В конвективном интервале отличие невелико, так как здесь доминируют локальные взаимодействия полей скорости и температуры. Различия хорошо видны в мелкомасштабной части спектра, где формируется инерционный интервал переноса энстрофии. Известно, что каскадные модели испытывают проблемы с описанием каскада энстрофии, выражающиеся в том. что поток энстрофии в них слаб в сравнении с пульсациями энстрофии в отдельном масштабе и падает с ростом п, а спектры энергии не следуют единому степенному закону [10,17]. Увеличение J усиливает поток энстрофии и приводит к появлению протяженного интервала, в котором спектр кинетической энергии следует степенному закону с наклоном Е(к)~ к~'°'³. Интересно отметить, что именно такой наклон спектра был получен при исследовании двумерной турбулентности с помощью иерархической модели, в которой число переменных растет как 2²" по мере роста волнового числа к_п = 2”, что позволяет в отличие от каскадных моделей учитывать и пространственную неоднородность турбулентного течения [11].

Большие числа Прандтля (о» 1) способствуют формированию вязкоконвективного интервала, в котором соответствующие масштабы поля скорости подавлены вязкостью, но остается спектральный поток пульсаций температуры, поддерживаемый лишь крупномасштабным полем скорости. Поскольку диффузия тепла происходит на существенно меньп их масштабах, поток энергии пульсаций температуры остается постоянным, но в оценке (5) характерное время переноса определяется крупномасштабными пульсациями скорости и может считаться для этого интервала постоянным.Это дает оценку Ы," ~ const, что равносильно спектральному закону, впервые полученному Бэтчелором [12],

Е_т(к)~к-'. (16)

Между конвективным (обуховским) и вязко-конвективным интервалами можно ожидать появления промежуточного интервала, в котором вязкий член становится весомее нелинейного, но остается существенной сила плавучести. Тогда баланс архимедовых и вязких сил приводит к соотношению gW,~bv,r2.                                            П7> которое вместе с (5) однозначно определяет спектральные законы

Е_г(к)~к”', Е_т(к)~к~^и.                               (18)

Очевидно, чго такой интервал может установиться лишь в узком диапазоне волновых чисел, так как быстрое ослабление пульсаций скорости стимулирует развитие вязко-конвективного интервала (16). Однако баланс (17) может соблюдаться и в вязко-конвективном интервале (когда доминирует перемешивание крупномасштабным голем скорости). Тогда спектр пульсаций температуры будет следовать закону '-1" (16), а соотношение (17) приводит к спектру

'Е/М-к"'.                                                  (20)

Результаты вычислений для случая а = 10⁶, Re = 10 представлены на рис.З и показывают, что интервал, в котором устанавливаются законы (16-19), может быть достаточно протяженным. Можно видеть, что увеличение J приводит к растяжению интервала (16), но практически не влияет на распределение энергии пульсаций скорости.

IP ।-------- ,   г       —1 ———————-,[—

;                                                                                  |)о j                            ,                     ET(J = 1)•

I ___ ~ к" 1_____ EVO   5)°

• *   *   *   *   *   *   ;   br(V=6)•

:------:------- --------------------■           ---------J----------------------------------------------------

• I,            2           4            0           8           10"

г™, 3

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 94-01-00951 -а).