Моделирование линейчатого пространства дуальной эллиптической плоскостью

Авторами исследована возможность моделирования линейчатого пространства дуальной эллиптической плоскостью.

Пусть прямая расширенного пространства R₃ проходит через точкуХ(х_р х₂, х₃) и ее направление задано единичным вектором у {y₁,y₂,y₃}. Определим плюк-керовы координаты прямой двумя точками с однородными проективными координатами: ХС' ! , х₂, х₃,1) и Y ^ (y₁, y₂,y₃,0). На основании известной формулы плюккеровых координат [5]:р .. = ху-х^:; i,j = 1, ...,4; i ^ j запишем

Р_П^^Х 1 У1"^Х : У 1^; Р 23 ^^Х 2 Уз-^Х : У 2^;

Р 31 = V1 ^-х 1 У 3 ^; Р 41 = У 1'^42 =У 2^; Р 43 = Уу      ⁽¹⁾

Очевидно, три первых плюккеровых координаты соответствуют вектору OX • у . Прямой линии пространства R₃, имеющей координаты (1), можно поставить в соответствие дуальный вектор Р пространства R с координатами

^Р 1 -^41 ⁺ ^ ^Р 2 = ^Р 42 ^{+ Щ} Р эР ^Р 3 ^{- Р}43 ⁺ ^ ^{Щ 0 (2)}

Дуальный вектор Р является единичным. Действительно, для него можно записать:

⁽ P , P I P ² + P + P + ® ¹⁽ Р 41 Р 23 +Р42Р31 ⁺Р 43Р12 ⁾ ;

щ2 0.                          (3)

Поскольку из ( у , у ) - (- у , - у ) - 1 следует 33

I у , ² - I p 42 i = 1, а выражение в скобках в уравнении (3) i =1             i =1

равно нулю, так как представляет собой скалярное произведение двух ортогональных векторов, то имеет место (P , P ) - 1. Очевидно, прямой пространства R3 соответствует пара противоположно направленных единичных дуальных вектора и, следовательно, пара диаметрально противоположных точек единичной дуальной сферы (P , P) - (-P , -p ) - 1. Таким образом, имеет место модель Э. Штуди линейчатого пространства в виде единичной дуальной сферы 5  [3]. Из непрерывности функций (1) следует непрерывность отображения линейчатого пространства R3(l) с основным элементом - прямой линией - /, на сферу 5 , т. е. соответствие R3(/) ^ 5 является гомеоморфным. Рассматривая единичную сферу 5 с отождествленными диаметрально противоположными точками как модель дуальной эллиптической плоскости, можно перейти к касательной к ней плос-S кости R2(to), которую также можно рассматривать как модель дуальной эллиптической плоскости единичного радиуса кривизны, полученную отображением сферы

5 проецированием из ее центра на касательную плоскость. При этом пара диаметрально противоположных точек сферы изобразится на RSw одной точкой. В силу непрерывности сферического отображения между пространством R3(l) и плоскостью RSw устанавливается гомеоморфное соответствие. Изотропному конусу X2 + Y + Z2 = 0 связки прямых и плоскостей расширенно го пространства R3 соответствует дуальный изотропный конус X+Y2 + Z2 = 0в пространстве R , который в пересечении с плоскостью R2S(m) образует абсолют -k(2Щ) этой плоскости, имеющий уравнениеХ2 +Y + R2 = 0.В дуальных однородных проективных координатах абсолют

S

плоскости R 2(щ) единичного радиуса кривизны имеет вид 3

I X , = 0. Абсолюту ^- k ₍ ² _Щ) плоскости R S _w изоморфно i =1

соответствует абсолют пространства R₃(l), представляющий собой квадратичный комплекс ^- K M изотропных прямых, конус которого есть указанный изотропный конус. Соответствие абсолютов ^- K M и ^- k ₍ ² _Щ) индуцирует соответствие метрик пространства R₃(Z) и плоскости R ^_Щ) .Комплексному углу (ф₀,ф₁) между двумя скрещивающимися прямыми пространства R₃(l), где ф₀ и ф₁ - угол и минимальное расстояние между ними, соответствует дуальный угол Ф - ф₀ + щф₁, щ²- 0 между соответствующими этим прямым единичными дуальными векторами X и Y :

COSФ - ( X , Y ) - COS ф₀ - Щф₁81пф₀, щ² - 0.

Угол Ф есть расстояние между двумя точками х(Х1, Х2,Х3) иy(Y1, Y2, Y3) плоскости R2(Щ), соответствующими дуальным векторам X и Y: cosФ - (X, Y ) - I x,Y .

i =1

Дуальная плоскость R _2W может быть интерпретирована как метризованная проективная плоскость R S _{( m )} .Действительно, расстояние А между двумя точками y(Y) и z(Z) плоскости R ^_Щ) дуального радиуса кривизны R определится следующим образом:

∆   ∑3 YkZk cos = k=1

R

1______________ .

R ²

Определим точки пересечения прямой линии (у, z) и абсолюта ^- k ( Щ решением уравнения

X ( Y_k + m Z ) ² = 0 , k =1

где Ц = Ц0 + ЮЦ1 - параметр прямой; щ2 = 0. Пусть ц и ц” различные корни этого дуального квадратного уравнения. Тогда получаем две точки пересечения: i1(Yk + ц’2к) и i2(Y + ц”2к), что позволяет записать сложное отношение четырех точек прямой м‘

⁽ y^z ' ⁱ 2⁾   м ⁼ ^

На основании теоремы Виета для полученного дульного квадратного уравнения можно записать

( м‘+ м") ²

z » ММ

4

3 X Y . Z . L k =1

2

R ⁴

(л±Ш

, л

откуда, на основании выражения (4), следует

А

л +1

— = arccos —

R         2 л/л

В области дуальных чисел и дуальных аналитических функций имеют место формулы Эйлера [4]:

А cos

R

А А i —     - i— e R + e R ---------------------------;

А

Sin — =

R

. а i eR

^^^^^^в

А

- i — e ^R

•

А

*r        А

Обозначим e R = Т; cos —=М. Тогда из первого равенства (7) следует Т12=М± 'JMА -1 . Поскольку Т1Т2= 1, т. е. Т1 ^ 0; Т2 ^ 0, то уравнение e к = Тимеет решения относительно R. Следовательно, i — Ine =1пТ. Принимая Т=Т1, получим  ^arccosM^ ln(M + 7M2 -1

Ri ет на основании выражения (6) записать

Д          л +1    1    л +1   / (л +1) ²

= arccos = ln( +

R       2 7л   i   2 V7 V 4л

1) , что позволя-

^^^^^^в

1) — -ln vл i

•

2i 5

В итоге получаем л = е R , откуда следует, что

Д 1          1 1- А

• - = — 1пл = — lny i1 i2) , R 2i2

Л12

где 1п% = 1п%₀ + Ю _л • Таким образом, абсолют k _{( Щ)}

плос-

кости R 2( _щ ) определяет на ней эллиптическую метрику (4), которая имеет проективную интерпретацию (8). То есть абсолют ^- k ( ² _Щ) плоскости R 2( _Щ) есть в то же время дуальная мнимая коника проективной плоскости R ² ( _{щ )} . На этом основании плоскость R 2 5 ( _Ю ) может быть рассмотрена как метризованная дуальная проективная плоскость R Х) .

Известно, что связка 22 прямых и плоскостей; сфера 52 с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость P, касательная к сфере S2 и интерпретируемая как метризованная проективная плоскость PS - это модели эллиптической плоскости в расширенном пространстве R3, геометрия которой основана на соответствующей системе аксиом связи, порядка, конгруэнтности и непрерывности [5; 6]. На основании существования гомеоморфного соответствия R22 = 1р о S, О 22 могут быть расширены границы применимости принципа перенесения Ко-тельникова-Штуди, устанавливающего соответствие геометрий пространств 22 о R3(l) ^ 5 . В результате получаем следующее соответствие геометрий рассматриваемых пространств:

• ^R2 = P ² О 5 , О ² 2 0 ^R ₃ ^{( l )} О ^ 2(щ) О ^— ^щ ^{= Р}2²( щ) .

Опираясь на систему аксиом геометрии плоскости R 2 2 ⁼ P² , можно построить проективную геометрию линейчатого пространства. Это утверждение основано на следующих положениях: во-первых, каждая из моделей эллиптической плоскости и модель R / (щ линейчатого пространства R₃(l) может быть интерпретирована как соответствующая метризованная проективная плоскость; во-вторых, абсолюты названных моделей представляют собой мнимые квадратичные образы в проективных интерпретациях и соответствуют друг другу конструктивно либо по принципу перенесения.

Гомеоморфное соответствие R₃(l) о R ² ( _Щ) = P 2X позволяет выполнить построение проективной геометрии пространства R₃(l) с интерпретацией этой геометрии на плоскости R 1( _Щ ) = Р 2 ² _Щ) . Определим вначале основные линейные образы плоскости R Х) = Рр щ и укажем соответствующие им линейчатые прообразы в пространстве R 3 (i).

Из ортогональности двух точек плоскости R ² _{( ш )} = Р 2 2 _Щ) в полярном соответствии относительно абсолюта ^- k ( Щ : фиксированной а(Л) и переменной х(Х), на основании соотношения (4) следует уравнение

• X ДХ.= 0 ,                (9)

i =1

описывающее прямую линию в этой плоскости. Прямая линия является полярой точки б относительно ^- k ( Щ . Уравнению (9) соответствуют в пространстве R₃(l) два линейчатых образа:

• 1)    алгебраический коноид (АК), если имеет место со- 3

отношение X А,Х, ( ф ₀ ) = 0 , то соответствующий образ в i =1

плоскости R ²_Щ) называется прямой нитью;

• 2)    щетка, если X AX ( Ф ) = 0 , где Ф = ф₀+®ф₁, Ю² = 0.

i =1

Уравнение X A i ( д) X i = 0, где А - вещественный па- i =1

раметр,А- координаты фиксированной точки х, может описывать два различных по размерности образа в плос-

S

кости ^R 2( _m ) :

• 1.    ЕслиИ.(8) - текущие линейные однородные координаты прямой нити, то получаем ниточный пучок прямых нитей с центром х(Х), линейчатым аналогом которого в пространстве R₃(l) является «коноид коноидов» - однопараметрическое множество АК, оси которых образуют АК с осью х.

• 2.    ЕслиИ.(8) - текущие линейные однородные координаты прямой линии, то получаем ниточный пучок прямых линий, линейчатым аналогом которых в пространстве R₃(l) является «коноид щеток» - однопараметричес-

• кое множество щеток, оси которых образуют коноид с осью х(Х).

Уравнение ^ A i ( A ) X i = 0 , где А = 8₀ + ®8₁; щ² = 0;

i =1

• X. - координаты фиксированной точки х, также может описывать два различных по размерности образа в плос- S

^кости R ₂ ( _Щ) :

• 1.    ЕслиЛ . (А) - текущие линейные однородные координаты прямой нити, то получаем уравнение линейного пучка прямых нитей с центром х(Х'), которому в пространстве R₃(l) соответствует двухпараметрическое множество конгруэнтных и конгруэнтно расположенных АК, оси которых образуют «щетку коноидов».

• 2.    ЕслиЛ . (А) - текущие линейные однородные координаты прямой линии, то получаем уравнение линейного пучка прямых линий с центром х(Х), которому в пространстве R₃(/) соответствует двухпараметрическое множество щеток, оси которых образуют щетку второго порядка, т. е. «щетку щеток».

В плоскости If проективному соответствию двух рядов точек на одной или разных эллиптических прямых; двух эллиптических пучков прямых первого порядка на одном или разных носителях, отвечает проективное соответствие двух линейчатых рядов одной или разных щеток первого порядка; одной или разных щеток второго порядка с интерпретацией этих соответствий в плоскости Р ^_Щ) . При этом проективному образованию прообраза в плоскости P ₂ ^S отвечает проективное образование квадратичного линейчатого образа в пространстве R₃(l) с интерпретацией этого образования в плоскости Р ₂ ^ _Щ) . Например, теореме Штейнера в плоскости P ₂ ^S соответствует теорема в линейчатом пространстве R₃(l): геометрическое место прямых пересечения соответственных щеток первого порядка двух проективных щеток второго порядка есть конгруэнция второго порядка; если щетка первого порядка, принадлежащая обеим проективным щеткам второго порядка, сама себе соответствует, то конгруэнция распадается на две щетки первого порядка, одна из которых есть эта щетка.

Приведенная теорема примет конструктивно-образную интерпретацию в плоскости Р^Щ), если в ней произвести замену слов и словосочетаний: «прямая линия» -«точка», «щетка первого порядка» - «прямая линия», «щетка второго порядка» - «линейный (может быть ниточный) пучок первого порядка прямых линий», «конг руэнция второго порядка» - «кривая линия второго порядка».

Моделирование проективного образования конгруэнции второго порядка в плоскости Р ,( _Щ обнаруживает ее конструктивные и метрические свойства, аналогичные соответствующим свойствам коники в плоскости P ₂ ^S (например, произвольная щетка первого порядка не может иметь с конгруэнцией более двух общих прямых линий); через каждую прямую линию в конгруэнции проходит единственная щетка первого порядка, касательная к конгруэнции и др.

В завершение отметим, что трехпараметрической связной группе движений - метрических коллинеаций плоскости R 2 S = P ₂ ^S - соответствует по принципу перенесения Котельникова-Штуди шестипараметрическая связная группа винтовых движений - метрических коллинеаций пространства R₃(/). Последней группе изоморфно соответствует связная группа движений - метрических коллинеаций плоскости Р ₂ ^ _Щ) = Р ₂ ^ _Щ) .

Приведенные взаимосвязанные эллиптические вещественные и эллиптические дуальные плоскостные модели линейчатого пространства, полученные на основе расширения границ применимости принципа перенесения Котельникова-Штуди, определяют новое направление в изучении геометрии этого пространства. Эти модели позволяют разрабатывать эффективные алгоритмы конструктивно-метрического образования объектов линейчатого пространства, а также исследовать позиционные и метрические свойства этих объектов.