Моделирование механического поведения вязкоупругого элемента при малоцикловом деформировании

М.Ю. ДЕМИНА, Л.С. ПОЛУГРУДОВА, И.Н. АНДРОНОВ, Н.П. БОГДАНОВ

Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта mdemina59@mail.ru, iandronov@mail.ru, bnp55@mail.ru

Приведены результаты численных расчетов циклового деформирования вязкоупругого материала в реологических моделях Максвелла и Фойгта. Отмечено необратимое накопление деформации под действием периодической нагрузки. Выполнено сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными циклического пульсационного воздействия на компактную костную ткань.

M.YU. DEMINA, L.S. POLUGRUDOVA, I.N. ANDRONOV, N.P. BOGDANOV. SIMULATION OF MECHANICAL BEHAVIOR OF VISCOELASTIC ELEMENT IN THE LOW-CYCLE DEFORMATION

The results of numerical calculations of cyclic deformation of viscoelastic material in the rheological model of Maxwell and Voigt are given. The accumulation of irreversible deformation under the action of periodic load is noted. The comparison of simulation results with experimental data of cyclic pulsation effects on compact bone tissue is performed.

На современном этапе медицина является по существу экспериментальной наукой с огромным эмпирическим опытом воздействия на ход тех или иных болезней различными средствами. Однако экспериментальное изучение процессов, происходящих в биологических средах, является ограниченным. В настоящее время одним из актуальных научных направлений является математическое моделирование нормальных и патологических свойств биотканей в разных условиях функционирования [1–7]. Исследование механических свойств вязкоупругих сред в разных условиях нагружения, с одной стороны, интересно как задача механики, с другой – представляет медицинский интерес, так как ткани организма, в частности компактная костная ткань, проявляют именно вязкоупругие свойства [8–10].

Костные ткани – биологический материал, имеющий характерный физический и химический составы. Различают компактную ткань, в которой структура определяется пластинчатым строением, и спонгиозную, обладающую высокой пористостью. Костная ткань является подвижной динамической структурой, для которой характерно постоянное обновление [11–12]. Физические факторы, прежде всего парциальное давление кислорода и механическое воздействие, влияют на клетки остеогенного ряда. Перестройка костной ткани осуществляется в соответствии с действующими на кость нагрузками [13].

Большой практический интерес представляет отклик материала на циклическое деформирование, так как в обычных физиологических условиях кость чаще всего подвергается воздействию именно периодически изменяющихся нагрузок. Известно, что сопротивление материалов нагрузкам, систематически изменяющими свою величину и знак, существенно отличается от сопротивления тех же материалов статическому или ударному действию нагрузок [14].

Цель настоящей работы – экспериментально исследовать механическое поведение компактной костной ткани при малоцикловом деформировании и провести численное моделирование механических свойств вязкоупругого элемента, подвергаемого действию периодической нагрузки.

Моделирование

Напряженно-деформированное состояние тела в общем случае трехосно и описать его свойства с помощью простых моделей не удается. Однако в случае одноосного деформирования качественное поведение материала достаточно наглядно и просто можно представить простейшими структурными элементами: упругим и вязким. Предполагали, что эти элементы обладают линейными характеристиками, т.е. напряжение σ и деформация ε в упругом элементе связаны соотношением в форме закона Гука ° = Eё, а в вязком элементе напряжение и скорость деформации связаны соотношением ньютоновского типа ° = Лё (здесь и далее точка обозначает дифференцирование по времени).

Рассматривали поведение материала под действием периодической нагрузки при последовательном соединении упругого и вязкого элементов (модель Максвелла) и параллельном соединении (модель Фойгта). Расчеты выполняли для пульсационного цикла нагружения с коэффициентом асимметрии

о

r =  min- = 0,

° max в котором напряжение задавали в виде

° = A

где А - амплитуда напряжения, т = 2— - период, ю ю- круговая частота (рис.1).

° max

° min

Т

2 Т

Время

Рис.1. Изменение напряжения в отнулевом пульса- ционном цикле.

В моменты времени t = nT ( n = 0, 1, 2,...)

производная напряжения не определена, поэтому уравнение (1) представляли выражениями

{ Д sin Г-,t G [2nT; (2п + 1)71

-Д sin (- t), t G [(2n + 1)Г; (2n + 2)Г] \г /

Уравнение Максвелла для упруго-вязкого элемента имеет вид

Уравнение (3) с учетом соотношений (2) может быть представлено двумя уравнениями для нечетных и четных периодов

ё = 5

—A    fп ) A . Г — ) г / х л----cos\ —t I +—sin\ —t I,t g [2nT;(2n + 1)T ] ET  V T J n V T J z x              , x

— cos| — t | - —sin| — 11,t g [(2n + 1)T;(2n + 2)T] et V t J n V t ; x

Решения дифференциальных уравнений (4)

A I ”, — sin\ —t

ё = 5

E

T

—

^-cos \ ^— t | + C 1 ,t g [ 2 nT; ( 2 n + 1 ) T ]

—n V T J

A ,U\ AT I --sin l —t I +-- cos I

E

T

—n

T1 1 + C 2 ,t g [( 2 n + 1 ) T; ( 2 n + 2 ) T ]

где С1 и С2 – константы интегрирования. Для определения константы интегрирования С1 исполь- зовали следующие начальные условия: при t = 0, ё = 0. Значение константы _ AT . Вторую кон-C1

—n станту интегрирования находили из условия равенства деформаций в конце первого и начале второго периода цикла, т.е. в момент времени t = (2n + 1)T . Полученное значение константы равно 3AT . Таким образом, получили анали-C 2

—n тические выражения временной зависимости деформации для первых двух циклов периодической нагрузки.

Выполнено численное моделирование кинетики накопления деформации и получены диаграммы деформирования при различных параметрах модели. Результаты расчетов показывают сильную зависимость кинетики деформации (рис.2) и диаграммы напряжений (рис.3) от параметров модели.

Рис.2. Влияние параметров модели Максвелла на зависимость деформации от времени в пульсационном цикле нагружения.

При соотношении параметров упругого и вязкого элементов E = 01 и E = 1 деформация из- n , n меняется практически в фазе с напряжением, наблюдается незначительный неполный возврат деформации. Увеличение параметра упругого элемента по отношению к упругому до E = ю приво- n дит к отставанию деформации от циклически меняющегося напряжения и резкому невозврату деформации после двух циклов нагружения.

E /η = 1

E /η = 10          E /η = 0,1

-2

J— —^ —i— —^

4        6        8        10       12

Деформация, %

Рис.4. Влияние параметров модели Фойгта на зависимость деформации от времени в пульсационном цикле нагружения.

Рис.3. Влияние параметров модели Максвелла на

диаграммы напряжения в пульсационном цикле.

Синхронность деформации и напряжения в модели Максвелла при упругом параметре, равном или меньшем вязкого параметра, отчетливо прослеживается на диаграмме напряжений (рис.3). С повышением модуля упругости в модели диаграмма приобретает значительное увеличение накопленной деформации.

В модели Фойгта определяющее структурное соотношение между напряжением и деформацией имеет вид

•

E ст

£ + —£ = — .

n n

В соответствии с цикловой нагрузкой, задаваемой уравнениями (2), соотношение (6) запишется в виде двух дифференциальных уравнений для нечетных и четных периодов

•

E

£ + --£ = ■

П

A sin | ^П t | ,t e [ 2 nT ; ( 2 n + 1 ) T ]

П I T )

- Asin J " t I ,t e [ ( 2 n + 1 ) T; ( 2 n + 2 ) T ] nV t )

>

величина расчетных деформаций на порядок меньше по сравнению с моделью Максвелла.

Экспоненциальная кинетика деформации в модели Фойгта определяет сложный вид диаграммы напряжений (рис.5). Практически периодическая зависимость g = f ( s ) при соотношении параметров модели E = 01 меняется на замкнутую фигуру

П , при E = io. Подобные замкнутые диаграммы были П получены экспериментально при циклическом деформировании костной ткани и приведены в работе [12].

Таким образом, расчеты реологических свойств, выполненные при помощи достаточно простых механических моделей Максвелла и Фойгта, позволяют прогнозировать изменение деформации при циклическом воздействии на вязкоупругий материал.

При решении уравнений (7) получили аналитические выражения для деформации в первом

цикле нагружения

£ i =

A J E .

— I — sin П V П

- Et

и во втором

ε

A

η

. (9)

J Et I n A 1 + 2 e ⁿ

eη

E /η = 1

E /η = 0,1 E /η = 10

к 5

к i CL В

И

0,2       0,4       0,6       0,8

Деформация, %

-2

Константы интегрирования, как и в модели Максвелла, определяли из следующих соображений: в первом цикле в начальный момент времени деформация равна нулю, деформации первого и

второго циклов равны в момент времени t = T .

Данные расчетов кинетики деформации в модели Фойгта позволяют отметить запаздывание деформации от напряжения и монотонное накопление остаточной деформации при всех рассмотренных параметрах модели (рис.4). В модели Фойгта

Рис.5. Влияние параметров модели Фойгта на диаграммы напряжения в пульсационном цикле.

Эксперимент

Результаты моделирования сравнивали с экспериментальными данными по циклическому нагружению компактной костной ткани. Для исследования использовали образец в форме балки прямоугольного сечения, который вырезали из средней части диафиза большеберцовой кости жи-

вотного. Образец сечением b х h = 5,5x10 мм длиной рабочей части 50 мм жестко закрепляли в одном конце. К свободному концу прикладывали циклически меняющуюся изгибающую нагрузку P = f(t), вызываю- щую в верхнем слое переменные растягивающие напряжения (рис. 6, кривая 1). Деформацию измеряли тензорезистором КФ 5П-0,5, наклеенном в верхнем слое на расстоянии 30 мм от незакрепленного конца образца. Нормальные напряжения от изгибающего момента рассчитывали по формуле о = о

max

Pl

^, W x

где l = 30 мм – расстояние от сечения с приклады- ваемой нагрузкой до тензорезистора, Wx – момент сопротивления сечения. Нормальные напряжения в сечении превышали касательные, определяемые для прямоугольного сечения, как

3 P

2 bh

т max

Для сечения, соответствующего положению тензорезистора, отношение максимальных нормального и касательного напряжений составляло

^mx- = 4 L = 12 .

т max

h

Проводили серию экспериментов по знакопостоянному механоциклированию материала с нарастающей амплитудой напряжения от цикла к циклу. Создаваемые напряжения соответствовали пульсационному циклу с коэффициентом асимметрии r = 0 , амплитуда напряжений в первом цикле составляла 18 МПа, во втором – 24, в третьем – 33 МПа. В цикле задавали три периода нагрузки-разгрузки материала, скорость нагружения 0,3 МПа/с.

Результаты экспериментов показали, что накопление и возврат деформации при циклическом нагружении компактной костной ткани происходят синхронно с изменением напряжения (рис.6): фаза деформации соответствует фазе нагрузки. Из литературы известно, что для вязкоупругих материалов это наблюдается не всегда [3]. Установлено, что с учетом погрешности опыта деформация в цикле линейно изменяется со временем. Наблюдалась необратимая деформация после разгрузки в цикле (рис.6).

Экспериментальные диаграммы деформирования при циклическом воздействии на компактную костную ткань (рис.7) подобны расчетным кривым в модели Максвелла при параметрах модели E = о 1

П , (рис.3). В интервале исследованных значений напряжения и деформации данные с достаточной точностью аппроксимируются зависимостью линейной вязкоупругости (рис.7).

Амплитуда напряжений и амплитуда деформаций в пульсационном цикле связаны практически линейной зависимостью (рис.8), что подтверждают линия тренда и коэффициент корреляции, равный 0,99.

Время, с

Рис 6. Экспериментальные графики изменения напряжения (кривая 1) и деформации (кривая 2) в пульсационном цикле нагружения компактной костной ткани.

Рис 7. Экспериментальные кривые деформирования компактной костной ткани при частоте циклического деформирования 10-2 Гц для амплитуд нормального напряжения: 1 – 18 МПа, 2 – 24 МПа, 3 – 33 МПа.

Амплитуда относительной деформации в цикле, %

Рис. 8. Связь амплитуды нормального напряжения и амплитуды деформации компактной костной ткани в пульсационном цикле.

Из результатов проведенного эксперимента следует, что амплитуда напряжений и амплитуда деформаций в пульсационном цикле связаны практически линейной зависимостью (рис. 8, пунктирная линия), что подтверждает показанная на рисунке линия тренда (рис. 8, сплошная линия) и коэффициент корреляции, равный 0,99.

Заключение

Численное моделирование механического поведения вязкоупругого элемента показывает, что, несмотря на простоту, модели Максвелла и Фойгта качественно описывают деформирование материала при циклическом нагружении: возможный неполный возврат деформации и одностороннее накопление деформации в направлении действующего напряжения; отставание деформации по фазе от напряжения; влияние взаимосвязи упругих и вязких свойств на кинетику деформации и форму диаграммы напряжений.

• 1.    Бегун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика. СПб.: Политехника, 2000. 463 с.

• 2.    Петров И.Б. Математическое моделирование в медицине и биологии на основе моделей механики сплошных сред //Труды МФТИ, 2009.Т. 1. № 1. С. 5–16.

• 3.    Богданов Н.П., Демина М.Ю., Полугрудова Л.С. Моделирование ползучести биологических тканей // Известия Коми научного центра УрО РАН. 2011. Вып. 2(6). С.76–79.

• 4.    Кнетс И.В. Механика биологических тканей // Механика полимеров. 1977. № 3. С.510–518.

• 5.    Dominique P. Pioletti. Biomechanics in bone tissue engineering // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, Vol. 13, No. 6, December 2010. Р. 837–846.

• 6.    Giulia Franceschini. The mechanics of human brain tissue. Trento, 2006. 130 р.

• 7.    Guanhui Fang, Baohua Ji, X. Sherry Liu & X. Edward Guo . Quantification of trabecular bone microdamage using the virtual internal bond model and the individual trabeculae segmentation technique // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, Vol. 13. Issue 5. 2010. Р. 605–615.

• 8.    Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981. 254 с.

• 9.    Регирер С.А., Штейн А.А. Методы механики сплошной среды и применения к задачам роста и развития биологических тканей // Современные проблемы биомеханики. Рига, 1985. Вып. 2. С.5 – 37.

• 10.    Мелнис А.Э., Кнетс И.В. Вязкоупругие свойства компактной костной ткани // Современные проблемы механики. Рига, 1985. Вып.2. С. 38–69.

• 11.    Проблемы прочности в биомеханике / Под ред. И.Ф.Образцова. М.: Высшая школа, 1988. 311 с.

• 12.    Дедух Н.В., Панков Е.Я. Скелетные ткани // Рук-во по гистологии. СПб.: СпецЛит, 2001. Т.1. С.284 – 327.

• 13.    Цыган Е.Н., Деев Р.В. Морфофункциональные основы остеопороза. СПб.: ВМедА, 2005. 116 с.

• 14.    Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. 608 с.