Моделирование микроускорений марковским случайным процессом

Проблема создания специализированной космической лаборатории технологического назначения заключается в обеспечении внутри рабочей зоны технологического оборудования условий микрогравитационного штиля [1]. Исследования, проведенные на борту различных космических аппаратов (КА), показывают, что аппарат при орбитальном полете совершает сложные движения вокруг центра масс [2-4]. Моделирование движения КА с использованием гипотезы о его пространственном вращении вокруг центра масс дает спекулятивную оценку микроускорений [5, 6], однако в силу ряда факторов, подробно изложенных в [7], микроускорения более корректно рассматривать как случайный процесс.

Согласно определению случайного процесса [8], для формализации микроускорений необходимо выделить параметр и случайную величину, которые будут определять процесс W ( t ). Параметром t i будет служить время, отсчитываемое от i- го выключения до i+1 -го включения управляющих ракетных двигателях системы ориентации и управления движением (УРД). В качестве случайной величины для разных постановок задачи оценки микроускорений вообще говоря можно использовать различные величины. В данной работе рассматривается задача в рамках гипотез физической модели Г3.1-Г3.3 [1]. Тривиальный сценарий [7] предусматривает только одну независимую реализацию процесса W ( t ). Эта оценка аналогична физической (формула (3.1) в [1]) и является первым самым грубым приближением для вероятностной оценки микроускорений с помощью случайного процесса.

Для более общей оценки откажемся от гипотез Г4.1 и Г4.5 [1]. Это приведет к тому, что начальные значения потенциальной энергии деформации упругих элементов в момент выключения УРД П нач будут различными и представлять собой случайную величину. Г3.2 [1] определяет колебания упругих элементов как единственный источник формирования поля микроускорений. При справедливости дополнительной гипотезы Г3.7 и Г4.6 [1] именно потенциальная энергия деформации упругих элементов будет однозначно определять поле микроускорений внутренней среды КА. Поэтому в предлагаемой вероятностной модели в качестве случайной величины для процесса W ( t ) рассматривается именно потенциальной энергии деформации упругих элементов.

Следует отметить, что возможны другие подходы к формализации. Например, замена Г3.2 [1] на следующую: микроускорения создаются за счёт воздействия внешних возмущающих факторов на КА при его орбитальном полёте. Отказ от Г4.1-Г4.4 [1] приведет к тому, что влиянием потенциальной энергии деформаций упругих элементов при оценке микроускорений можно пренебречь, а в качестве случайной величины рассматривать параметры вращательного движения КА вокруг центра масс, например, угловую скорость. Тогда время между двумя последовательными включениями УРД также будет случайно. Однако в данной ситуации речь будет идти не о конструктивной, а о метастабильной составляющей микроускорений [1]. Сохранив Г3.2 [1] и отказавшись от Г4.1 и Г4.4 [1], можно утверждать о случайности вектора момента УРД, с помощью которого определяется угловое ускорение вращательного движения КА вокруг центра масс, затем касательная сила инерции и, наконец, потенциальная энергия деформации упругих элементов. Безусловно, все эти и другие подобные подходы представляют определенный интерес для исследования, однако практической значимостью обладает именно схема, в которой роль случайной величины играет потенциальная энергия деформации упругих элементов. В рамках этого подхода возможно дальнейшее усложнение модели путем отказа от Г4.6 [1], исследовав стохастическую зависимость между потенциальной энергией деформации и микроускорениями.

Рассмотрим каноническое разложение [9] микроускорений в виде:

to w (t) = Zo( t) + L'¥Zi( t),         (1)

i = 1

где Ψ i – случайные величины, а ζ i ( t ) – неслучайные функции. В качестве ζ i ( t ) в [10, 11] предлагается использовать действительную часть фрактальной функции Вейерштрасса-Мандельброта при тождественно нулевой случайной фазе (ФВМ):

„ , x „ Г , xl         1 - COS ( b; t )

£ ( t ) = ^Re[ w ⁽ t ^)] = L     (2 _ J i ) n ,      (2)

n = -to bi где b – масштабный параметр; D – фрактальная размерность ФВМ. Случайная фаза Q будет тогда входить в состав Ψi:

Т , = A ; e ' ,            (3)

где A – случайная величина, связанная с потенциальной энергией деформации упругих элементов в момент выключения УРД.

Исследования [10, 11] для разложения (1) при ζ i ( t )=0 с учетом одного члена разложения показали возможность оценки микроускорений с помощью ФВМ в рассматриваемой постановке без учета демпфирования собственных колебаний:

“ 1 - cos ( bⁿt )

W ( t ) = L     _h(2 - J ) . .         (4)

n =-to ^b

Разложение (1) с учётом (2) и (3) можно трактовать как классическое разложение колебаний по собственным формам [12]. При этом для каждой формы подбирается своя ФВМ за счёт bi и Di. Исследование физической интерпретации этих параметров и факторов, влияющих на создание поля микроускорений во внутренней среде КА, проведены в [13, 14]. В [15] предложен обобщенный параметр, характеризующий влияние инерционно-массовых свойств больших упругих элементов КА на модуль создаваемых во внутренней среде микроускорений. Ограничения, накладываемые на параметры ФВМ при оценке микроускорений, рассмотрены в [16]. В данной работе дополнительно учитывается демпфирование собственных колебаний упругих элементов. Если упрощенно его можно считать постоянным, например, когда орбита КА расположена таким образом, что КА не оказывается в тени Земли, то Q является детерминированной величиной с постоянными значениями, характерными для той или иной формы колебаний. В этом случае выражения (2) и (3) будет выглядеть:

to

Zi (t ) = L n=-to

1 - cos (b

L(2 - J ) n

bi

e ^Q i t

^-= Ai .

Экспонента, содержащая Q , перешла из случайной величины в неслучайную функцию.

В [17] показано, что логарифмический декремент в значительной степени зависит от температуры. Поэтому он будет принимать различные значения, в зависимости от того в солнечной или теневой части орбиты находится КА в реальных условиях его полета. В любом случае (2) и (3) или (5) приведут к следующему выражению для оценки микроускорений:

to                  to

W(t) = LAie"it L i=1            n =-to

1 - cos ( b n t ) b (2 - D i ) n

с той существенной разницей, является ли Q случайной или детерминированной величиной. Причём, в том случая, когда Q случайна, А и Q взаимно некоррелированы.

Обсудим свойства самого процесса (6). При детерминированности Q существует функциональная зависимость между П нач ( t i ) и её конечным значением в момент включения УРД, поскольку для каждой собственной формы значения Ω i постоянны, следовательно, используя различные схемы демпфирования [17], можно оценить потери энергии за время между i -м и ( i+1 )-м включениями УРД, а затем конечное ее значение. На П нач ( t i+1 ) влияет только конечное значение в предыдущей реализации W ( t i ). Влияние предшествующих i реализаций полностью исключено. С учетом связи между конечным значением потенциальной энергии и П_нач ( t_i ) можно утверждать, что условная вероятность подчиняется свойству:

P {w(ti+1 )е BW(ti),..., W(t1 )}= = P {W (t,+, )e B\W (ti)} поскольку все реализации до i не оказывают влияния на W(ti+1). В (7) В – произвольное борелевское множество. Эти рассуждения позволяют сделать вывод о том, что (6) является Марковским случайным процессом, где при фиксированном «настоящем» «будущее» не зависит от «прошлого» [8]. Аналогичные рассуждения можно привести и для случайной Ω .

В заключение хочется отметить, что при справедливости Г4.2 [1] процесс (6) представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и дискретным временем, а условие (7) автоматически превращает его в строго Марковский [8]. При отказе от Г4.2 [1] (6) переходит в категорию случайных процессов с непрерывными состояниями и непрерывным временем и может быть отнесен к ласу диффузионных процессов.