Моделирование начального режима работы кольца из терморасширенного графита в кранах с уплотнением по штоку

Терморасширенный графит (ТРГ) - уникальный материал, который вне зависимости от условий эксплуатации (повышенные температуры, термоциклирование, время контакта с агрессивными средами) обладает высокой термохимической стойкостью, низким коэффициентом трения, высокими упругими свойствами. Уплотнительные кольца из ТРГ (УК) надежны, не требуют дополнительной герметизации при эксплуатации, не теряют эластичность, хорошо прирабатываются [1], практически не оказывают эрозионного воздействия на соприкасающиеся металлические поверхности [2], работают при криогенных (среда жидкого кислорода) и повешенных (до 560°С) температурах и давлениях до 40,0 МПа в кранах с уплотнениями по штоку [3]. В настоящее время происходит интенсивное внедрение УК на предприятиях и промышленных объектах аэрокосмического, металлургического и химического комплексов, энергетики и ЖКХ.

Существующие методики прочностного анализа, которые используются отечественными и зарубежными инженерами-конструкторами,

Зайцев Алексей Вячеславович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» Рогов Дмитрий Сергеевич, магистрант занимающимися проектированием УК, работающих при повышенных и криогенных температурах, в контакте с агрессивными средами в конструкциях ответственного назначения, не учитывают существенную анизотропию дефор-мациионных и прочностных свойств ТРГ, а также влияние торцевых усилий, необходимых для герметизации соединений, условий на поверхностях, контактирующих с подвижными элементами и ограниченность по высоте самих уплотнительных элементов. Именно это предопределяет необходимость получения новых аналитических решений.

Задачу об определении напряженного состояния УК, являющегося толстостенным, ограниченным по высоте линейно упругим однородным толстостенным ограниченным по высоте H трансверсально-изотропным [4, 5] цилиндром, зафиксированным в сальниковой камере нажимной втулкой, будем решать в цилиндрической ортогональной системе координат r, 0 и z. Будем считать, что поперечные сечения цилиндра ограничены двумя концентрическими окружностями с радиусами а и b (a

ответствует движению в сторону нажимной втулки, отрицательное значение - движению в противоположном направлении.

Пусть в режиме «приработки» осевое перемещение однородно распределено вдоль координаты z . Тогда u_z = u_z(r ), а уравнения равновесия примут вид:

^A 11

8- — -rz 2

_ dur       ur Р = duz

—      £99 —£ zz dr        rd

,,, du,du,

-+ + ~r dr

,

^{d 2 u} r . r^{d 2 u} r , д ^d i ^u r

+ G+ An ~l dr 2      dz 2       dr V r

G ^d ( ^{d u} r , ^{d u} z V 1 ( ^{d u} r । ^{d u} z )

_d r V d z d r J   r V d z dr J.

+

^G rr ^— A_U £ rr + A 12 ⁸ ee + A 13 ^£ zz

+ A ₁₃ A

¹³ d z

^G ee ^— A 12 ^S rr ⁺ A ii ^e ee + A 13 ^£ zz ,    (2)

^G zz ^— A 13 (^£ rr ^{+ £} ee ) ⁺ A 33 ^£ zz ^G zr ^— G ^ zr ,, A 11 ^{— E} ( 1 -^{V 2} ) A 12 ^{— E} ( ^{V-V 2} ) ,                                                 ,

A 13 ^{— V} ( 1 ^{+ V} ) A 12 A ^{33 —} L ^{( 1 -V 2} ) ,.

Решение уравнения (6) будем искать методом разделения переменных, предполагая

U r ( r , z ) — Z ( z ) R ( r )

Здесь L — ( 1 + v ) ( 1 -V- 2 V ² ) , E и E - модули Юнга в плоскости изотропии r9 и в направлении образующей z УК соответственно, G - продольный модуль сдвига, а v и V - коэффициенты Пуассона.

Будем рассматривать режим «приработки» сальникового уплотнения, когда арматура собрана и герметизирована. Нажимная втулка создает равномерное торцевое посадочное давление, заданное на торцевой поверхности кольца

Подставив геометрические соотношения (1) в определяющие (2) и, учитывая разложение (8), запишем условие на верхней границе УК в перемещениях (3):

Z ( H )^{d R ( r )} + Z ( н ) R ( r ) — -— d r r A ₁₃

из которого найдем общий вид одной из неизвестных функции (8)

r 1

R ^{( r ) — c}1Z ⁺ c 2

2 r

.

gJ z )| —-p P zz л——н

,

фиксирует УК в сальниковой камере ограничивая перемещения точек, принадлежащих внешней боковой поверхности, в осевом и радиальном направлениях:

Уравнение (7) должно быть проинтегрировано по радиальной координате, т.к. u_z=u z ( ( r ). Поэтому смешанная и первая производная радиальных перемещений по осевой координате не должны зависеть от z . Это накладывает ограничение на вид второй неизвестной функции в представлении (8)

Z ( z ) — c ₃ z — c 4 .

u, ( r )1   а— u_r ( r )|   — 0 0

z х r— — b    r x r— — b

.

Шток совершает первые циклы возвратнопоступательного движения, поэтому на внутренней поверхности УК необходимо задать условие

Тогда радиальные перемещения (8) могут быть записаны в виде:

(    r      1 ^

^ur ^{( r} , ^{z ) — ( c} 3 ^{z - c} 4 ) l ^c b7 ^{+ c} 2- I

^{V   2      r J} .       (9)

u ( r)|    — ±Uint z v /lr—a       z

,

Подстановка (9) в уравнение (6) приводит к выражению

обеспечивающее равенство осевых перемещений в точках внешней поверхности штока и внутренней уплотнительного элемента. Заданное int положительное значение Uz  в формуле (5) со-

Равенство нулю множителя, стоящего в круглых скобках формулы (10), автоматически приводит к тривиальному (соответствует естественному ненапряженному стоянию УК до помещения его в сальниковую камеру и до герметизации) решению ur(r,z)=0. Поэтому для исключения этого частного случая полагаем c3=0 и, как следствие r1

u r = u r ⁽ r ) = cl- + ^c 2"

2      r .                  (11)

Подстановка (11) в уравнение (7) преобразует последнее к форме д2uz ( r ) + 1 ^z ( r ) = 0 dr2     r  dr

, доступной для интегрирования. Константы интегрирования частного решения uz ( r) = c5 + c6ln r , находим из условий (3)-(5) на внутренней, внешней и торцевой поверхности, контактирующей с нажимной втулкой. Тогда распределение осевых и радиальных перемещений будет описываться соотношениями:

справедливыми, а на внутренней боковой поверхности зададим условия контакта с кулоновским трением в виде пропорциональности касательных и радиальных напряжений:

° rz l r = a   ± ^f ° rr l r = a

.

Как и в условиях (5) знак правой части (14) определяется направлением движения штока: положительное значение при движении в сторону нажимной втулки и отрицательное - в противоположном направлении. Запишем для рассматриваемого «рабочего» режима работы сальникового уплотнения уравнения равновесия в перемещениях

¹ G + A

d ² u_z d z d r

= 0

^ur ⁽ r ) =

u z ⁽ r ) = ± u Г

1 -v- 2 V ²

2 E v ( v-V ² )

ln r - In b

In a - In b

,

b ²

--r

r

P

а касательное, осевое, радиальное и окружное напряжения в поперечных сечениях УК определятся следующими выражениями:

о

rz

( r ) = ± u^l_z —--

2 r ln a

G

- In b  ° zz

,

- P

P

° rr ⁽ r ) =

° oo ^{( r} ) =

л ⁵ 2 u_z

A^z 33    2

G

+ —

_v r d r

d ² u_z ) d r ² ,

= 0

Первое равенство (15) позволяет определить общий вид функции осевых перемещений

u_z ( r , z ) = R ( r ) + Z ( z ) + c

а подстановка этого выражения во второе уравнение (15) позволяет записать дифференциальное уравнение

1 2Г _r ⁸R ( r ) 1    B 8² z ( z )

r d r L   d r  _|         5 z ²

B =

2 E ( 1 -v ² )

LG

b ²

( v- 1)—у + 2 v - 1 -v r ²

2 v ( 1 + v ) ( v-v ² )

2 v ( 1 + v ) ( v-v ² )

из решения которого могут быть получены неизвестные функции, входящие в (16), и конкретизирован закон изменения осевых перемещений u_z в направлении координат r и z :

c u7 = c In r + c +--— z 1           2   2

—

z 2 '

B

+ c₃ z

.

Рассмотрим «рабочий» режим сальникового уплотнения, когда шток совершает возвратнопоступательные движения с трением на внутренней боковой поверхности УК, находящегося в составе собранной и герметизированной запорной арматуре. Предполагая соосность штока и УК, будем пренебрегать радиальными перемещениями в поперечных сечениях ( u_r =0). Как и в режиме «приработки» условия на торцевой (3) и внешней боковой поверхности УК (4) останутся

Граничные условия (3) и (14) на боковых и (4) на торцевой поверхности позволяют определить константы интегрирования формулы (17), а также записать выражения для осевых перемещений

^B 2

r

- b ² +

²z^(Н —z ) + 2 a ² ( In b - In r )

B

BP ( ^{2 v 2 +v-} 1 )

HE v ^{- 1}    ,        (18)

касательных, окружных, радиальных и осевых напряжения

° rz = ± f

EP v ( 1 + v ) ( v 2 -v ) E ( ^{v 2 -} 1 )

GB

—(r - a)

EPv(1 + v)(v2-v)r z °rr =CTm =±    E(v2 -1)    11"2H

°

zz

= ± P fl - 2 z-1

I   H J

в точках поперечных сечений УК.

Как видим, даже в рассмотренных простейших случаях, моделирующих начальный режим работы УК в кранах с уплотнением по штоку, допускающих аналитические решения, выражения для осевых и радиальных перемещений (12) и (18), радиальных, осевых и окружных напряжений (13) и (19) содержат слагаемые, знак которых определяется направлением движения штока. Полученные зависимости позволяют объяснить наблюдаемое при эксплуатации запорной арматуры различие в характере разрушения УК.

Выводы: получены аналитические решения задач для анизотропных толстостенных ограниченных по высоте цилиндрических тел. Эти решения позволяют объяснить различие в распределении перемещений и напряжений в УК, находящихся в сальниковой камере, при возвратно-поступательном движении штока на на-

чальном этапе работы запорной арматуры и в установившемся квазистационарном режиме.

Авторы выражают признательность д.т.н., профессору А.М. Ханову, О.Ю. Исаеву и Д.В. Смирнову за постоянное внимание к работе и обсуждение полученных результатов. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ–Урал № 10–01–96033).