Моделирование нелинейной консолидации пористых сред
Автор: Шешенин С.В., Артамонова Н.Б.
Статья в выпуске: 1, 2022 года.
Бесплатный доступ
Сформулирована, математически исследована и численно реализована достаточно общая формулировка задачи совместного деформирования пористой деформируемой среды с протекающей через поры жидкостью в рамках физической и геометрической нелинейности. Постановка задачи сформулирована в скоростях перемещений твердой фазы и изменения давления жидкости в дифференциальном и вариационном виде. Для формулировки механической модели использовался феноменологический подход: уравнения связанной модели консолидации были выведены из общих законов сохранения механики сплошной среды с применением пространственного осреднения по представительной области. В модели консолидации учитывалось изменение пористости и проницаемости среды в процессе деформирования. Уравнения фильтрации и изменения пористости, изначально представленные в Эйлеровом подходе, были переформулированы в лагранжевых координатах твердой фазы с использованием относительной скорости течения жидкости согласно подходу ALE (Arbitrary Lagrangian - Eulerian). При линеаризации вариационных уравнений равновесия использовалась техника дифференцирования по Гато. Для пространственной дискретизации седловой системы уравнений применялся метод конечных элементов (МКЭ): квадратичные серендиповы элементы для аппроксимации собственно уравнений равновесия и элементы типа Brick для аппроксимации уравнения фильтрации. Для решения системы уравнений равновесия и фильтрации использовалось обобщение неявной схемы с внутренними итерациями на каждом шаге по времени по методу Узавы. Приведены результаты численного моделирования упругопластического деформирования водонасыщенного грунта под нагрузкой при оттоке жидкости. Для моделирования определяющих соотношений для упругопластического деформирования грунта при кратковременных нагрузках предложено обобщение модели С.С. Григоряна на большие деформации. Расчеты проводились в собственном программном коде. Разработанная модель консолидации может применяться для моделирования образования колеи и неровностей грунтовых дорог, а также для расчета неравномерной осадки инженерных сооружений.
Связанная нелинейная задача консолидации, смешанная постановка, конечно-элементное моделирование, метод узавы, деформационная теория пластичности
Короткий адрес: https://sciup.org/146282434
IDR: 146282434 | УДК: 531.01
The simulation of the nonlinear consolidation of porous media
In this paper, the general formulation of the problem of coupled deformation of a porous deformable medium with a fluid flowing through the pores is formulated, mathematically investigated and numerically implemented within the framework of physical and geometric nonlinearity. We present the formulation of the problem in velocities of solid phase displacements and the rate of pore pressure change in differential and variational forms. A phenomenological approach was used to formulate the mechanical model. The equations of the coupled consolidation model were derived from the general conservation laws of continuum mechanics using spatial averaging over a representative volume element. The consolidation model took into account the change in the porosity and permeability of the medium during deformation. The equations of filtration and porosity change, originally presented in Euler approach, were reformulated in Lagrangian coordinates of the solid phase using the relative fluid velocity according to ALE (Arbitrary Lagrangian - Eulerian) approach. The Gâteaux differentiation technique was used to linearize the variational equilibrium equations. For spatial discretization of the saddle system of equations, the finite element method (FEM) was used: quadratic serendipity elements for approximating the equilibrium equations and Brick type elements for approximating the filtration equation. To solve the system of equilibrium and filtration equations, a generalization of the implicit scheme with internal iterations at each time step by the Uzawa method was used. The results of numerical simulation of elastoplastic deformation of a water-saturated soil under load with fluid outflow are presented. To simulate the constitutive relations of elastoplastic deformation of soil under short-term loads, a generalization of S.S. Grigoryan's model to large deformations is proposed. The calculations were carried out in our own program code. The developed consolidation model can be used to simulate the formation of tracking ruts and unevenness of natural roads, as well as to calculate the uneven settlement of engineering structures.
Список литературы Моделирование нелинейной консолидации пористых сред
- Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. – 1941. – Vol. 12, № 2. – P. 155–164. DOI: 10.1063/1.1712886
- Finite element analysis of Biot’s consolidation with a coupled nonlinear flow model / Deng Yue-bao, Liu Gan-bin, Zheng Rong-yue, Xie Kang-he // Mathematical Problems in Engineering. – 2016. – Vol. 2016. – P. 1–13. DOI: 10.1155/2016/3047213
- Biot M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material // Journal of Applied Mechanics. Trans. ASME. – 1956. – Vol. 23, № 1. – P. 91–96.
- Small J.C., Booker J.R., Davis E.H. Elasto-plastic consolidation of soils // International Journal of Solids and Structures. – 1976. – Vol. 12. – P. 431–448.
- Ferronato M., Castelletto N., Gambolati G. A fully coupled 3-D mixed finite element model of Biot consolidation // Journal of Computational Physics. – 2010. – Vol. 229. – P. 4813–4830. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.03.018
- Borja R.I., Alarcón E. A mathematical framework for finite strain elastoplastic consolidation. Part 1: Balance laws, variational formulation, and linearization // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1995. – Vol. 122. – P. 145–171. DOI: 10.1016/0045-7825 (94) 00720-8
- Borja R.I., Tamagnini C., Alarcón E. Elastoplastic consolidation at finite strain. Part 2: Finite element implementation and numerical examples // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1998. – Vol. 159. – P. 103–122. DOI: 10.1016/S0045-7825 (98) 80105-9
- Liu Z., Liu R. A fully implicit and consistent finite element framework for modeling reservoir compaction with large deformation and nonlinear flow model. Part I: Theory and formulation // Computational Geosciences. – 2018. – Vol. 22, iss. 3. – P. 623–637. DOI: 10.1007/s10596-017-9715-3
- Liu Z., Liu R. A fully implicit and consistent finite element framework for modeling reservoir compaction with large deformation and nonlinear flow model. Part II: verification and numerical example // Computational Geosciences. – 2018. – Vol. 22, iss. 3. – P. 639–656. DOI: 10.1007/s10596-017-9716-2
- Carter J.P., Booker J.R., Davis E.H. Finite deformation of an elasto-plastic soil // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. – 1977. – Vol. 1. – P. 25–43.
- Mojarad R.S., Settari A. New solution for anisotropic formation damage due to produced water re-injection // Journal of Canadian Petroleum Technology. – 2009. – Vol. 48, iss. 4. – P. 1–7. DOI: 10.2118/2007-113
- Settari A., Mourits F.M. A coupled reservoir and geomechanical simulation system // SPE Journal. – 1998. – Vol. 3, iss. 3. – P. 219–226.
- Settari A., Walters D.A. Advances in coupled geomechanical and reservoir modeling with applications to reservoir compaction // SPE Journal. – 2001. – Vol. 6, iss. 3. – P. 334–342. DOI: 10.2118/74142-PA
- A comparison of techniques for coupling porous flow and geomechanics / R.H. Dean, X. Gai, C.M. Stone, S.E. Minkoff // SPE Journal. – 2006. – Vol. 11, iss. 1. – P. 132–140.
- Accelerating the convergence of coupled geomechanicalreservoir simulations / L. Jeannin, M. Mainguy, R. Masson, S. Vidal- Gilbert // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. – 2006. – Vol. 31, iss. 10. – P. 1163–1181. DOI: 10.1002/nag.576
- Wheeler M.F., Gai X. Iteratively coupled mixed and Galerkin finite element methods for poro-elasticity // Numerical Methods for Partial Differential Equations. – 2007. – Vol. 23, no. 4. – P. 785–797. DOI: 10.1002/num.20258
- Kim J., Tchelepi H.A., Juanes R. Stability, accuracy, and efficiency of sequential methods for coupled flow and geomechanics. – SPE Journal. – 2011. – Vol. 16. – P. 249–262.
- Bergamaschi L., Ferronato M., Gambolati G. Mixed constraint preconditioners for the iterative solution to FE coupled consolidation equations // Journal of Computational Physics. – 2008. – Vol. 227. – P. 9885–9897. DOI: 10.1016/j.jcp.2008.08.002
- Ferronato M., Gambolati G., Teatini P. Ill-conditioning of finite element poroelasticity equations // International Journal of Solids and Structures. – 2001. – Vol. 38. – P. 5995–6014. DOI: 10.1016/S0020-7683 (00) 00352-8
- Reed M.B. An investigation of numerical errors in the analysis of consolidation by finite elements // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. – 1984. – Vol. 8. – P. 243–257.
- Di Y., Sato T. Computational modelling of large deformation of saturated soils using an ALE finite element method // Annuals of Disas. Prev. Res. Inst., Kyoto University. – 2004. – No. 47 C. – P. 1–11.
- El-Amrani M., Seaid M. Eulerian–Lagrangian time-stepping methods for convection-dominated problems // International Journal of Computer Mathematics. – 2008. – Vol. 85. – P. 421–439. DOI: 10.1080/00207160701210109
- Артамонова Н.Б., Шешенин С.В. Связанная задача консолидации в нелинейной постановке. Теория и метод решения // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 1. – С. 122–138. DOI: 10.33113/mkmk.ras.2020.26.01.122_138.08
- Шешенин С.В., Артамонова Н.Б. Моделирование нелинейной связанной задачи консолидации // Механика компзиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 3. – С. 341–361. DOI: 10.33113/mkmk.ras.2020.26.03.341_361.04
- Артамонова Н.Б. Численная реализация модели Био при больших деформациях: дис. … канд. физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2020. – 157 с.
- Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации. Ч. 2. – М.: Нефть и газ, 1995. – 493 с.
- Donea J., Huerta A. Finite element methods for flow problems. – Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2003. – 358 p.
- Киселев Ф.Б., Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Известия РАН. Механика твердого тела. – 1996. – № 4. – С. 129–135.
- Шешенин С.В., Какушев Э.Р., Артамонова Н.Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. – 2011. – № 5. – С. 66–68.
- Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 349 с.
- Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. – New York: Springer-Verlag, 1991. – 223 p.
- Elman H.C., Silvester D.J., Wathen A.J. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics. Numerical mathematics and scientific computation. – New York: Oxford University Press, 2005. – 400 p.
- Какушев Э.Р., Шешенин С.В., Закалюкина И.М. Итерационные методы решения связанной задачи фильтрации // Вестник МГСУ. – 2012. – № 9. – С. 129–136.
- Какушев Э.Р. Численное решение связанных трехмерных краевых задач упругой пористой среды: дис. … канд. физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2013. – 111 с.
- Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. 24, № 6. – С. 1057–1072.
- Simo J.C., Hughes T.J.R. Computational inelasticity. – New York: Springer-Verlag, 1998. – 392 p.
- Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. – New York: Cambridge University Press, 2008. – 340 p.
- Bonet J., Gil A.J., Wood R.D. Worked examples in nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. – New York: Cambridge University Press, 2012. – 138 p.
- Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. – М.: Мир, 1978. – 307 с.
- Mróz Z., Zienkiewicz O. Uniform formulation of constitutive equations for clays and sands // Mechanics of Engineering Materials / eds. C.S. Desai, R.H. Gallaher. – New York: Wiley, 1984. – P. 415–449.
- Гидрогеология. Часть 1 / А.Я. Гаев [и др.] – Оренбург: ОГУ, 2010. – 75 с.
- Марышев Б.С. О горизонтальной напорной фильтрации смеси через пористую среду с учетом закупорки // Вестник Пермского университета. – Физика. – 2016. – № 3 (34). – С. 12–21. DOI: 10.17072/1994-3598-2016-3-12-21
- Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд / под ред. Н.Н. Иванова. – М.: Транспорт, 1973. – 328 с.
