Моделирование нестационарных процессов в газопроводах

В.И. Панферов, С.В. Панферов

Рассматривается проблема моделирования переходных процессов в газопроводах, вызванных, в частности, резким закрытием регулирующего клапана. Методом Фурье найдены решения ряда задач. Приводятся результаты вычислений для конкретных эксплуатационных ситуаций.

В системах газоснабжения возникают ситуации, когда по какой-либо причине тот или иной регулирующий орган достаточно быстро закрывается. Понятно, что это приводит к возникновению переходного процесса, в водяных тепловых сетях, например, это действие является совсем небезопасным и часто сопровождается таким явлением как гидравлический удар. Поэтому представляет интерес вопрос о том, что конкретно произойдет в этом случае в газопроводе, как, в частности, будет изменяться давление в различных точках по его длине. Кроме того, в аварийных ситуациях возможно появление импульса высокого давления из магистрального газопровода и ряд других событий. Во всех этих случаях в газопроводах возникают нестационарные процессы. В связи с этим в работе рассматривается несколько задач моделирования переходных процессов в системах газоснабжения.

Известно [1-5], что нестационарное течение газа в газопроводе удовлетворительно может быть описано следующей системой уравнений в частных производных:

, 9х 9т 2d (|)

. 9т Эх где Р(х,т), р(х,т), w(x,t) - соответственно давление, плотность и скорость течения газа в точке х по длине газопровода в момент времени т ; X -коэффициент гидравлического трения; d - внутренний диаметр газопровода; с - скорость звука в газе; L- длина рассматриваемого участка газопровода.

Установлено [1 и др.], что для длинных газопроводов и в случае больших потерь на трение математическую модель (1) можно упростить, от-

Э^р ■ w) брасывая член ------. Кроме того, модель мож-

9т но дополнительно линеаризовать, полагая, что W

Л—= £=const, тогда нестационарный процесс в 2d газопроводе будет описываться следующей системой уравнений:

_^——lX₌^,_K.р(^_х^ ■ w(x,t\0 >0;

<                                                                (2)

9P^x,t^   ₂ 5(p(^,t)-w(x,t))

--------= С -----------------, U <  X < L, Г > и.

. 9т               9х

Нетрудно видеть, что переменные р(х,т) , w(x,t) могут быть исключены из рассмотрения и в этом случае давление Р(х,т') должно удовлетво рять следующему уравнению:

9Р(х, т) _ с" 92Р(х,т)

9т к Эх2 ’ поэтому в целом задача, когда считается, что в любом режиме давление начале участка поддерживается автоматическим регулятором на одном и том же уровне Ро, а в конце этого участка регулирующий клапан мгновенно закрывается, формально записывается так:

9Р(х, т) _ с² 9²Р(х,т)

Для приведения задачи к решаемому виду введем переменную 6(х,т)=Р(х,т)-Р0 , тогда, как это нетрудно видеть, задача перепишется следующим образом:

??^=£tf*Kli()<;t();(7)

дт к дх"

в(х,О)=Дх)-Ро,О<х<Ь;(8)

6(0,т)=0, г>0;(9)

^2=0, т>0.(10)

Эх

Решая задачу (7)—(10) методом разделения переменных, найдем, что еДтД^А^етД- —-)sm(^x),(11)

2 L где 4 =-■ f[/(x)-Poising,х)г ц,= ^--(2/-1).

L о

Известно [6], что в стационарном режиме давление по длине газопровода распределяется по параболе, однако, как это достаточно хорошо известно, это распределение на практике удовлетворительно может быть аппроксимировано прямой, поэтому при моделировании полагали, что Р^-Рд-^-х,               (12)

где Д давление в точке х = L в начале процесса.

В этом случае

(P1-P0)sin(^,Z,) .

Под

черкнем, однако, что условия (5) и (12) означают, что рассматривается задача, когда переходный процесс обусловлен только закрытием клапана в конце газопровода, давление в его начале, каким оно было в стационарном режиме, таким оно остается и в последующие моменты времени.

На рис. 1 приведены кривые изменения давления по длине газопровода: кривая 1 - для г = 0, кривая 2 - для г = 1, кривая 3 - для для г = 2, кривая 4 - для г = 3 с, при этом L = 1800м, d = 0,325мм, 2 = 0,013, с = 451м/с, Л: = 0,176с ’, PQ =6 ■ 105 Па, Д =5,7 ■ 105 Па . Значение коэффициента к вычислялось в соответствии с рекомендациями работы [1 и др.].

На рис. 2 приведены кривые изменения давления во времени в конце - кривая 1 и в середине газопровода - кривая 2.

Как видно из рис. 1 и 2, переходный процесс имеет апериодический характер, никаких «выбросов» давления в данном случае не наблюдается.

Теперь рассмотрим следующую задачу: будем полагать, что в момент времени г = 0 закрывается клапан в конце участка, а в его начале давление скачком поднимается до уровня в магистральном газопроводе /^. В этом случае задачу следует перерешать при условии, что Р^тДР^д = const, т>0, начальное распределение давления остается прежним и описывается уравнением (12). Формула для вычисления 4 будет уже такой

4 =-2^№ -P0)sin(M)+—7(^0 -^мг),

А I а в целом давление в любой точке газопровода в любой момент времени будет вычисляться по следующему соотношению:

Р^хД =PW + £4 -ехр(-^-—)-sin(^x).(13)

к

На рис. 3 приведен график изменения давления во времени в конце указанного газопровода - кривая 1 и в его середине - кривая 2 при До^{- =} 4 МПа .

Как видно из рис. 3, переходный процесс также имеет апериодический характер, давление во всех точках газопровода плавно поднимается до уровня Р_ю.

Рис.2. Кривые изменения давления во времени в конце и в середине газопровода

Рис.1. Распределение давления по длине газопровода в различные моменты времени

Инженерное оборудование зданий и сооружений

Рис. 3. Кривые изменения давления во времени в конце и в середине газопровода при Рмг=4 МПа

До сих пор мы полагали, что рассматриваемый газопровод можно отнести к категории длинных газопроводов или же потери на трение достаточно велики. Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда газопровод короткий или потери на трение достаточно малы. В этом случае в исходной системе уравнений (1) инерционный

8(p-WA                       „ член ------ следует оставить, a л-— можно

8т                        2d отбросить [1 и др.], тогда нестационарный процесс в газопроводе будет описываться следующей системой уравнений:

8Р(х,т^ З^х^У^т))

--=----------------, и < х <  L, г > 0;

8Р(х, г) ₂ 3(р(х, т) ■ и<х, г))

— ----— С -------------<х г > и.

. 8т               Эх

Нетрудно видеть, что переменные /?(х,т), w(x,r) также могут быть исключены из рассмот рения и в этом случае давление должно удовлетворять следующему уравнению:

82Р(х,т)_ 2 32Р(х,т)

дт2          8хг поэтому в целом задача, когда считается, что в любом режиме давление начале участка поддерживается автоматическим регулятором на одном и том же уровне Во, а в конце этого участка регулирующий клапан мгновенно закрывается, будет представляться следующей системой уравнений: f^ = ^^2,00;    (15)

5г25х

/’(x,0)=/(x),0

^^ = 0, 0

8т

P(0,t) = Pq =const, т>0;

^^=0,г>0;(19)

8х

Здесь процесс описывается уже волновым уравнением с соответствующими начальными и граничными условиями, причем условие (17) означает, что в начальный момент времени в любой точке по длине газопровода скорость изменения давления во времени равна нулю, что вполне соответствует действительности. Решая задачу (15)—(19) методом Фурье, нашли, что Р(х,г)=Р_о+2уР_х-РУ)^⁸^^

х ^COS^^C----217—"^S™^ /2 • (2z -1) • x/Z).    (20)

На рис. 4 приведены кривые изменения давления в конце - кривая 1 и в середине газопровода -кривая 2 при Ро=6 1О5Па и Р]=5,7 105Па для модели (15)—(19).

Как видно из рис. 4, процесс, как и следовало ожидать, колебательный, причем наибольший «выброс» давления наблюдается в конце газопровода и он равен 6,3 ■ 105 Па .

На рис. 5 показано, как распределяется давление по длине газопровода в различные моменты времени при описании явления волновым уравнением: кривая 1 для г = 0с, кривая 2 для г=5с, кривая 3 для т =8 с .

Рис. 4. Волновой процесс изменения давления во времени в конце и в середине газопровода

Рис. 5. Изменения давления по длине газопровода в волновом процессе

Понятно, что реальный процесс занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными предельными случаями. Поэтому, учитывая полученные результаты, достаточно обоснованно можно заключить, что реальный переходный процесс, обусловленный закрытием клапана в конце газопровода, очевидно, имеет вид затухающих колебаний, наибольшая амплитуда колебаний наблюдается непосредственно у самого клапана, однако увеличение давления не столь большое, как это имеет место при гидравлическом ударе в капельной жидкости.