Моделирование оптимальной траектории движения на безопасной дистанции в кластере космических аппаратов

Кооперативное движение космических аппаратов, включая манёвры сближения, отстыковки и облёта, является одной из ключевых задач современной космической техники. Рост числа группировок малых аппаратов, развитие миссий инспекции, обслуживания и удаления космического мусора повышают требования к автономным методам управления, обеспечивающим безопасность относительного движения при ограниченных ресурсах двигательной установки и системы ориентации [1–4]. В этом контексте построение и анализ оптимальных законов управления, гарантирующих движение на заданной безопасной дистанции, представляет практический интерес и одновременно остаётся нетривиальной задачей с точки зрения теории оптимального управления.

В данной работе рассматривается задача моделирования оптимальной траектории ведомого спутника относительно опорного при выполнении манёвра отстыковки и последующего облёта на безопасной дистанции. Для описания относительного движения используется линеаризованная модель динамики, основанная на уравнениях Хилла – Клохесси – Уилтшира [5; 6], записанных в орбитальной системе координат. Качество управления оценивается с помощью интегрального функционала, характеризующего стремление положения ведомого КА к границе допустимой области. Выбор функционала позволяет естественным образом учитывать требование движения на безопасной дистанции и отражает физический смысл рассматриваемого манёвра.

Анализ постановки показывает, что задача обладает высокой сложностью как с аналитической, так и с численной точки зрения, что связано со структурой функционала и наличием фазовых и управляющих ограничений. В связи с этим в работе применяется метод декомпози- ции, позволяющий разделить исходную задачу на две подзадачи: исследование движения по граничной траектории и решение задачи быстродействия, обеспечивающей выход ведомого спутника на границу допустимой области. Для анализа полученных подзадач используется принцип максимума Понтрягина, а также выполняется численное моделирование и сравнительный анализ стратегий управления.

В первой части работы приводится математическая модель относительного движения и постановка исходной задачи оптимального управления. Далее рассматривается декомпозиция исходной задачи и анализируются подзадачи выхода на границу и движения вдоль граничной траектории. Затем приводятся результаты численного моделирования для круговой и эллиптической траекторий.

Математическая модель и постановка задачи.

Для моделирования относительного движения двух космических аппаратов используется орбитальная система координат O_xyz , связанная с опорным спутником. Начало координат совмещается с центром масс опорного аппарата, ось O_x направляется вдоль его радиус-вектора, ось O_z – по нормали к плоскости орбиты в направлении орбитального момента импульса, а ось O_y дополняет систему до правой тройки. В этой системе рассматривается движение ведомого спутника относительно опорного.

Исходной моделью служит уравнение движения каждого аппарата в инерциальной системе координат в центральном ньютоновском гравитационном поле Земли. Для радиус-вектора r выполняется уравнение:

r

r = -Ц м3’

r

где μ – гравитационный параметр Земли. Вектор относительного положения ведомого спутника определяется как р = r p - r t , где индексы p и t относятся соответственно к ведомому и опорному аппаратам. Переход к орбитальной системе координат приводит к уравнениям относительного движения в неинерциальной системе, в которых учитываются кориолисовы и центробежные члены.

Для получения используемой в работе линейной модели вводятся стандартные допущения, применяемые в задачах сближения и облета на малых дистанциях:

• 1)    орбита опорного спутника считается круговой (с постоянным средним движением n );

• 2)    движение происходит только в центральном поле с ньютоновским потенциалом, возмущения не учитываются;

• 3)    относительное расстояние между спутниками мало по сравнению с радиусом орбиты опорного спутника, поэтому малым параметром является отношение r / r_c , величины более высокого порядка отбрасываются.

При выполнении этих допущений и линеаризации по малым относительным координатам получаем систему Хилла – Клохесси – Уилтшира (ХКУ) для относительного движения в орбитальной системе координат [7]. В работе рассматривается плоский случай, когда движение происходит в орбитальной плоскости O xy , а координата z и соответствующее уравнение не используются. Линеаризованная система имеет вид

X = 3 n ² x + 2 ny + F_x , y = - 2 nX + F_y .

Здесь x(t) и y(t) – относительные координаты ведомого спутника в орбитальной системе координат; n – среднее движение опорного спутника; Fx(t) и Fy(t) – управляющие силы, создаваемые двигательной установкой ведомого аппарата и направленные вдоль осей Ox и Oy. Выбор линейной модели ХКУ позволяет сохранить основные физические эффекты относительного движения на околокруговой орбите (гравитационно-инерционную связь координат и скоростей, кориолисовы члены 2n͘y и –2n͘x), при этом получить компактную систему, удобную для постановки и анализа задач оптимального управления.

Управление задается через модуль силы тяги f ( t ) и угол его направления φ( t ) в плоскости O xy . Тогда компоненты управляющих сил имеют вид

/ F x = f cos Ф , F y = f sin ф .

Предполагается, что модуль тяги ограничен сверху, 0 ≤ f ≤ f _max. Кроме того, учитывается ограничение на скорость изменения направления тяги: вводится управляющее воздействие u ( t ) = ͘φ( t ), для которого выполняется |u| ≤ u _max. Такой выбор параметризации управления соответствует ситуации, когда двигатель обеспечивает ограниченную по модулю тягу, а система ориентации (или система отклонения вектора тяги) имеет ограниченную скорость поворота направления тяги.

Для приведения динамики к стандартной форме задачи оптимального управления вводятся переменные состояния: x1 = x, x2 = ͘x, y1 = y, y2 = ͘y. Тогда система ХКУ записывается как x1=x 2,

• x ₂ = 3 n ² x 1 + 2 ny 2 + f cos ф ,

^{< y} i = У 2 ^,                                                             (4)

• У 2 = - 2 nx 2 + f sin Ф , ф = u .

Начальные условия соответствуют моменту отстыковки, когда ведомый спутник совпадает с опорным по положению и относительной скорости: x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, y 1 (0) = 0, y 2 (0) = 0. Значение φ(0) может быть задано как начальная ориентация направления тяги; далее оно определяется уравнением для ͘φ.

Для обеспечения безопасности полёта вводится допустимая область относительного положения в виде круга радиуса r в плоскости O xy . В работе используется интегральный критерий качества, отражающий стремление системы к границе допустимой области и при этом сохраняющий требование оставаться внутри нее на всем интервале управления. В качестве функционала выбирается интеграл запаса до границы вдоль радиального направления:

J = j 0 y]r ² - x ²( t ) - y ²( t ) dt ^ min.

Метод декомпозиции задачи

Значение подынтегральной функции является неотрицательной величиной внутри допустимой области и обращается в ноль на границе безопасной зоны. Поэтому минимизация функционала J соответствует режиму, при котором ведомый спутник стремится как можно быстрее выйти в окрестность границы безопасной зоны и затем как можно дольше оставаться близко к ней, не покидая допустимую область. Таким образом, задача оптимального управления состоит в выборе функций f ( t ) и u ( t ) на интервале времени [0, Т ], удовлетворяющих ограничениям и обеспечивающих минимум функционала J при выполнении уравнений движения.

Прямая реализация исходной постановки с интегральным функционалом и фазовым ограничением оказывается вычислительно сложной, поэтому далее используется метод декомпозиции и рассматриваются две последовательно решаемые подзадачи. Первый этап заключается в достижении границы допустимой области за минимальное время, т. е. формулируется как задача быстродействия. Второй этап – движение вдоль границы и удержание траектории в её окрестности при заданных ограничениях на управляющие воздействия.

Важно отметить, что при таком разбиении исходная постановка переформулируется: в полученных подзадачах фазовое ограничение исходной задачи не сохраняется. Поэтому траектории, найденные в рамках декомпозиции, в общем случае могут выходить за пределы безопасной зоны, и этот эффект необходимо отдельно контролировать и анализировать по результатам моделирования. В этом смысле стратегия «гладкого подлёта» представляет особый интерес: касательный вход на границу обеспечивает более согласованный переход ко второму этапу и фактически способствует сохранению фазового ограничения, уменьшая потребность в последующей коррекции.

Выход на границу

Рассмотрим задачу быстродействия. Динамика системы и ограничения на управление остаются теми же, что и в исходной задаче, однако вместо интегрального функционала минимизируется конечный момент времени T . Отсутствие подынтегральной функции упрощает применение принципа максимума Понтрягина и приводит к более простой структуре функции Гамильтона [8–10]. Для задачи быстродействия он имеет вид

H ( x,u, у ) = V x 1 x 2 + V x ₂ ( 2 ny 2 + 3 n ² X i + f cos ф ) + V y 1 y 2 + у y 2 ( - 2 nx 2 + f sin ф ) + У ф u - 1.   (6)

Здесь x = ( x ₁, x ₂, y ₁, y ₂, φ) – вектор переменных системы; u – вектор управлений; ψ = (ψ _{x 1}, ψ _{y 1}, ψ _{x 2}, ψ _{y 2}, ψ_φ) – вектор сопряжённых переменных. Для задачи быстродействия при принятой нормировке H включает постоянный член -1. Для оптимального решения при свободном конечном времени должно выполняться условие:

H ( t ) ^ 0, t e [0, T ].                                       (7)

Отклонение H от нуля в численном решении далее используется как один из критериев качества, характеризующий степень выполнения необходимых условий оптимальности.

Рассмотрим законы управления. Согласно принципу максимума Понтрягина [11], оптимальные управления выбираются так, чтобы при фиксированном состоянии и фиксированных сопряжённых переменных максимизировать гамильтониан по допустимым управлениям. Управление угловой скоростью u имеет релейную структуру:

^{U (} t ) = u max Sign ( У ф ⁽ t ) ) ,

где Sign( x ) = 1 при x > 0, Sign( x ) = -1 при x < 0, а при x = 0 допускается любое значение из отрезка [-1, 1].

Введём функцию переключения S f ( t ) = ψ _{x 2}( t )cos φ( t ) + ψ_y2( t ) sin φ( t ). Тогда оптимальное управление по f имеет вид

Л f (t)=

' f max ,   S f ( t ) >  0,

4    Sf (t) < 0, а в случае Sf (t) = 0 управление fˆ(t) может принимать любое значение из отрезка [0, fmax], что соответствует особому режиму при выполнении Sf (t) ≡ 0 на интервале времени.

Движение по границе

На втором этапе, после достижения целевой траектории, задача сводится к удержанию на ней. Для описания положения на окружности введём параметр θ( t ):

x 1 ( t ) = r cos 0 ( t ),       y 1 ( t ) = r sin 0 ( t ).

Тогда требуемый закон управления, обеспечивающий удержание на траектории, можно записать в виде

,                          f п, cos 0( t) > 0, f (t) = 3 n 2 r\cos 0( t )\,    Ф( t) = P           /

[ 0, cos 0 ( t ) <  0.

Здесь φ – угол направления тяги, а f – модуль управляющего ускорения, необходимого для поддержания движения вдоль границы.

Переключения угла в окрестности верхней и нижней точек окружности θ = π/2 и θ = 3π/2 допустимы, поскольку в этих точках cosθ ≈ 0, а значит, требуемая тяга f ( t ) практически выключена. Дадим оценку влияния разворота на динамику системы. Пусть разворот на угол π выполняется с максимальной угловой скоростью, тогда время переключения

п

.

switch umax

На интервале переключения θ(t) проходит окрестность [π/2 – ε, π/2 + ε], где cosθ < ε, поэтому среднее значение тяги можно оценить как f - 3n2r2•                                       (13)

Изменение угловой скорости движения на таком коротком участке можно оценить как

A0 - -f -    .                          (14)

ru u max max

Поскольку вблизи границы θ ' имеет порядок 2 n , то ε ≈ |2 n |Δ T switch /2 = | n |π/ u max , и тогда

A0-

3 п \ n \³

² u max

Для численных экспериментов в значениях были взяты: n = 0,0011 рад/сек и u _max = 0,2 рад/сек. Получаем Δθ' ~ 10^–7 рад/сек, что пренебрежимо мало по сравнению с |͘͘͘θ'| ~ 10^–3 рад/сек. Следовательно, разворот двигателя вблизи верхней/нижней точки окружности можно считать практически мгновенным и не приводящим к заметному сходу с траектории.

Численное моделирование траектории

Расчёты проводились для двух типов целевых траекторий: круговой и эллиптической, задаваемой параметрами перицентра и апоцентра ( r_p , r_a ). В обоих случаях использовалась двухэтапная схема, согласованная с принятой декомпозицией задачи. На первом этапе решалась задача выхода на границу (в постановке быстродействия) с учётом ограничений на управление, а на втором этапе выполнялось достраивание полной траектории за счёт моделирования движения вдоль границы с удержанием на ней. Для решения первой стадии применялись два подхода: непрямой метод (метод стрельбы), основанный на принципе максимума Понтрягина и сведении к краевой задаче, и прямой метод, реализованный в библиотеке CasADi [12], сводящий задачу к нелинейной оптимизации после дискретизации по времени. Достраивание полной траектории выполнялось путём интегрирования исходной системы ОДУ при замкнутом законе управления движения по границе и с учётом ограничений на тягу и скорость поворота направления тяги.

Для численной реализации фиксировались константы и параметры модели n , T , u max , f max , определяющие как масштаб динамики, так и достижимый класс траекторий при заданных ограничениях на управление. Среднее движение n выбиралось исходя из параметров опорной круговой орбиты и вычислялось по формуле

n Rr3'

ц = 3,986 x 10¹⁴ м³ /сек²,

где μ – гравитационный параметр Земли; R – радиус опорной орбиты. Рассматривалась орбита высотой 500 км над поверхностью Земли:

R = R E + 500 м = 6,371 x 10⁶ + 5 x 10⁵ = 6,871 x 10⁶м,

откуда получаем оценку

3,986 x 10 14

\ (6,871 x 10⁶)³

« 0,0011 рад/сек.

Ограничение на угловую скорость изменения направления тяги задаётся через управление u = φ ' рад/сек. Для малых двигательных систем типичные значения порядка ±10° = 0,17 рад, поэтому в расчётах принималось

u max = ^0,2 рад/сек.

Ограничение на модуль ускорения выбиралось в диапазоне, характерном для малых космических аппаратов. В качестве базового значения использовалось

f   = 0,01м/сек².

max

Круговая траектория

Численные расчёты для круговой траектории на первом этапе выполнялись с использованием метода стрельбы – численного алгоритма для решения краевых задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений [13–15]. Решалась система, включающая уравнения Хилла – Клохесси – Уилтшира и уравнения для сопряжённых переменных, полученных из системы необходимых условий. Таким образом, строились экстремали – траектории, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности и являющиеся кандидатами на оптимальное решение. Были рассмотрены два варианта управления: 1) управление по методу Понтрягина (этот подход предполагает использование закона управления, полученного из максимума Понтрягина); 2) управление с максимальной тягой (в этом случае тяга всегда поддерживается максимальной). В численной реализации обоих подходов использовались сглаженные законы управления, что повышало устойчивость интегрирования и улучшало сходимость алгоритмов. Расчёты выполнялись для радиусов целевой окружности r = 50, 100, 500 и 1000 м. Все графики приводятся для случая r = 100 м. Ниже представлены фазовые траектории для первого этапа (рис. 1).

Рис. 1. Управление по методу Понтрягина (слева) и управление с постоянной тягой (справа)

Fig. 1. Control obtained by Pontryagin’s method (left) and control with constant thrust (right)

Помимо метода стрельбы, основанного на анализе системы необходимых условий и принципе максимума Понтрягина, использовались методы оптимизации, в которых задача оптимального управления после дискретизации по времени сводится к задаче нелинейного программирования. Для реализации прямого подхода применялась библиотека CasADi.

Рис. 2. Траектория, полученная с использованием CasADi: стандартная траектория (слева) и гладкий подлет (справа)

Fig. 2. Trajectory obtained using CasADi: standard trajectory (left) and smooth approach (right )

Также с помощью прямых методов была построена траектория со стратегией «гладкого подлёта». В этом варианте дополнительно задаётся условие на конечное состояние: вектор относительной скорости должен быть направлен по касательной к целевой окружности. Такое требование обычно увеличивает время выхода на границу на первом этапе и, как следствие, может приводить к росту значения исходного функционала. Однако на втором этапе – при движении вдоль целевой траектории – ожидается почти нулевое значение функционала, поскольку необходимость существенной коррекции траектории становится минимальной. Соответствующие траектории, полученные в CasADi, приведены на рис. 2.

Геометрический смысл исходного функционала связан с удалённостью траектории от целевой окружности. Для сравнения численных алгоритмов и стратегий управления был построен график зависимости запаса расстояния до целевой окружности от времени (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость расстояния до целевой окружности от времени

Fig. 3. Distance to the target circle as a function of time

Можно заметить, что наибольшее время выхода к границе демонстрирует метод стрельбы при законе управления, взятом из принципа максимума Понтрягина: для R = 100 м получено

T = 525,28 сек. На начальном участке траектории расстояние до границы безопасной зоны практически не меняется, т. е. аппарат длительное время остаётся вблизи исходного состояния. Это объясняется тем, что начальная точка (нулевые относительные координаты и скорости) является равновесием неуправляемой системы Хилла – Клохесси – Уилтшера: при f ( t ) = 0 и тех же начальных условиях решение тождественно остаётся в этой точке. Следовательно, для выхода из равновесия необходимо включение тяги.

На рис. 4 приведены графики управлений, полученные методом стрельбы. Видно, что на значительном интервале времени модуль тяги остаётся нулевым, и именно этот «запаздывающий» участок по тяге является ключевой причиной большого отставания чистого варианта метода стрельбы от остальных подходов по времени достижения границы.

Рис. 4. Управления, полученные методом стрельбы (ПМП) на первом этапе при R=100 м

Fig. 4. Controls obtained by the shooting method (PMP) at the first stage for R = 100 m

Если на найденной экстремали возникает протяжённый участок с почти нулевой тягой, то время выхода на окружность существенно увеличивается. Именно эта особенность в сочетании с чувствительностью непрямого метода к выбору начальных сопряжённых переменных мотивировала рассмотреть альтернативную стратегию с постоянно включённой тягой. Для неё время выхода на границу составило T = 210,00 сек, т. е. примерно в 2,5 раза меньше по сравнению с решением стрельбы по Понтрягину.

Рассмотрим теперь решения, полученные методами прямой оптимизации в CasADi. В начале движения обе постановки задачи – базовая и со стратегией «гладкого подлёта» – демонстрируют близкую динамику и сопоставимую скорость уменьшения зазора. Однако на заключительном участке траектория с «гладким подлётом» подходит к окружности более плавно: дополнительное конечное условие (касательное направление вектора скорости к целевой траектории) снижает необходимость последующей коррекции на втором этапе. Как и ожидалось, это приводит к увеличению времени на первом этапе (для R = 100 м: T = 204,38 сек против T = 141,50 сек для базовой постановки), однако рост времени умеренный и может компенсироваться выигрышем на втором этапе при движении вдоль границы (за счёт меньших корректирующих воздействий, например, ПД-регулятором).

Для сопоставления со сценарием прямой оптимизации далее приведём управления, найденные в CasADi, для базовой постановки и для варианта с «гладким подлётом» (рис. 5). В обоих случаях тяга практически полностью включена, что подтверждает наш предыдущий эксперимент, где было показано, что использование управления с постоянной тягой может быть эффективным методом для минимизации времени выхода на границу.

Также на графике управления можно заметить, что в отличие от метода стрельбы, в котором вращение двигателя происходит с максимальной скоростью, для решения в CasADi такие резкие изменения отсутствуют. Это подтверждается более плавным вращением двигателя, где его направление изменяется постепенно, без резких скачков. Особенно это заметно в первом случае, где направление тяги плавно изменяется в течение времени. Это поведение связано с тем, что в процессе оптимизации сопряжённая переменная для угла направления тяги обнуляется, что является частным случаем, который позволяет избежать чрезмерных скачков угла и минимизировать переключения тяги.

Рис. 5. Управления, полученные в CasADi на первом этапе при R = 100 м: базовая постановка (слева) и стратегия «гладкого подлёта» (справа)

Fig. 5. Controls obtained in CasADi at the first stage for R = 100 m: baseline formulation (left) and the “smooth approach” strategy (right)

Посмотрим на результаты численного моделирования для целевых окружностей различных радиусов. В табл. 1 представлены ключевые показатели первого этапа (выхода на границу) для различных методов: время T , необходимое для достижения границы, а также среднеквадратичное отклонение гамильтониана от нуля.

Из табл. 1 видно, что наилучшее время выхода на границу для всех радиусов обеспечивает прямая постановка в CasADi без дополнительных конечных условий, тогда как вариант с «гладким подлётом» закономерно даёт несколько большее время вследствие более жёстких требований к конечному состоянию. Стратегия с постоянно включённой тягой демонстрирует близкие по порядку значения времени и, что важно, подтверждает практическую целесообразность режима «максимальной тяги» как рабочей эвристики для выхода из равновесия ХКУ и ускоренного достижения границы.

Результаты первого этапа для круговой траектории

Таблица 1

Метод / R	50 м	100 м	500 м	1000 м
Стрельба (ПМП)	T = 356,92 H RMS = 5,9794	T = 525,28 H RMS = 4,1913	T = 9698,04 H RMS = 3476,23	T = 9698,81 H RMS = 4783,64
Стрельба, f = f max	T = 148,83 H RMS = 0,0881	T = 210,00 H RMS = 0,1873	T = 432,14 H RMS = 1,3094	T = 622,22 H RMS = 6,0624
CasADi	T = 100,15 H RMS = 0,3969	T = 141,50 H RMS = 0,7804	T=313,95 H RMS = 3,2968	T=439,91 H RMS = 6,2182
CasADi (гладкий подлёт)	T = 146,60 H RMS = 1,4979	T = 204,38 H RMS = 2,7228	T = 445,15, H RMS = 15,3737	T = 619,95 H RMS = 37,2526

Решение, полученное с помощью метода стрельбы с использованием закона управления по Понтрягину, напротив, приводит к существенно большему времени (а для больших радиусов – к деградации результата), что согласуется с наблюдаемым протяжённым участком малой тяги и высокой чувствительностью решения к выбору начальных сопряжённых переменных. Также следует отметить, что отклонение гамильтониана от нуля значительно больше именно для этого метода, что дополнительно подтверждает предположение о том, что для рассматриваемой задачи оптимальная структура управления стремится к режиму с постоянно включённой тягой.

Для интерпретации результатов важно учитывать не только время достижения границы, но и то, с каким состоянием система «приходит» к целевой окружности. Поэтому далее рассмотрим полные траектории, полученныеми методами оптимизации и сравним базовый вариант и стратегию «гладкого подлёта». На рис. 6 приведено сравнение фазовых траекторий в плоскости ( x , y ), позволяющее наглядно оценить характер входа на окружность и последующую согласованность движения.

Рис. 6. Полные фазовые траектории: стандартная (слева) и гладкий подлет (справа)

Fig. 6. Full phase trajectories: standard trajectory (left) and smooth approach (right)

Видно, что стратегия «гладкого подлёта» обеспечивает более согласованный вход на целевую окружность: к моменту достижения границы вектор скорости оказывается близок к касательному направлению, поэтому переход к движению вдоль границы может осуществляться с минимальными корректирующими воздействиями на втором этапе.

В базовой постановке система стремится как можно быстрее достичь границы, вследствие чего к моменту пересечения окружности формируется сравнительно большая модульная скорость и заметная радиальная составляющая. Это приводит к необходимости дополнительной «корректирующей петли» вблизи границы для погашения избыточной скорости и согласования движения с граничной траекторией. Такая коррекция увеличивает суммарные затраты по исходному функционалу и усложняет последующее удержание на границе.

Теперь обратимся к результатам, полученным для различных радиусов целевой окружности: они приведены в табл. 2. Сопоставление результатов по полной траектории подтверждает выводы по первому этапу. Прямая постановка в CasADi обеспечивает устойчивое получение траекторий для всех радиусов и, как правило, даёт меньшие значения функционала J по сравнению с непрямым методом стрельбы, особенно при больших R, где чувствительность к подбору начальных сопряжённых переменных и наличие протяжённых участков с малой тягой приводят к заметному росту J. При этом эвристика f = fmax существенно улучшает результат стрель- бы и по порядку приближается к прямым методам, что согласуется с наблюдаемой структурой оптимального решения: на выходе к границе тяга часто оказывается близкой к максимальной.

Результаты для различных методов оптимизации

Таблица 2

Метод / R	50 м	100 м	500 м	1000 м
Стрельба (ПМП)	J = 15198,2544 H RMS = 697	J = 45281,1644 H RMS = 154	J = 4161573,7114 H RMS = 5506	J = 8226877,3510 H RMS = 7414
Стрельба, f = f max	J = 6290,8716 H RMS = 288	J = 17711,1851 H RMS = 238	J = 185971,3978 H RMS = 618	J = 532970,5497 H RMS = 767
CasADi	J = 4378,4183 H RMS = 2701	J = 12373,7783 H RMS = 3803	J = 137460,6899 H RMS = 8231	J = 385843,4616 H RMS = 11130
CasADi (гладкий подлёт)	J = 5251,7095 HRMS = 467	J = 14701,8696 HRMS = 615	J = 161547,3657 H RMS = 1792	J = 452666,5802 H RMS = 2965

Стратегия «гладкого подлёта» закономерно увеличивает время и J на первом этапе из-за усиленных конечных условий, однако обеспечивает более согласованный вход на границу и снижает потребность в последующей коррекции на втором этапе. Важно, что данная стратегия сохраняет фазовое ограничение, которое содержал в себе исходный функционал, т. е. мы на протяжении всего времени находимся внутри безопасной зоны, что является важным преимуществом относительно других методов. Далее рассмотрим результаты для эллиптической граничной траектории и сопоставим их с круговым случаем.

Эллиптическая траектория

Теперь рассмотрим случай эллиптической траектории, задаваемой параметрами перицентра и апоцентра. По сравнению с окружностью, эллиптическая граница имеет переменную кривизну и неоднородные требования к удерживающей тяге вдоль траектории, что может приводить к изменению структуры управления и иной чувствительности численных методов. Ниже приведены результаты моделирования для эллиптической границы и их сопоставление с круговым случаем. Для наглядности на рисунках показан пример для орбиты с параметрами (100, 500).

Рассмотрим полные фазовые траектории ( x , y ), полученные с помощью методов прямой оптимизации, и сравним базовый вариант и стратегию «гладкого подлёта» (рис. 7).

Рис. 7. Фазовые траектории для ra = 100, rp = 500: стандартная (слева) и гладкий подлет (справа)

Fig. 7. Phase trajectories for ra = 100 and rp = 500: standard trajectory (left) and smooth approach (right)

Можно отметить, что в отличие от кругового случая выравнивание движения относительно эллиптической целевой границы происходит иначе. Если для окружности стабилизация обеспечивалась в основном «корректирующей петлёй», то в данном случае наблюдается режим затухающих колебаний вокруг целевой кривой: ведомый аппарат периодически пересекает окрестность границы, а амплитуда отклонений по мере движения уменьшается. Такое поведение связано с переменной кривизной эллипса и неоднородностью требуемой удерживающей тяги, из-за чего коррекция распределяется вдоль траектории и проявляется не как отдельный манёвр, а как постепенное «приглушение» поперечных отклонений до устойчивого следования по границе.

Для количественной оценки качества приближения далее рассмотрим «зазор» до эллиптической границы. График Δ r ( t ) (рис. 8) позволяет сопоставить скорость выхода на границу на первом этапе и характер поведения траектории вблизи целевой кривой. Как и в круговом случае, в варианте с «гладким подлётом» завершение сближения происходит более плавно: зазор стремится к нулю без резких перегибов, что согласуется с дополнительным конечным условием на касательное направление скорости и уменьшает потребность в коррекции на втором этапе.

Рис. 8. Зависимость расстояния до целевой траектории от времени

Fig. 8. Distance to the target trajectory as a function of time

На рис. 9 показаны управления, полученные в CasADi: модуль тяги f ( t ) и угол направления φ( t ). В обоих вариантах f ( t ) большую часть времени близок к максимуму, что согласуется с выводами по круговой границе и подтверждает практическую оправданность стратегии с высокой тягой на этапе выхода к границе.

Результаты для полной траектории при различных параметрах орбиты приведены в табл. 3. Из них видно, что для эллиптической границы стратегия «гладкого подлёта» даёт сопоставимые значения функционала J с базовой постановкой, при этом улучшая согласование входа на границу и тем самым снижая потребность в корректирующих воздействиях на участке движения вдоль эллипса. Наблюдение о близости тяги к максимальной на этапе сближения сохраняется и для эллиптического случая, что согласуется с выводами для окружности. Рост сложности геометрии границы (переменная кривизна и неоднородные требования к удержанию) отражается в изменении показателя H RMS , поэтому при сопоставлении методов ключевым остаётся комплексный критерий: форма входа на границу и величина функционала J по полной траектории.

Рис. 9. Управления, полученные в CasADi на первом этапе для ra = 100, rp = 500: базовая постановка (слева) и стратегия «гладкого подлёта» (справа)

Fig. 9. Controls obtained in CasADi at the first stage for ra = 100 and rp = 500: baseline formulation (left) and the “smooth approach” strategy (right)

Таблица 3

Результаты для различных методов оптимизации

Параметры орбиты, м	CasADi (базовая)	CasADi (гладкий подлёт)
(50, 100)	J = 93,69, H RMS = 8912,1104	J = 91,72, H RMS = 1668,7205
(50, 500)	J = 68,22, H RMS = 3198,9844	J = 52,68, H RMS = 3027,9954
(100, 500)	J = 113,47, H RMS = 4226,3390	J = 97,91, H RMS = 3775,8539
(100, 1000)	J = 108,02, H RMS = 6447,7756	J = 74,39, H RMS = 6736,8144
(500, 1000)	J = 342,02, H RMS = 9660,8593	J = 292,48, H RMS = 6474,9973
(500, 5000)	J = 353,17, H RMS = 14291,0808	J = 167,83, H RMS = 38524,5944

Заключение

Проведённое исследование для круговой и эллиптической целевых траекторий показало, что в рассматриваемой постановке наиболее устойчивые и воспроизводимые решения дают методы прямой оптимизации. Реализация в CasADi позволяет стабильно получать траектории при различных параметрах, естественным образом учитывать фазовые ограничения и вводить дополнительные требования к конечному состоянию без существенной потери вычислительной устойчивости. Важно, однако, что ценность прямых методов в данной работе заключается не только в получении численного решения, но и в том, что эти решения дают опору для дальнейшего аналитического исследования: по структуре найденных управлений, характеру насыщения по ограничениям и поведению траекторий можно выделять типичные режимы и формулировать гипотезы о структуре оптимального управления, которые затем могут быть проверены средствами непрямых методов.

Сопоставление режимов управления на этапе выхода к границе показывает, что во многих случаях численно оптимальное решение использует тягу, близкую к максимальной, на значительной части интервала, что согласуется с физическим смыслом задачи быстродействия и указывает на доминирование режима насыщения по f max . Тем самым результаты прямой оптимизации помогают уточнить ожидаемую структуру управления и служат ориентиром при построении начальных приближений и выборе параметризации в непрямых схемах. Непрямой подход, напротив, оказался существенно более чувствительным к выбору начальных сопряжённых переменных: в ряде режимов возникает протяжённый участок с малой тягой, что приводит к заметному росту времени выхода на границу и, как следствие, к ухудшению значения исходного функционала. Это указывает на необходимость дальнейшей проработки аналитических условий возникновения таких особых участков, а также на необходимость разработки более надёжных процедур инициализации и продолжения для метода стрельбы.

Отдельного внимания заслуживает стратегия «гладкого подлёта», обеспечивающая вход на границу по касательной. С одной стороны, введение дополнительных терминальных условий закономерно повышает затраты на первом этапе, поскольку сужает множество допустимых траекторий. С другой стороны, численные эксперименты показывают, что итоговое значение функционала при таком подходе остаётся сопоставимым с базовым вариантом, а переход к движению вдоль граничной траектории получается более согласованным. Это снижает потребность в последующей коррекции на втором этапе и способствует выполнению фазового ограничения. При этом именно «гладкий подлёт» оказывается наиболее трудным для непрямых методов из-за повышенной чувствительности краевой задачи и усложнения терминальных условий, что подчёркивает актуальность дальнейших исследований.

Результаты работы следует рассматривать как шаг к построению более полной аналитической картины двухэтапного манёвра «выход на границу + движение вдоль границы». Прямые методы оптимизации дают надёжную численную базу и позволяют выявить характерные режимы управления, тогда как дальнейшее развитие непрямых методов и аналитического описания структуры оптимального решения требует учёта выявленной чувствительности, разработки устойчивых схем инициализации и более глубокого анализа участков с малой тягой. Именно сочетание этих подходов представляется наиболее перспективным направлением дальнейших исследований.