Моделирование процесса распылительной сушки суспензии протеинового зеленого концентрата (ПЗК)

Главная цель развития кормопроизводства — увеличение объемов и улучшение качества кормов, в том числе и концентрированных.

В настоящее время отмечается значительный недостаток отечественного кормового белка. Для решения этой проблемы разработана ресурсосберегающая технология производства протеинового зелёного концентрата (ПЗК) из листостебельной массы высокобелковых растений [1, 2].

Наиболее энергоемким процессом получения ПЗК является распылительная сушка, от режимов которой в значительной степени зависят себестоимости и качества готового концентрата. Поиск оптимальных режимов процесса распылительной сушки в области допустимых технологических свойств высушиваемого продукта при минимальных энергетических затратах, как правило, достигается методами математического моделирования с последующей экспериментальной проверкой полученных результатов [3].

Известные модели основаны на углублении фронта испарения влаги в капле, с постепенной потерей влаги в процессе сушки [4, 5]. Однако они не учитывают особенности процесса распылительной сушки в периодах постоянной и убывающей скорости сушки с учетом специфических свойств ПЗК. При этом не детализируется алгоритм их решения, что не дает основания для их использования в систематических расчетах при поиске оптимальных режимов.

Цель работы – сформулировать задачи моделирования процесса распылительной сушки ПЗК в период постоянной и убывающей скорости сушки.

Период постоянной скорости сушки.

В периоде постоянной скорости сушки тепло передается конвекцией от окружающего воздуха к поверхности капли и вызывает испарение свободной воды пока она не будет полностью удалена (рисунок 1). Водяной пар с поверхности капли удаляется путем конвекции.

"      Поток блооо

—-/ \-, Поток теплоты

Рисунок 1. Сушка капли в период постоянной скорости

Моделирование процесса сушки в первом периоде проводилось с учетом следующих упрощающих допущений:

• 1.    Капли имеют сферическую форму.

• 2.    Кондукция является механизмом передачи тепла внутри капли.

• 3.    Внутренний радиус капли постоянен.

• 4.    Удаление свободной воды на поверхности задается уменьшением внешнего радиуса капли.

• 5.    Влажность, температура и скорость воздуха, окружающего каплю, постоянны.

• 6.    Внутренней циркуляцией воды и капиллярными эффектами пренебрегается.

• 7.    Отсутствует физическое или химическое взаимодействие между твердыми частицами и влагой.

• 8.    Температура капли изменяется только в радиальном направлении.

• 9.    На границе фронта испарения устанавливается состояние теплового и концентрационного равновесия.

• 10.    Твердые частицы и влага вокруг них находятся в тепловом равновесии.

• 11.    Изменение теплофизических характеристик определены методом Волькен-штейна [6] и обработаны в программе «STATISTICA 10» в интервале значений влажности ПЗК 10-75 % и температуры 273-373 K:

а х 10 8 = -7,15 х 10 ^-7 ? ³ - 9,54 х 10 ^-6 Т²РК + 1,14 х 10 —6П У ² - 2,00 х 10 ^-5РК³ - 3,66 х 10 ^-4 ? ²

+ 4,88 х 10 ^-3 ГК - 9,76 х 10 ^-4 К ² + 0,16 Г + 0,75К - 6

Л = -1,18 х ^10-6 Г ³ - 1,17 х 10 ^-5 Г ² К ² - 9,18 х 10 ^-7 ТК ² - 4,77 х 10 ^-7 К ³ + 7,71 х 10 ^-4 ? ² + 6,81 х 10 ^-3 ГК + 2,53 х 10 ^-3 К ² - 9,67 х 10 ^-2 Г - 0,95К - 11,13

с = -1,64 х ^10-10 Г ³ - 1,64 х 10 ^-9 Г ² К ² - 1,41 х 10 ^-9 ТК ² - 1,24 х 10 ^-10 К ³ + 1,15 х 10 ^-7 ? ² + 9,91 х 10 ^-7 ГК + 3,43 х 10 ^-7 К ² - 1,41 х 10 ^-5 Г - 1,31К - 1,53 х 10 ^-3

Принимая элемент дифференциального объема в области связанной влаги и учитывая тепловой баланс, получим уравнение переноса теплоты в виде:

V 0 < г < RBH, t > 0

д

Qt [£Р в с в^Гос ^{+ (1}    ^)Р т^ст ? св ]

= -Л^-(г29св),

Г2 дг

где £ - объемная доля воды в области связанной влаги. Индексы в, т и св представляют свободную влагу, твердые вещества и область связанной влаги, соответственно.

Используя закон Фурье, уравнение (1) принимает вид:

д я. [£РвсвТсв + (1   ^)РтстТсв]

■1 д_ь     дТ,_;               ⁽²⁾

г² дг V ^{Л св} дг )'

где Лсв - коэффициент теплопроводности, Вт/м-K, определяемый как:

где £в - удельная теплота парообразования, Дж/кг; «са - коэффициент конвективной теплопередачи, Вт/м2-К; Тса - температура сушильного агента, K.

Уравнение (8) получено путем использования теплового баланса на поверхности испарения Rвнеш(t) между теплом, передаваемым конвективно к поверхности капли и теплом, переданном кондуктивно из глубины капли для испарения некоторой части свободной влаги. После преобразования уравнения (8) получаем:

Ясв — £Лв + (1 — £)Ят

Уравнение (2) принимает окончательную форму:

где к

дТ д2Т 2дТ к1-^в —-Нв + --Гв,    (4)

дt дг2 г дг

_ £р_вс_в + ⁽ 1-£ ⁾ Р т с т

^{R внеш}

^{Ь в} дt ^{— к з (Т в} где к₃ — ^ са ; к₄ — — .

³     Р в     ⁴     Р в

^{— Т}са ) ^{+ к}4" _д 7 .      ⁽⁹⁾

1 —

Л св

.

Для решения уравнения (4) приняты:

- начальное условие:

V 0<гвн,t —0 ^ Тсв — Т(0), где Т(0) начальная температура капли.

- два граничных условия в центре и на внутреннем радиусе капли:

V г — 0. t > 0 ^—Я₍._в—— 0, ^св dr

V г —R вн ,t>0 ^ Т св —Т в

Принимая элемент дифференциального объема в области свободной влаги и учитывая тепловой баланс, уравнение теплопередачи для области свободной влаги представлено следующим образом:

Отслеживание движения границы R_внеш(t) между свободной влагой и воздухом осуществляется уравнением баланса массы, в котором изменение массы капли равно конвективному потоку массы паров воды на границе фронта испарения: V г — R вн , t > 0

Р в ^^ неш ——6 см М в (С п

—

С са ),

где (З_см - конвективный коэффициент массопе-реноса, м/с; М _в - молярная масса воды, кг/моль; С_п и С_са - концентрации паров воды на поверхности капли и сушильного агента соответственно, моль/м³.

Сп в уравнении (10) определяется как:

₌ Р^п(Т т ) ^п    R cа Т т '

где:

V R вн < г < R, д _г

внеш^(t) , ^{t 0} ^

д^. ^[рв^Св^Тв^]

1»,,

7 2 дГ ^Сг ’ в )'

дТв

’ в ^{— —Я}в" д7"

С учетом (5) и (6) уравнение переноса тепла для области свободной влаги получено в виде:

дТ в_ д ² Т в  2дТ в

2 dt дг2 г дг'

где к 2

__ Р в ^ в

^:        Лв .

С начальным условием:

V R вн < Г < R внеш (t), t — 0 ^Т в — Т(0) и двумя граничными условиями:

V г R_:hJ > 0  ^  / , _: д^;

V г — R внеш⁽ t ⁾ ,t > 0 ^

дь ^Яв dr ,

Л в Р в^Р — « са СТ в —

тЫ + Яв^.    (8)

где Р^п - давление пара при температуре поверхности, Па; R_cа - универсальная газовая постоянная, Дж/моль-K.

Уравнение (10) приведено к виду:

^Rвнеш дt где к₅ — ^.

⁵     P w

^—к5^(Сп ^{— С}са ).      ⁽¹²⁾

С начальным условием:

V Г — Rвнеш(t),t — 0^Rвнеш(t) — R(0), где R(0) - начальное значение внешнего радиуса.

Введем безразмерную величину:

г

^f R вн ■

Тогда математическая постановка задачи моделирования в период постоянной скорости сушки примет вид:

V 0 < f < ^н. t > 0 ^

где к'

дТ ев_ д²Т ев   2дТ ев

¹ dt df ^{2 +} r df, _ й2 (0)(£Р в С в + (1-£)Р т С т )

1 —

Л ев

.

Начальные и граничные условия уравнения (14):

V 0

V    f— 0,(>0 ^ -Лев^в— 0 V    f — fвн,t>0 ^ Тев — Тв V    fвн 0 ^

к' дТв = 2 dt где к' 2 — д2(°)РвСв

^Лв

Начальные и уравнения (15) являются:

д2Тв  2дТв aF+f "dr

граничные условия

V fвн

V    f — fвн,t>0 ^ -Лев^ — -Лвд| V    f — fвнеш(t),t > 0 ^ _ .      дТв - Теа) + к 4 ^, д^внеш

• ^ьв д^^{— к} 3^(Тв

где к'з—^; к' 4 — ^(0)рв

Лв Я²(0)Рв^.

V f — fвнеш(t),t>0 ^

д^'внеш

dt где к'5 —      .

• ⁵   Я(0)Рв

  ^-к‘5⁽Сп ^—Сеа),

  
  
  
  

Начальное условие уравнения (17):

v f — fвнеш(t), t — 0 ^ fвнеш(t) — 1

Для расчета коэффициентов конвективного тепло- и массообмена используется эмпирическая корреляция с коэффициентом 0,65 [7].

Nu — 2 + 0,65Re⁰-⁵Pr⁰³³; (18)

Sh — 2 + 0,65Re0.55c0.33, (19) где Re — ^^а; Pr — ^^ Sc — ^-; Sh — —; Nu — ^y/—, Ц.а - скорость сушильного

Dn Леа агента, м/с; ^еа - кинематическая вязкость, м2/с; сеа - удельная теплоемкость, Дж/кг-K; реа - плотность сушильного агента, кг/м3; с1н - наружный диаметр капли, м; Dn - диффузия водяного пара в воздухе, м2/с. В уравнениях, индексы са, н и п представляют сушильный агент, частицу и водяной пар, соответственно.

Период постоянной скорости сушки заканчивается, когда вся свободная влага с поверхности капли будет удалена т.е. Rвнеш достигает Rвн (рисунок 1).

Период убывающей скорости сушки.

В период убывающей скорости сушки, предполагается существование углубления фронта испарения влаги, который делит каплю на область связанной влаги и область твердых частиц (рисунок 2).

Рисунок 2. Капля в период убывающей скорости сушки

Задача моделирования решалась при следующих упрощающих допущениях:

• 1.    Тепло передается конвективно к поверхности капли.

• 2.    Удаление влаги в порах капли описывается уменьшением радиуса области связанной влаги.

• 3.    Радиус капли R_вн не меняется во время сушки.

• 4.    Растворением твердых веществ в воде пренебрегаем.

• 5.    Поры области связанной влаги заполнены воздухом, водяной пар диффундирует через эти поры.

• 6.    Физические и транспортные свойства водяного пара рассчитываются при средней температуре, определенной как среднее арифметическое от температуры поверхности области связанной влаги и температуры поверхности капли.

• 7.    Закон диффузии Фика с эффективным коэффициентом диффузии описывает диффузию паров воды через поры области связанной влаги.

• 8.    Морфология капли не изменяется во время сушки.

Принимая элемент дифференциального объема в области твердых веществ и учитывая тепловой баланс, получим уравнение переноса теплоты в виде:

V 0 < r < s(t), t > 0 ^

д dt [^рв^вТсв + (1   ^)рт^тТсв]

= -А^^Рсв), г² дг

_m дТ .   1 д / 2дТво\ !

m2 дt   г2 дг V дг

♦^(г^). г2дг       дг

где те же индексы и обозначения используются для моделирования периода постоянной скорости сушки, также используется для модельных уравнений, выведенных для период убывающей скорости сушки. Как и при получении уравнения (4) , после преобразования уравнения (20) получим окончательный вид уравнения теплопередачи для области связанной влаги:

где m2 =

^{(1 £)р}т^т

--------; ^тз

Лво

РвоМвСп

Лво ■

_ = д2Тво   2     дСп дТво дt    дг2    г m3 дг / дt

дТво

+ (2тз ₊ аС„ + тз г    дг

д² Сп дг²

■V

] ¹ во ■

где т 1 =

дТсв   д2Тсв  2дТсв св        св        св m1 дt    дг2   г дг '

£РвСв + (1-£)РтС.

Лев

■ т

,

• -    начальное условие:

V 0 < г< s(t), t = 0 ^ Т_св = T(t),

• -    граничные условия:

v г = 0, t > о ^ -л^д^ 0,

V г = s(t), t > 0 ^ Тсв = Тз₀, где индекс во представляет собой высушенную область и T(t) это температура капель в конце периода постоянной скорости.

Уравнение теплопереноса высушенной части капли теплового балансов основано на элементе дифференциальной объема, занятого в области связанной влаги:

V s(t) < г < R_bh, t > 0 ^

д г                  ,

с начальным условием:

V s(t)<г<Двн,t = 0^Tво = Tт и с граничными условиями:

V г = s(t), t > 0 ^

^{ds          дт}во       ЗТсв

^Рв^в d_t =  ^лво д_г^{+ л}св д_г      ⁽²⁹⁾

V г - R_bh, t > 0 ^

-Лво^дТ° = ас_а(Тво-Тс_а)         ⁽³⁰⁾

— ^[(1 - £)РтСтТ_к^]=

Л_1_д^2Т г2 дг (г ^к) г2 дг (г ТвоСп7во),

где:

9во = -ЛводТв°;       (23)

и:

Уво = -5воМвд^^п.       (24)

В_во - эффективный коэффициент диффузии влаги в порах сухой части капли, м²/с.

Уравнение (29) отражает тепловой баланс на границе испарения, в котором разница между теплом, передаваемом высушенной частью к поверхности капли используется для испарения некоторой части влаги из пор в области связанной влаги. Дальнейшее упрощение уравнения (29):

£вЙ = -т4дТ£ + т5дТв, дt        дгдг

ЛЛ где т = —; т^ =

⁴£Рв    ⁵£Рв

Для того чтобы решить уравнение (28) и получить профиль концентрации водяного пара в порах области связанной влаги составляем материальный баланс по влаге для элемента дифференциального объема в области связанной влаги:

V s(t) < г < R_bh, t > 0 ^

После получаем:

^^[£Мв^Сп^]= ^-:¹^^д(г2]во⁾

дt             г2дг преобразования уравнения

5во =

3-£

дСп_д2Сп  2дСп т6 дt дг2 + г дг ,

Лво = ^Лсм + (1- £)Лт , (26) где Л_см - теплопроводность смеси паров воз-дух-вода существующих в порах высушенной части, Вт/ м-K.

После преобразования уравнения и приведения подобных членов получаем окончательную форму уравнения теплопередачи:

£ где т₆ = —. ^во

.

Начальные и граничные условия, необходимые для решения уравнения (33):

V 4(r)

V г = s(t), t > 0 ^ С_п= ^^ п    ЯсаТво

V г = R_bh, t > 0 ^

-^вод^п = ^см(Сп - Сса)

Баланс массы на поверхности испарения определяется уравнением:

V г = (t), t > 0 ^ЕРв д| = D_kMb д^п (34)

Преобразование уравнения (34) представлено в виде:

Я2 е где m 6 = -z-•

^-во

Начальными и граничными условиями уравнения (44) являются:

V s(t) < f < 1,t = 0 ^ С_п = ^рП(Т(^

^П    ЯсаТ(t)

ds

дСв

эТ^д?

D М„ где m₇ =----.

⁷      ерв

•

Начальное условие, необходимое для решения уравнения (35):

V f = s'(t),t>0 ^ Сп = ^ ^са^во

V f =1,t>0^ —Dlод|^п= Rl_Hв(Cп

V f = s'(t),t>oд^‘ = m'₇д|¹,

—

Сса)

V г = s(t), t = 0 ^ s(t) = й_вн

Окончательный вид уравнений дели (21)-(36):

V 0 < f < s'(t), t > 0 ^

мо-

-Тсв   -2Тсв   2 -Тсв m 1 dt = df 2 г df ’ где s'(t) безразмерный радиус связанной влаги.

области

m' 1 =

^вн⁽Е^рв^Св + ⁽¹   Е^РтСт)

Лев

Начальные и граничные условия уравнения (37) являются:

V 0 < f < s'(t),t = 0 ^ Т_св = T(t)

v f = 0, t>0 ^ —Лев —Тв = 0

V f = s(t),t(0) ^ Тев = Тво

V s'(t) < f < 1, t > 0 ^

D M„ где m 7 = 2--

^вн^ерв

Начальное условие уравнения является:

V f = s‘^(t), t = 0 s'(t) = 1

Те же соотношения задаются уравнениями (40) и (41) и используются для расчета коэффициентов конвективного тепло- массопе-реноса в период убывающей скорости сушки.

Модель (1)-(44) решена методом конечных разностей [8] с погрешностью результатов моделирования 12 % (рисунок 3). Проведена идентификация параметров модели по экспериментальным данным, полученным на опытной распылительной сушильной установке [3].

m дТо^д^+^ +  дСп дТ,+ m2 д(    дг2    г т3 дг д(

₊/2m3₊dC, ₊m

\ г    дг

д²С дг²

во ,

где:

m' ₂ =

^вн(^{(1   Е})^рт^Ст)

Яво

;

и:

1 - кривые сушки ПЗК, 2 - кривые нагрева;

т'з =

DвоMвC_п Яво

■

Начальные и граничные условия уравнения (28) являются:

V s'(t) < f < 1, t = 0 ^ Тво = T(t)

V f = s'(t), t > 0 ^

- модель; - - эксперемент.

Рисунок 3. Сравнение расчесчетных и экспериментальных кривых сушки ПЗК и кривых нагрева при Тса = 373K, Wн.пзк= 75%

^-v ^вdt

V f = 1, t > 0 ^

■ m^^f + m's^ ⁴df      ⁵df

^^^^^в

Лво-^Г = Явна(Тво — Тса),

Л            Л где m 4 ~~ m5 т—

V s'(t) < f < 1, t > 0 ^ д^п   д2£п   2 д^п m 6 St = df2 + f df’

Таким образом, уравнения (1)-(44) являются математической моделью, решение которой позволяет определять изменение влажности (концентрации СВ) и температуры по радиусу капли в процессе распылительной сушки концентрата ПЗК, что необходимо как для выбора геометрических размеров сушилки, так и для управления технологическими параметрами сушки.