Моделирование радиоканалов с релеевскими замираниями и неизотропным спектром допплеровского рассеяния

Разработка и оптимизация алгоритмов современных и перспективных устройств передачи данных ввиду их сложности крайне затруднительна и малоэффективна без использования компьютерного моделирования широкого диапазона условий работы радиоканалов. Средства моделирования – имитаторы радиоканалов обеспечивают повторяемость и возможность управления воспроизводимыми условиями и характеристиками радиоканалов, отражающих существенные особенности поведения тестируемых устройств в реальных условиях. Кроме того, имитируя процессы прохождения сигналов по радиоканалам, модель должна быть способна генерировать процессы со статистическими характеристиками, аккуратно согласованными с набором некоторых эталонных характеристик: реализовывать референтную модель канала. Тем самым открывается возможность сопоставлять и исследовать характеристики устойчивости и надёжности передачи данных, которые обеспечивают разрабатываемые алгоритмы в сравнении с уже известными. Применение для целей моделирования средств цифровой обработки сигналов (ЦОС) в полной мере обеспечивает выполнение вышеперечисленных требований.

Методы и алгоритмы передачи сигналов, успешно используемые при сравнительно низких скоростях движения мобильных объектов, нуждаются в модификации для работы с высокоскоростными объектами. Для разработки и тестирования новых средств обеспечения передачи информации в условиях высокой скорости движения необходимо иметь модели канала, учитывающие проявления разного вида замираний, возрастающего влияния эффекта допплеровского рассеяния [1; 8]. Процесс релеевских замираний с допплеровским рассеянием адекватно моделируется ARMA (англ. Autoregressive Moving-average Model – модель авторегрессии скользящего среднего) моделями гауссовских процессов, лежащих в основе представления релеевских замираний [2]. В данной статье рассматривается методика построения ARMA модели, имитирующей условия работы и эталонные характеристики каналов с релеевскими замираниями и доп- плеровским рассеянием в широком диапазоне значений параметров этих каналов.

Основные эталонные характеристики референтной модели

В теории и приложениях [2-3; 7] рассматриваются два типа допплеровского рассеяния:

• -    изотропного рассеяния, предполагающего равномерную плотность распределения вероятности значений углов прихода сигнала, принимаемого на ненаправленную антенну движущегося объекта;

• -    неизотропного рассеяния, проявляющегося при приеме на антенну с направленными свойствами сигнала с неравномерным распределением значений углов его прихода на движущийся объект.

Референтная модель, имеющая аналитическое описание в замкнутом виде своих эталонных спектрально-корреляционных характеристик, описывающая оба типа рассеяния, базируется на плотности распределения фон Мизеса-Тихонова углов прихода Θ [4]:

exp [(fc cos(0-0)] „ г 1 /1ч где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; – среднее значение направления углов прихода; k ≥ 0 – параметр концентрации, задающий ширину рассеяния Θ.

Распределение (1) называют также «круговым нормальным» распределением. Оно описывает непрерывное распределение углов прихода на окружности с периодом Параметр соответствует математическому ожиданию, а параметр k – величине, обратной дисперсии в обычном нормальном распределении. При k =0 распределение (1) превращается в равномерное распределение, порождающее изотропное допплеровское рассеяние:

при детерминированное значение угла прихода. Все другие значения параметра k порождают неизотропное допплеровское рассеяние. Графическое изображение (1) дано на рис. 1.

Рис. 1. Распределение фон Мизеса-Тихонова

Релеевские замирания – это общепринятое описание для огибающей процесса:

s(0 = s^t) +js_Q(t),          (3)

где Si (.) - синфазная компонента, а Sq (■ ) - квадратурная компонента, являющиеся гауссовскими процессами с нулевым математическим ожиданием. Спектральная плотность мощности (СПМ) огибающей процесса (3), соответствующая распределению (1), как установлено в [4] имеет вид:

ss(D =

,\f\D; (4)

IM >  fn,

где ^D – максимальная частота допплеровского рассеяния.

При k = 0 СПМ (4) соответствует закону Джекса, то есть изотропной модели Кларка [2; 9]. В общем случае (4) несимметрично относительно f = 0, что означает проявление в корреляционной функции взаимной корреляции между квадратурными компонентами процесса в (1).

Реализация модели

Методами ЦОС этот ARMA процесс может быть реализован в виде рекурсивного цифрового фильтра (ЦФ), на входе которого действует n(t) – комплекснозначный белый гауссовский шум, обладающий равномерной СПМ №) = N. Главная особенность такого ЦФ – его коэффициенты должны быть комплексными числами. Реа- лизация РЦФ с комплексными коэффициентами достаточно высокого порядка M удобно выполнять в виде каскадного соединения звеньев первого порядка, дискретизированного с частотой fd, •

Но(е-,“) = Пт=1//

l+bm е^фт-^ l-am eJ^m-^Y

где ш = 2тг—. При этом каждое звено реализует-fd ся в виде следующей структуры:

Ут(^ = Угт(п) +]У1т(л) =

= a_m ei [y_rm(n - 1) + j y_im(n - 1)] + +&_m e^ ^m(x_rm(n 1) + j Xi_m(n 1)] + +x_r(n) + j Х[(п),

где переменные с индексом r – действительные числа, с индексом i – мнимые числа. Видно, что для реализации одного отсчета Ут(-) требуется выполнить восемь умножений действительных чисел.

Поскольку при этом выражение (4) в рамках ARMA моделей может быть получено только аппроксимацией дробно-рациональной функцией \Н(е^^ш) |², где H(e^jto) – частотная характеристика ЦФ моделирующая (4), то синтез ARMA РЦФ можно осуществить только численными итерационными методами, в которых важную роль играет начальное приближение для параметров функции (5). Если начальное приближение выбрано «хорошим» – то есть достаточно близким к искомому конечному результату, то удается избежать многих проблем, присущих итерационным численным алгоритмам [6].

Хотя объекты аппроксимации это квадратичные, энергетические функции, критерий оптимальности, заключающийся в точности воспроизведения референтной модели, более логично полагать чебышевским, минимизирующим:

|l^a(P -5_S(/)|| = тахУН^Л -S_s(f)\ , (7)

где f e [-я,я];

|Ho(e-^) |2 =

= Ш=1Л

1 + 2Ь_т С05(Ф_т G)^ + b^ l-2a_m cosC^m-coj + a^’

где A – масштабирующий множитель. Обозначив отклонение передаточной функции числителя в

(8) как 5S а отклонение знаменателя как 8Pm, получим, что изменение в (8) имеет вид:

Не-П2 =

8Sm

=(9)

• -    llm=i|wo(e J 1 ;

2,771 = 1. э. .2

|нЗн(е-7ш)| где КС)12 и KOI2 – соответственно, выражения для числителя и знаменателя в (8).

В линейном приближении можно показать, что отклонения, вызванные изменением модуля и фазы коэффициентов в (9), разделяются и могут быть рассмотрены по отдельности, что значительно упростит процедуру синтеза ЦФ аппроксимирующего СПМ вида (4).

Методика синтеза СФФ

При создании модели средствами ЦОС для сокращения сложности реализации за счет уменьшения числа вычислительных операций применяют многоскоростную цифровую фильтрацию [5]. Требуемая СПМ получается на выходе каскадного соединения фильтра, формирующего СПМ (СФФ), которая аппроксимирует (4) на частоте дискретизации fa « (4...8)/_d, и последующего интерполирующего фильтра с коэффициентом повышения частоты дискретизации L » 1.

Наиболее сложная проблема, возникающая при построении такого вида модели, – это решение задачи синтеза СФФ: рекурсивного ЦФ с комплексно-значными коэффициентами. Как уже отмечалось выше, особое внимание должно быть уделено определению начального приближения. Рассмотрим этот этап решения задачи синтеза СФФ подробнее.

Первый шаг в процедуре синтеза состоит в оценке Mo порядка начального приближения ЧХ в (5). Эту роль может выполнить оценка порядка эллиптического ЦФ, практически оптимального ЦФ в классе чебышевской аппроксимации модуля ЧХ, приведенная в [5]:

M_o = 1,078 • Ig

• ig^

4 sin(2Ttf_D') TtAf

где §2 – допустимая величина сигнала в полосе затухания; 5i – допустимая величина пульсаций сигнала в полосе пропускания; ду – ширина нормированной переходной полосы.

Второй шаг это определение начальных значений 2M0 комплексных коэффициентов в (5). Для чего может быть использован алгоритм пошагового определения значений искомых коэффициентов из [2]. В состав квадратичной целевой функции алгоритма введена «барьерная» функция для соблюдения условий устойчивости синтезируемого СФФ.

Далее полученное решение модифицируется: анализ структуры выражения (4) позволяет выделить знаменатель, который фактически соответствует СПМ изотропной модели и определяет симметричные граничные частоты в спектре

+/o- Такая симметрия может быть мотивом замены одиночных комплексных нулей и полюсов в окрестностях частот ^fo на комплексно-сопряженные пары этих точек, координаты которых могут быть выбраны усреднением координат соответствующих комплексных нулей-полюсов решения, полученного на втором шаге, описываемой процедуры, ближайших к точкам на окружности частот +fo, (см. рис. 2) [2]. Произведенная замена имеет одним своим следствием сокращение числа выполняемых операций умножения из расчета два действительных умножения на один комплексный коэффициент. Другое следствие – появление отклонений в СПМ на выходе СФФ.

Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов передаточной функции РЦФ 12-го порядка (пример из [2])

На завершающем этапе синтеза СФФ выполняется поиск решения, в зависимости от условий синтеза приближающегося или полностью удовлетворяющего чебышевскому критерию аппроксимации (условию альтернанса) в (7) [6].

Рассмотрим в качестве иллюстрации использования предлагаемой методики синтеза СФФ, порядок которого в соответствии с формулой (10) равен 12 [2]. Для этого примера параметры СПМ из (4) есть к 3, /о 0,25, 0 ₄- Вид СПМ и ее аппроксимация приведены на рис. 3.

Рис. 3. Вид СПМ для фильтра 12-го порядка (пример из [2])

Характеристики приближения, полученные на втором шаге, приведены на графиках рис. 4.

Рис. 4. Вид теоретической и расчетной СПМ и функция ошибок, соответствующих примеру [2]

Результаты последующей модификации, включающей создание вместо двух звеньев с комплексными коэффициентами вида (5)-(6) одного биквадратного звена РЦФ с действительными коэффициентами вида н^ =

l + brz T+b2Z 2 l-a1z-1-a2z-2

Использование двух звеньев вида (11), по одному для синфазной и квадратурной компонент (3), обеспечивает уменьшение числа операций умножения на 8 умножений на каждый отсчёт в (3). Модификация координат нулей и полюсов, обусловленная частичной заменой сомножителей в (5) на (11), выполняется использованием (9) для улучшения качества начального приближения.

Сравнивая графики рис. 2-3 и рис. 4-5, легко видеть, что приближение рис. 4-5 намного ближе к оптимальному чебышевскому решению (по величине ошибки приближения и числу пульсаций). Приведенные графики получены с применением оригинальных программ в среде MATLAB, разработанных авторами статьи.

Рис. 5. Вид теоретической СПМ и модернизированной расчетной СПМ, и кривая ошибок

Заключение

Рассмотрено построение ARMA модели канала с релеевскими замираниями и неизоторопным допплеровским рассеянием. Референтная СПМ аппроксимируется по критерию чебышевского приближения квадратом передаточной функции рекурсивного цифрового фильтра с комплексными коэффициентами. Синтез фильтра выполняется численными методами в виде многоэтапной и многоитерационной процедуры, при создании которой основное внимание уделено проблеме получения «хорошего начального» приближения, реализуемого с уменьшением числа арифметических операций.