Моделирование разрывных случайных процессов и процессов случайной структуры в радиотехнических системах

При решении многих радиотехнических задач требуется описание случайных параметров сигналов и помех, для которых применяются различные методы [1–7]. Среди этих методов важное место занимает представление случайных процессов стохастическими дифференциальными и разностными уравнениями [2; 3; 7–9], преимуществом которых является возможность описания динамических параметров нестационарных случайных процессов. В зависимости от типов моделируемых случайных процессов возможны различные способы синтеза стохастических уравнений для их реализации. При этом наиболее проработаны методы синтеза моделей для непрерывных и дискретных случайных процессов в виде стохастических дифференциальных и разностных уравнений (СДУ и РСУ), когда в качестве формирующего процесса выступает аддитивный белый гауссовский шум. В этом случае СДУ для преставления непрерывных случайных процессов имеет следующий вид:

^X.^ = F[X(t),t] + G[X(t),t]• V(t), (1) где X (t) - моделируемый N-мерный случайный процесс, вид конкретных компонентов которого зависит от решаемой задачи (например, при мо- делировании сигналов на выходе элементов антенной решетки N – число антенных элементов, при моделировании радионавигационных параметров составляющие вектора X(t) представляют собой задержку, доплеровскую частоту и начальную фазу, а N = 3 );

F [ X ( t ) , t ] и G [ X ( t ) , t ] - векторный N -мерный и матричный N х N -мерный коэффициенты СДУ;

V ( t ) - Nмерный векторный белый шум.

Вид коэффициентов СДУ (1) F [ X ( t ) , t ] и G [ X ( t ) , t ] определяется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) моделируемого процесса X ( t ) , и в зависимости от размерности и ПРВ синтез различных СДУ подробно описан в [2; 3; 7–9]. Для моделирования дискретных случайных процессов выполняется переход от СДУ к РСУ с использованием различных разностных схем [10; 11]. В то же время не все случайные процессы в радиотехнических приложениях описываются непрерывными и дискретными случайными процессами, а в ряде практически важных случаев требуется моделирование других классов случайных процессов, которые также можно представить СДУ (1), но формирующим процессом V ( t ) уже не может быть белый шум.

Рассмотрим два наиболее распространенных класса таких процессов:

– дискретно-непрерывные (разрывные) случайные процессы;

– случайные процессы случайной структуры.

Разрывные случайные процессы

В радиотехнических системах (РТС) широкое применение находят сигналы, параметры которых не могут быть аппроксимированы непрерывными или дискретными случайными процессами. Это относится к импульсным сигналам радиолокационных станций (РЛС), сигналам с псевдослучайной перестройкой рабочих частот (ППРЧ), а также при воздействии на радиолинии импульсных помех. Для описания случайных параметров таких сигналов и помех затруднительно применение методов, основанных на СДУ, в которых порождающим процессом является белый шум. В частности, период повторения импульсов при вобуляции по длительности, что характерно для многих современных РРС, может быть представлен разностным стохастическим уравнением [12], а значит, и записан в виде скалярного СДУ (1), где x ( t ) будет представлять период повторения импульсов, а v ( t ) - пуассоновскую последовательность дельта-импульсов.

В данном случае случайные параметры импульсных сигналов и помех представляют собой дискретно-непрерывные (разрывные) случайные процессы. Разрывной случайный процесс может быть представлен в форме следующего уравнения [2; 9]:

Xf- = F [ X ( t ) , t ] + G [ X ( t ) , t ]• V o ( t ) , (2) где X ( t ) - вектор, характеризующий L-мерный разрывной случайный процесс;

Vo (t) = EAk ’ ^(t- tk) — вектор пуассоновских k последовательностей дельта-импульсов с независимыми векторами амплитуд Ak , распределенными по закону P(A). Плотность распределения вероятностей процесса X(t) в этом случае описывается уравнением Колмогорова-Феллера [2; 9].

Для стационарного случая из уравнения Колмогорова-Феллера получим:

Л [ X ( t ) , t ] W ( X ) =

= v Л ~Е W0 (X “ A)P(AdAdxk)“   (3)

" v L W ( X ) dxk , где Wo (X) - плотность распределения X(t); v – интенсивность пуассоновской последовательности.

Воспользовавшись результатами [2; 9], можно записать (3), преобразовав интегральный член уравнения Колмогорова-Феллера, в виде:

f, [ X (t)] Wo (X ) =

= vE^^Wq)(X)П[a?]dx - q q !                   i=1

- v Lo Wo (X) dx,, где ai - элемент вектора А.

Далее получим:

fk [X(t)] = w0 (x) x

4” E^- Wo(q)(X)ПM [a >k -  (4)

-” q    q !            7 = 1

”

--- W _o ( X ) dx_k .

W _o ( X ) -” ^{0 v}

После преобразований с использованием метода функциональной аппроксимации [9; 13] уравнение (4) примет вид:

f [X ( t )] W0 ( X )X

-1L xE^ Wo( q-1)( X )П M [ a- ]-П Wo (x)- (5) q q!                      i=1                 i=1^ k

_L_           L   i - 1     Г

-П Wo (xi) E E ^-x (t)xj (t)+vo, (t).

i = 1 ^ k           i = 2 ^ k j = 1 ^ k r i ’ r jj

Уравнение (5) позволяет моделировать векторные разрывные случайные процессы в форме (2) при постоянном значении диффузионного коэффициента G [ X ( t ) , t ] , описывающие случайные параметры сигналов и помех.

Процессы со случайной структурой

В РТС находят применение сигналы, параметры которых на неперекрывающихся временных интервалах имеют разную структуру. Такие параметры могут быть аппроксимированы процессами со случайной структурой, рассмотренными в [9; 14]. С помощью подобных процессов можно достаточно точно описать нестационарные изменения параметров сигналов, когда на разных интервалах квазистационарности структура процесса различна, например, режим ППРЧ, канал ионосферного распространения с быстрыми частотно-селективными замираниями, аппроксимируемые случайными процессами с различными распределениями (например, Рэлей, Райс, Накагами и др.). При воздействии на адаптивные антенные решетки так называемых «мерцающих» помех и др.

Как принято при рассмотрении процессов со случайной структурой [14], синтезируем модели процессов с распределенными и сосредоточенными переходами. Процессы с распределенными переходами имеют вероятность смены состояния, которая в данный момент времени зависит от значений X ( t ) в тот же момент времени. При этом смена состояния с определенной вероятностью может произойти при любых значениях X ( t ) во всей области его определения [14].

Исходя из полученного в [14] обобщенного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для диффузионно-изотропных СДУ, для процессов случайной структуры можно записать:

f ⁽ l ) [ X ( t ) ] = B )— ln W l ) ( X ) +

2 & X k

TO TO

+ f ... f v_rl ( X ') W _o ⁽ l ) ( X ') dX '-            (6)

-TO -TO

TOTO                    Z       \

- f ... f v_rl ( X ') W o ⁽ r ) ( X ') q_r i I X ,—, t j dX'dX ,

-TO -TO где l = 1,2,..., L 0 - номер структуры;

L ₀ – общее число структур (состояний) процесса X ( t ) (например, число частот при ППРЧ);

v_rl ( X ) - интенсивность смены состояния (переходов), распределение которой определяется динамикой процесса случайной структуры;

q_rl ( X , t/X ', t ) - условная плотность восстановления в l-м состоянии, первый индекс r у которой означает номер предыдущего состояния, а второй индекс l – номер нового состояния (например, закон смены частот при ППРЧ).

Обозначим:

TO TO

B^! l ( X ) = f ... f V rl ( X ’) W o ^{( l} ) ( X ’) dX ’;

-TO -TO

TOTO                         \

B 2 ( X ) = f ... f v _rl ( X ') W o ⁽ r ) ( X ') q_rl I X ,—, t j dX' dX . -TO -TO

Используя метод функциональной аппроксимации [9; 13], представим (6) с учетом введенных обозначений в виде:

f" ’[ X (t )] = ^    щ wm( xt) +

П W o" ■ ( x )     _r

+T--Г— x0 (14 + wi l ’( x ) , ^> Vk j

+ B 1 ⁽ l ) ( X ) + B 2 l ) ( X ) .

В этом случае получим уравнение, служащее для моделирования процессов со случайной структурой с распределенными переходами:

^dxk ( t ) = B 0 l l dt 2

d ln Wo ( xk ) + dxk

L

П Wo (Xi) L r i =1rj

W o ⁽ l ) ( X ) j 6 k j*

x ^o ( t )

+ B 11 l ) ( X ) + B 2 l ) ( X ) + BBvv_R 2 l ) ( t ) .

Взаимодействие между реализациями процессов с сосредоточенными переходами и моментами смены состояний носит функциональный характер, т.е. смена состояний происходит при достижении процессом X ( t ) некоторой границы (уровня) [14].

Исходя из обобщенного уравнения Фокке-ра-Планка-Колмогорова [14], для процессов с со- средоточенными переходами получим:

f . l ^l ' [ X ( t ) ] = B ^ ^ ln W o ^{( 1} ’ [ X ( t ) ]- ^{2 d x}k                    (8)

• -f-TO v ( X ) dxk + f-TO ul ( X ) dxk ’

где v l ( X ) - функция поглощения;

ul (X) - функция восстановления l-го состояния. Используя метод функциональной аппроксимации [9; 13], преобразуем (8) и получим диффузи- онно-изотропное уравнение:

d MO = BL /A in w ( l > ( x )+ dt 2 [5 x_k     ° ^V k’

П W ." ’ ( X i ) L

+^J=H« X ^o ( t )k

W o ⁽ l ) ( X ) A k k ^j

-f-TO vl ( X ) dxk +LTO ul ( X ) dxk + BBvk(l)(t).

СДУ (7) и (9) позволяют моделировать процессы со случайной структурой.

Анализ дискретно-непрерывных (разрывных) случайных процессов и процессов случайной структуры

Рассмотрим двухмерный разрывной случайный процесс, заданный уравнениями:

Lx l LtL = ^- a ll^X 1 ( t ) ^- a i2 x 2 ( t ) ⁺ v oi ( t ) ;

dt ddt) = -a22X2 (t)- a21X (t) + v02 (t) . (10)

ческие коэффициенты марковского случайного

Из [2; 7] известно, что для таких уравнений при p ( a _i) = P i exp ( -вa _i ) , где P (^a i ) — вероятность a _i , 0 i > 0 - некоторая константа, а

процесса.

Воспользовавшись процедурой вычисления кинетических коэффициентов по коэффициентам СДУ из [15], получим:

W0 ( xi ) =

C exp au X (t)

x dzi xi ai Z (t)

— P i X i ( 11 )

( ^x 1 , ^x 1) =

v a 21 a 22 a + ^a 12 ац a 2

a 12 a 21 a 22

+ ^a 12 a 21 a_n

—

2 a 21 a 22

— ац a 22

. (12)

Необходимо отметить, что такое выражение для p ( a ) не снижает общности представления разрывных случайных процессов, так как при фиксированных первых и вторых моментах конкретный вид p ( a i ) как показано в [2; 9], слабо влияет на форму стационарной ПРВ.

При использовании метода функциональной аппроксимации [2; 9] одномерные плотности известны (заданы как исходные данные), а элементы корреляционной матрицы r_ij можно определить из соотношений, полученных в [13], для стационарного случая в виде:

2 a 11 r 11 - 2 a ₁₂ r ₂₁ + 1 = 0;

— 2 a 21 Г 12 — 2 a ₂ 1 Г 22 + 1 = 0 ;

- a 21 r 12 - a 11 r 12 - a 22 r 21 - a 12 r 22 = ^{0 .}

При этом взаимные кумулянты записываются

При применении кумулянтного метода в эксцессном приближении имеем решение, подобное (12) вследствие того, что вторые произ-

Рисунок 1. Анализ результатов методов

следующим образом:

C

-----X a11a22

{x 1 , x 2) =

⁺ C 0

v

& a ²²

e ~ ^{Р гx 2}

Г

v

Г

v

X

a 11

a 22

C 0 =

^{( a}_n a 21

^{( a} _n a 21 a 22

2 ⁽ a_n a 22 + ^a _n ^a _n)

+ ^a _n a 22

+ a 22     a 12 )

+ a 12 a 21 ^a _n + ^a _n a 22 + ^ац a 22 I

I a 12 a 21    a 21

+ a n a 21

^{+ a} 112 )

В результате использования метода статистической линеаризации с учетом результатов [9; 13], решим систему дифференциальных уравнений для кумулянтов:

-d(^x 1 , ^x 1) = 2^ ^x 1 , K i ( dt

x ₁, x ₂

)) + K j ( ^x 1 , ^x 2 ) ,

где K_i ( x 1 , x ₂ ) , K j ( x 1 , x ₂ ) - I , j = 1,2 - кинети-

На рисунке 1 приведены результаты сравнения метода функциональной аппроксимации и кумулянтного метода при анализе марковских моделей разрывных процессов, где синяя кривая соответствует методу функциональной аппроксимации (11), зеленая кривая – кумулянтному методу (12), по оси абсцисс – отношение ν/a, по оси ординат - ( x 1 , x ₂ )/100 . Из рисунка видно, что точность данных методов приблизительно одинакова и расхождение между ними не превышает 10%. Таким образом, точность метода функциональной аппроксимациии не уступает точности кумулянтного метода в эксцессном приближении и превосходит точность метода статистической линеаризации. Кроме того, метод функциональной аппроксимации значительно проще иных методов анализа математических моделей векторных негауссовских случайных процессов в форме стохастических дифференциальных уравнений.

Для анализа адекватности СДУ (7) и (9) для моделирования разрывных случайных процессов и процессов со случайной структурой было проведено сравнение по критерию согласия Кра-мера-Мизеса-Смирнова [16] случайной выборки, получаемой по ПРВ из уравнения Колмогорова-Феллера для разрывных процессов, с СДУ

• (7) и по ПРВ из обобщенного уравнения Фокке-ра-Планка-Колмогорова с СДУ (9). Полученные результаты показали, что вероятность попадания в доверительный интервал лежит в пределах от 0,80 до 0,86 для различных параметров процессов, что позволяет рекомендовать данные СДУ для моделирования разрывных случайных процессов и процессов со случайной структурой.