Моделирование статистических характеристик электромагнитного поля апертурной случайной антенны

Направленные свойства апертурной случайной антенны (АСА) [1] в виде прямоугольного отверстия в проводящем экране исследованы в [2-4] методом статистического имитационного моделирования (СИМ) на частотах, ограниченных снизу условиями применимости разработанной математической модели. В настоящей статье представлена математическая модель, свободная от ограничений [2-4], и приведены итоги тести- рования СИМ-модели и данные СИМ структуры ЭМП на частотах 10 кГц … 10 ГГц. Разработка СИМ-модели как один из важных этапов проектирования системы защиты конфиденциальной информации коммерческого назначения от утечки через АСА [5] является актуальным практическим приложением статистической теории антенн (СТА) [1; 6-8].

Математическая модель АСА для проведения СИМ

Геометрию задачи по аналогии с [2-4] иллюстрирует рис. 1: прямоугольная АСА с размерами расположена на поверхности S_A , совпадающей с плоскостью X0Y системы глобальных декартовых координат; расстояние от S_A до плоскости S_М , в которой определяется структура ЭМП, равно R_A ; расстояние от элемента АСА, расположенного в точке М_А на поверхности S_A , до точки наблюдения М_S на плоскости SМ есть r_A .

Источник ЭМП, расположенный слева от S_A в точке М₀ с координатами Х₀ ; Y₀ ; Z₀ , создает в раскрыве АСА сложное по структуре возбуждающее

Рис. 2. Расположение ЭЭИ и ЭМИ в точке MA ( x ; у ) на плоскости SA в системе совмещенных локальных декартовых и сферических координат

Рис. 3. Расположение ЭГ в точке MA ( x ; у ) на плоскости S_A в совмещенных системах декартовых глобальных координат и локальных и сферических

локальных координат поле Ео с круговой частотой оу,, соответствующей к -ой гармонике его частотного спектра.

Элемент АСА, расположенный в точке МА, представляет собой излучающий элемент Гюйгенса (ЭГ) с площадью dS = dx-dy, в котором виртуальный электрический ток гэ = Ед dx! Zc и направлен вдоль оси у; магнитный ток iM = — EAdy и направлен вдоль оси x; где Ел - амплитуда напряженности поля, возбуждающего АСА; Zc - волновое сопротивление окружающей среды. Такой излучатель можно представить в виде двух взаимно перпендикулярных элементарных излучателей: электрического (ЭЭИ) длиной /э с током 1Э и магнитного (ЭМИ) длиной 1М с током iM , совмещенные центры которых расположены в центре локальной системы декартовых и сферических координат, как это показано на рис. 2.

При совместном возбуждении ЭЭИ и ЭМИ в гармоническом режиме комплексные амплитуды квадратурных составляющих (КС) векторов электрической Е -составляющей и магнитной Н -составляющей ЭМП согласно [9] будут равны:

оз'о

ОМ ■ о

ImE

„ Ел d.xdy Нт Т -

Re//_)z —        ₂ |[/оэ^го] ^Уом^го

4тг г

о

й)г3

Поскольку единичные векторы, соответствующие принятому расположению ЭГ в глобальной и локальной системах декартовых координат [2-4], одинаковы: /оэ = j0; \ = х0, в совмещенных локальных декартовых и сферических координа тах (см. рис. 2 и рис. 3) единичный вектор r0 = х0 cos^psin 0 + Уо sin^psin в + z0 cos О .

Выполним векторные преобразования в (1)-(4), учтем, что (О = 2 л К_о / X , и запишем в окончательном виде для КС всех ортогональных составляющих (ОС) комплексных амплитуд рассматриваемых векторов :

Re£Y

Im Ё_х

Re£y. =

Im£y =

Re£z =

Im£z =

Re//V

I mH Y

ReHy

1тЯу

ReHz

ImHz :

Ё .dxdy .          •

—— sin ф cos

9

E 4 dx dy

ЁА dxdy

2 71 Ё

■             •         1 ЗА

Sin ф COS69 Sin 9---;—7

\Ar АягЁ

(3sin² ^?sin²9 -1 - cos 9^

Ё_А dxdy 2

Ё A dx dy

Ё_д dx dy 2

ЁА dxdy

2лт2

(cos²ф sin²9 + cos²9 + cos9) — -I Ar

(3sin° tp sin²9 -1)

sin q> sin 9 (3 cos 9 +1)

1____

4л-2 г3

2яЁ

1 I sin ^> sin Я (cos Я + 1) — -

Ё4dxdy .    .

—-----sin ф sin 9cos 9

3л

4л^-2Ё

Ё_А ^^Х(^ (3 _cos²ф sin²9 - cos 9 - 1)

ЁА dx dy 2ZC

ЁА dxdy 2Z„

2 71 Ё

(sin²ф sin²9 + cos²9 + cos9) — + Ar

(3cos²ф sin²9 -1)

EAdxdy .         . 2 A

—------Sin ф COS^7 sin 9

Ё А dxdy 2Zr.

4л"2г3

3 2яЁ

.          • ч J 1 ЗА sin^cos^sin' 9--1--^-^

. A i 4л" r~

Ед dxdy

—--- cos ф cos 9 (1 + 3 sin 9)

Ё А dx dy

2ZC

Ё4 dxdy 2Zr

1 cos^cos61(l + sin^) —

cos ф sin 9 cos 9

3/1

4л-²Ё

2яЁ

(И)

(14) (is:

Далее отметим, во-первых, что поскольку для n-ой гармоники (О п ='2tiVq ! Хп, то в (1)(16) для КИ-сигнала с заданным энергетическим спектром фигурируют вместо (О и X параме тры о и Я„. Во-вторых, что при выводе (1)(16) учтено предполагаемое равенство значений волнового сопротивления среды ZC в раскрыве АСА и внешнем пространстве.

Рис. 4. Пространственная ориентация ОС вектора Е_т

В-третьих, что расстояние г — гд здесь может как соответствовать, так и не соответствовать условию k rA >> 1 для дальней (волновой) зоны Фраунгофера, что являлось ограничением в [2-4], где к = Ти IX - волновое число, однако размеры каждого элементарного излучателя в составе АСА (моделируемого в виде ЭГ) Ух ~ dx и Ny ~ dy должны отвечать условиям к^х « 1; кУу « 1, и это необходимо будет учитывать при разбиении АСА на элементы с учетом текущих значений rA и X. В-четвертых, что (5)-(16) для ЭГ получены в системе совмещенных локальных декартовых и сферических координат, тогда как для вычисления уровней Е- и Н-составля ющих ЭМП от АСА путем интегрирования полей, создаваемых всеми элементами ее раскрыва, целесообразно перейти в глобальную систему декартовых координат. Ориентацию ОС вектора Ет в точке наблюдения MS (xm; ym) для излучателя, размещенного в центре координат, иллюстрирует рис. 4.

Соотношения (5)-(16) представляют собой математическую модель ЭМП, которое создает ЭГ, расположенный в точке МА с координатами x; у, в точке наблюдения MS с координатами xm; ym (см. рис. 3). Можно считать, что их уровни являются дифференциалами КС и ОС для ЭМП, создаваемого АСА в целом:

d Ё^ = х0 (ReЁх + j 1тЁА.); d Ёу8 = у0 (ReЁу + j Im Е}); dЁzs = z0 (Re^ + j ImEz); d H xs = x0 (ReHx + j!mHx); dHYS = y0 (ReHY + jImHY); d Hzs = z0 (ReHz + jImHz),

где нижние индексы «5» соответствуют ОС и КС для АСА в целом.

Алгоритм вычисления уровней ОС и КС для АСА в целом реализуется по следующей схеме:

• 1)    задать точку наблюдения MS с фиксированными координатами xm; ym ; zm;

• 2)    задать на раскрыве АСА точку МА с текущими координатами x; у ; z;

• 3)    определить согласно рис. 5-7 текущие значения sin ф ; cos ф; cos О и rA;

• 4)    вычислить согласно (5)-(16) уровни КС и ОС для ЭМП, создаваемого в точке M_S элементом раскрыва АСА с текущими координатами x; у ; z;

• 5)    повторить действия согласно п. 2-4 для всех точек M_А – то есть проинтегрировать путем численного суммирования уровни ОС и КС, создаваемые в точке M_S всеми элементами раскрыва АСА;

• 6)    сгруппировать результаты интегрирования по КС и ОС в соответствии с обозначениями (5)-(17).

Результатом интегрирования по площади прямоугольной апертуры на рис. 1 (для многоэлементной АСА [2-4] – по площади всех апертур, входящих в состав АСА), являются действительные и мнимые части (то есть КС) составляющих напряженности поля всех ОС: Exs ; E_ys ; E_zs ; H^ ;H_YS ; H_zs .

Амплитудные значения Е- и Н-составляющих ЭМП АСА определяются по следующим формулам:

Eg

Результаты СИМ

На рис. 5а-е представлены результаты тестового расчета распределений модуля вектора I E | в пределах прямоугольной плоскости Sс центром в точке R₄ = 30 м и размерами 20×20 м², найденные согласно (11) при отсутствии ошибок для частот, соответственно, 1 кГц; 700 кГц; 1 МГц; 500 МГц; 1 ГГц и 10 ГГц. Приведенные графики иллюстрирует выпуклую (см. рис. 5а) и вогнутую седлообразную (см. рис. 5б-в) структуру ЭМП на частотах 10 кГц … 1 МГц; а также структуру с тремя основными и множеством побочных максимумов (см. рис. 5г-е) на частотах 500 МГц … 10 ГГц. Данные рис. 5 хорошо соответствуют физическим соображениям о принципах работы АСА и позволяют признать результаты тестирования разработанной модели удовлетворительными.

Методика СИМ при кластерном моделировании пространственных корреляционных связей между ошибками рассмотрена в [2-4]. На рис. 6а-е представлены гистограммы случайных уровней IE | для центральной точки поверхности ^ ду при равномерных распределениях амплитудных a [–0,2; 0,2] и фазовых Ф [– ^ФмАХ^Ф ] ошибок. Значения были найдены с учетом физического моделирования условий возбуждения АСА [10] – они зависят от частоты, поскольку случайные перемещения источника возбуждения АСА (см. рис. 1) необходимо соотносить с длиной волны излучаемого сигнала.

В результате на частоте 10 кГц, где фазовыми ошибками можно пренебречь, ^Фмлх = 1°; на частотах 700 кГц и 1 МГц было принято ^ФМАХ = 3°; на частотах 500 МГц и выше ^ФМАХ = 180°. Аналогичным образом число корреляционных кластеров в пределах одной апертуры на частотах 1 МГц и ниже принималось равным Ккл = 1, тогда как на частотах 500 МГц и выше N = 4. Физически это означает, что на частотах 1 МГц и ниже учиты- вались в основном амплитудные ошибки, постоянные в пределах одной апертуры (которая по площади равна одному кластеру), но изменяющиеся от апертуры к апертуре. На частотах 500 МГц и выше амплитудные и фазовые ошибки не изменялись внутри каждого из четырех кластерных «квадрантов» в пределах одной апертуры при равновероятных значениях фазовых ошибок, поскольку Ф [–180°; 180°].

На оси абсцисс рис. 6 для удобства обозначений указаны номера восьми интервалов, соответствующих динамическому диапазону с границами E_MIN ; E_MAX, значения которых для разных частот приведены в таблице 1.

Сплошные кривые на рис. 6 соответствуют типовым вероятностным функциям, которые наилучшим образом аппроксимируют гистограммы Р(ЕЕ) в соответствии с методикой стандартной программы Easy Fit для уровня значимости 0,1 по критериям Колмогорова-Смирнова и Пирсона: на частотах 10 кГц … 1 МГц наилучшей аппроксимирующей функцией является нормальный закон, на частотах 500 МГц … 10 ГГц – закон Релея. Это объясняется тем, что в данном случае , во-первых, Eys >> ^zs^ ^xs = 0 и в условиях применимости центральной предельной теоремы теории вероятностей (особенно при увеличении числа кластеров Н_кл ) распределения КС у Е приближаются к нормальному закону [2-4], что ведет к распределению модуля IЕ | по закону Райса (обобщенному распределению Релея).

Во-вторых, на частотах 10 кГц … 1 МГц регулярная составляющая ЭМП существенно преобладает над нерегулярной ввиду малого влияния фазовых ошибок (так как здесь МмАХ< 3°), что делает закон Райса близким к нормальному закону, тогда как на частотах 500 МГц … 10 ГГц «вес» нерегулярной составляющей резко возрастает ввиду ^ф = 180° и закон Райса приближается к закону Релея [9].

Рис. 5. Распределения модуля напряженности поля АСА при отсутствии ошибок а) на частоте 10 кГц; б) на частоте 700 кГц; в) на частоте 1 МГц; г) на частоте 500 МГц;

д) на частоте 1 ГГц; е) на частоте 10 ГГц

е)

Рис. 6. Гистограммы случайных значений модуля Е напряженности поля АСА а) на частоте 10 кГц; б) на частоте 700 кГц; в) на частоте 1 МГц при Мкл⁼ 1; г) на частоте 500 МГц; д) на частоте 1 ГГц; е) на частоте 10 ГГц при Мкл ⁼ 4

Таблица 1. Динамический диапазон случайных значений модуля Е, В/м

Частота	10 кГц	700 кГц	1 МГц	500 МГц	1 ГГц	10 ГГц
Emin', В/м	9.2-10 2	7,5-10^	I03	1.7-10 2	1.2-10 2	2,7-10 2
Emax ; В/м	0,134	1,2-103	1,45-1О3	0,344	0,656	1,929

Заключение

В статье для трехэлементной АСА прямоугольной конфигурации методом СИМ определены статистические характеристики ЭМП в заданной области окружающего пространства (без ограничений, принятых для математической модели [2-4]). Приведены данные тестирования и результаты применения разработанной СИМ-модели на частотах 10 кГц … 10 ГГц в интересах проектирования систем защиты коммерческой КИ от утечки через АСА [1; 5], что является одним из актуальных приложений СТА.

Продолжение исследований в данном направлении связано с моделированием неопределенностей, присущих СИМ структуры и параметров ЭМП, создаваемого реальными АСА (проблема определения случайных ошибок [10]) методами и средствами теории систем и системного анализа. Кроме того, представляет интерес изучение особенностей работы АСА в режиме излучения и приема несинусоидальных (шумовых, шумоподобных, импульсных, радиоимпульсных и т.п.) сигналов [1], переносящих КИ.