Моделирование течения невязкого газа с переносом загрязнений при ветровом подхвате

• 1.    Математическая модель. Для описания вязких течений воспользуемся системой уравнений Навье-Стокса [2], которые отражают основные законы сохранения массы, импульса и энергии. В консервативной форме, в декартовых координатах (х 1 = х,х₂ = у, х₃ = z) уравнения Навье-Стокса имеют вид:

уравнение неразрывности др дри dpv dpw

dt + дх + ду + dz О уравнения сохранения импульсов др дри2 дt + дх +

дрии дpиw др дz дх ~

ду

др дрии дри2 дt+ дх + ду

dpvw  др dz   ду

др  дpwи  дpwv  дpw2  др дt + дх + ду + дz + дz уравнение сохранения энергии дрЕ  дриЕ + ир дриЕ + ир дpwE + wp

дt + дх + ду +    дz      ^

Здесь р, р, Е - плотность, давление и полная энергия; и, и, w - компоненты вектора скорости. Полную энергию можно выразить через удельную внутреннюю энергию:

Е = е +

и2 + и2 + w2

Система дополняется уравнением состояния:

р = (У — 1)ре

Предположим, что распространение примесей происходит только за счет ветрового переноса. Запишем уравнение неразрывности для концентрации загрязнений (смесь однокомпонентная) без учета физико-химических трансформаций [4]:

дрС дриС дриС дpwC дt ⁺ дх ⁺ ду ⁺ дz О

При моделировании динамики распространения загрязнений рассмотрим ситуацию, когда примесь осела на землю, и ее дальнейшая миграция зависит от ветрового подхвата. Роль источника в этом случае будет выполнять сама поверхность, а ветровой подхват и дальнейший перенос будут в сильной степени зависеть от состояния этой поверхности. В общем случае решение задачи о вторичной миграции примеси невозможно. На практике вводятся такие эмпирические величины, как коэффициент ветрового подхвата, интенсивность ветрового подхвата и скорость сухого осаждения частиц [3].

К уравнению неразрывности для концентрации добавим краевое условие на подстилающей поверхности z = 0, описывающее изменение поверхностной концентрации за счет осаждения примеси из атмосферы и ветрового подхвата:

дСг

• -= = V_gCl_z = _Q-aC_r                                                (7)

• 2.    Численный метод и результаты расчетов. Построение вычислительных алгоритмов основано на конечно-объемном методе. В этом методе исходные дифференциальные уравнения записываются в дивергентном виде в декартовых координатах и преобразуются с использованием формулы Остроградского-Гаусса к интегральному виду. Разностные формулы получаются в результате интегрирования исходных уравнений по контрольному объему. Аппроксимацию будем проводить на структурированной сетке с

Здесь Cr - поверхностная концентрация примеси, a - коэффициент ветрового подхвата, Vg - скорость сухого осаждения частиц. Величины Vg и а зависят от свойств примеси, характера подстилающей поверхности, состояния атмосферы и др. Поэтому их теоретическая и экспериментальная оценки достаточно трудоемки.

На остальных границах ставим условие вытекания. В начальный момент времени зададим поле скоростей (u₀, v₀, w₀), давление р₀, плотность р₀ и концентрацию Е₀.

шагом h по всем направлениям. Все искомые параметры определяются в центре ячейки.

Исходную систему уравнений представим в векторной форме:

dt дх ду dz ’ где вектора Q, Fx, Fy, Fz имеют вид

( ри\ Q= Р1 \РрЕс)

/ ри х       р pv '       р pw \ 1 ри2 + р \      / pvu \      1 pwu | 2                  P^№V , F x =    Ppuw   ’ F y = PpW , F ’ - p WZ+ p           (9) puE + up 1      pvE + vp 1      pwE + wp \  puE  /      \ pvE  /       \   pwE  /

Будем считать, что на границе области известны либо потоки, либо значения этих величин.

Проинтегрируем уравнение по объему AV_p ячейки p , которая ограничена поверхностью ^_р = U f=1 ^S f (^S ^ - площадь грани f). Используя формулу Остроградского-Гаусса, получим:

I ^dV + f (F x ^ x + F y n y + F_zn_z)dS = 0

^vp zp

или d \QdV+f*dS=0 ^Vp         Zp

Используя квадратурные формулы, заменим интегральные выражения разностными.

При интегрировании будем использовать теорему о среднем [1]. В качестве среднего значения функции по объему примем значение ее в центре ячейки, а в качестве среднего значения функции на грани - значение ее в центре грани. Дискретный аналог уравнения следующий:

d           Е

«Ж)Р + У Ф△5f = 0

СИ f=1

Для нумерации ячеек будем использовать индексы i,j, к, грани ячейки обозначим i ±

• V₂, )± ^1/ ₂ , ^к ± ^1/ ₂ шаги по пространству и по времени обозначим Ли г. При

аппроксимации производной разностью вперед получим следующую запись схемы:

• ~—--^{1 +} ^ ^(ф‘+ ¹ /2⁵ — ^ф—72^{5 +} ^Л⁵ — V¹^ ^{+ Ф}+У2⁵ — ^^Л^ = ⁰⁽¹³⁾ Численные потоки через грань f вычисляются по схеме Лакса-Фридрихса-Русанова: ^фf = 2 ( ^фf" + ^фf ⁺- ^К (e f ⁺-« - )),

0.01, г = 1.е -4.

где К = max (7(и-)2 + (v-)2 + (w-)2 + Jp-Y/P-, J(u+)2 + (v+)2 + (w+)2 + Jp+Y/p+ ).

Аппроксимация граничного условия, учитывающего ветровой подхват будет выглядеть следующим образом:

C^+1 - C^n ‘'° T ‘'° = ^‘A — «C.%                                             (14)

В качестве тестовой рассмотрим задачу в области [0,1]х[0,1]х[0,1] со следующими начальными данными (в безразмерных величинах):

(u°,v°,w°) = (1.0,0.0,-0.7), р° = 1.0, р° = 1.0, у = 1.4, а = 0.2е + 1, ^ = 0.7, Л =

Г1,х < 0.5 (0,х > 0.5

Примесь находится на поверхности z = 0, причем С ° =

На рисунках 1 и 2 показано изменение концентрации с течением времени.

Concentration ]

0.750.50.25

Рис.1. Концентрация примеси при t=0.

Concentration ]

0.750.50.25

0______________

Рис.2. Концентрация примеси при t=0.1.

Заключение. В статье приведен численный расчет задачи распространения примеси с учетом ветрового подхвата на структурированной сетке совместно с решением уравнений Навье-Стокса.