Моделирование температурно-влажностных процессов в объеме керамических блоков

MODELING HYDROTHERMAL PROCESSES IN CERAMIC BLOCKS

• V. O. Andreev, S.E. Tinyakov

FGBOU VPO "State University – the Educational Scientific-industrial Complex (ESIC)",

302020, Russia. Eagle, Naugorskoye Highway, 29

FGAOU VPO branch "Siberian Federal University" in Zheleznogorsk ,

662971, Russia, Zheleznogorsk, st. of Kirov , 12.

Information technologies are increasingly involved in industrial practices to improve production processes and optimize the entire cycle of creating products for different purposes. A method for modeling temperaturehumidity processes during drying and firing ceramics considering the phenomenon of thermal diffusion.

Keyworlds : Ceramic blocks, drying, firing, modeling hydrothermal processes, the phenomenon of thermal diffusion

Сушка и обжиг керамических материалов и изделий – сложный тепломассообменный процесс, причем траектория и время достижения заданной конечной влажности полуфабриката, в конечном счете, определяют качество конечной продукции. Кинетику сушки и обжига такой каппилярно-пористой массы, как керамические материалы, определяют закономерности внутреннего и внешнего переноса влаги и теплоты. Посредством массопроводности влага из внутренних слоев материала продвигается к внешней границе тела (к поверхности испарения). В случае применения традиционного конвективного режима обжига высокотемпературным теплоносителем процесс может осложняться за счет явлений термовлагопроводности (термодиффузии) и внутреннего испарения влаги в обрабатываемом материале.

Выраженные в одинаковых единицах измерения коэффициенты влагопроводности твердых тел – k обычно меньше соответствующих коэффициентов температуропроводности этих тел – a. При этом, если различие зна- чений коэффициентов потенциалопроводно-сти достаточно велико (критерий инерционности потенциала поля вещества по отношению к потенциалу поля тепла Lu): Lu = к/а < 10-2 * 10—3, то процесс тепловой обработки можно считать изотермическим [1].

Однако, как следует из табл. 1, процесс термообработки керамических материалов не является изотермическим, поэтому при моделировании процесса и оптимизации технологических режимов сушки и обжига необходимо учитывать взаимное влияние явлений переноса тепла и влаги.

Действительно, когда коэффициенты влаго- и теплопроводности различаются менее чем на два-три порядка, теплоперенос существенно влияет на внутренний влагопере-нос. Уменьшение влагосодержания наружных слоев материала сопровождается при термообработке их более быстрым прогревом, вследствие чего возникает поток влаги в направлении, противоположном температурному градиенту, т.е. от поверхности в объем обрабатываемого материала.

Таблица 1. Коэффициенты потенциалопроводности керамических материалов

В этом случае задача расчета полей влагосодержаний и температур в обрабатываемом материале требует решения системы дифференциальных уравнений взаимосвязанного тепломассопереноса [2]. Показано [3], что для большинства материалов основная масса влаги переносится посредством массо-проводности, а влияние термодиффузии и внутренних фазовых переходов менее существенно. В этих условиях краевая задача взаимосвязанного тепловлагопереноса при обжиге может быть представлена двумя самостоятельными задачами тепло- и влагопроводно-сти. Однако, гипотеза об адекватности математического описания процесса обжига на основе последовательного решения двух краевых задач - теплопроводности (нагрев влажного тела) и массопроводности (перенос влаги в нагретом теле) - требует теоретического подтверждения. Определенный шаг в этом направлении сделан в аналитическом моделировании процесса термовлажностной обработки при обжиге керамического материалов и изделий.

Обжиг керамического материала является сложным тепломассообменным процессом, а ход обжига и время достижения заданной конечной влажности определяют качество готового продукта. Если обжигаемый материал имеет определенную влажность, то кинетика удаления влаги может описываться основным уравнением массоотдачи в газовой фазе. В области гигроскопического состояния вещества кинетика обжига определяется закономерностями внутреннего переноса влаги и теплоты. Посредством явления массопроводности влага из внутренних слоев материала продвигается к внешней границе тела (к поверхности испарения). При конвективном способе обжига высокотемпературным теплоносителем процесс может осложняться тер-мовлагопроводностью и внутренним испарением влаги. Это имеет место при обжиге керамических материалов, когда рабочие температуры достигают нескольких сотен градусов Цельсия.

В качестве теоретической основы понимания процессов тепло- и влагопереноса при обжиге керамических блоков из глины, представляющих собой капиллярно-пористые тела, используем известную модель, на основе принципов неравновесной термодинамики [2]. Эта модель представляет собой систему двух взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), описывающих нестационарную динамику изменения во времени и полях градиентов температуры и влажности в массе капиллярнопористого тела.

Для проверки гипотезы о существенном влиянии температурных градиентов на кинетику процессов сушки и обжига керамики при значительной толщине блоков используем аналитическое и компьютерное моделирование.

Согласно Лыкову [2], нестационарные поля влагосодержания и температуры описываются системой двух нелинейных дифференциальных уравнений нестационарного внутреннего влаго- и теплопереноса, которая для процесса обжига керамического материала принимает следующий вид (для удобства рассматривается одномерное пространство 0

dм (x, t) , d2

-------= к —- M (x, t) + к5 —- T (x, t), dt        dx2

(1) ^dT(xt⁾ = a    T(x,t) + sPy M(x, t). (2)

d t        dx2

Здесь: t - время обжига; x - пространственная координата; M(x,t) - поле влагосодержания; T(x,t) - температурное поле; к -коэффициент влагопроводности; a - коэффициент температуропроводности; 5 - термоградиентный коэффициент; е - коэффициент фазовых изменений; в =R/(c р), где R - удельная энтальпия фазовых превращений; c - удельная теплоемкость; р - удельная плотность.

При этом начальные условия определяются как:

M(x,0)=Mi(x)= Mi, T(x,0)=Ti(x)=Ti. (3)

Граничные условия определяются как:

M(0,t)=Me(l,t)= Me, T(0,t)=T(l,t)=Te. (4)

Один из известных подходов к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных (1) - (4) состоит в применении интегральных преобразований для сведения рассматриваемой проблемы к более простым дифференциальным уравнениям. Исследования показали, что преобразования Лапласа и Фурье не упрощают задачу. Преобразование Фурье не очень пригодно в условиях конечных размеров исследуемых пространственных тел, а преобразование Лапласа не может быть использовано из-за недостатка информации, связанной со значениями производных рассматриваемых переменных на границах пространственной области.

Для получения полезных результатов решения задачи выбран метод, базирующийся на использовании собственных значений и собственных чисел [4]. При этом, процедура решения дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) вида дF ( x, t)    д 2 F ( x, t)

—-— = Y---5— + D^{( x}, t) ⁽⁵⁾

• ^дt          дx²

относительно F(x,t) при соответствующих граничных и начальных условиях сводится к следующей последовательности шагов (у -константа, а D(x,t) - возмущающий негомогенный член):

• •    Решить соответствующую гомогенную задачу (полагая D(x,t) =0) и получить собственные значения и собственные функции, необходимые для построения решения в виде бесконечной суммы;

• •    Выразить все функциональные члены негомогенной задачи через полученные собственные функции;

• •    Решить полученное уравнение с бесконечными суммами относительно коэффициентов, необходимых для нахождения решений F(x,t), используя свойства собственных значений и собственных функций.

Чтобы применить предложенный метод к исходной паре взаимосвязанных уравнений (1) - (2), необходимо сопряженные члены в каждом уравнении рассматривать как негомогенные «возмущающие» члены D(x,t). При этом решения относительно функций M(x,t) и T(x,t) уравнений (1) - (2) можно представить в виде сумм с бесконечным числом членов:

to

M (x, t) = C + 2 an (t )Ф n (x),      (6)

n =1

to

T (x, t) = D + 2 bn (t )Tn (x).        (7)

n =1

Здесь Ф_n (x) и T_n (x) собственные функции, не зависящие от времени, а коэффициенты an(t) и bn(t) являются функциями только времени, СиD - определяют из начальных и граничных условий.

Т.е. соответствующая гомогенная конструкция для уравнений (1) и (2) определяется как:

дM(x, t) , д²_{z х} ---= к —M (x, t),

д T (x, t) д t

=a^T (x, t). дx²

Гомогенные уравнения (1.8) и (1.9)

легко решаются методом разделения переменных. При этом, собственные значения и собственные функции для соответствующих граничных условий (1.3) определяются как:

n 2_2

^Xn = ——,^Tn⁽x) =^Фn⁽x) = sin⁽ 7xx) =... l²

nⁿ )

—x I,n = 1,2,...,^ .

Применение преобразования Лапласа позволяет вычислить и коэффициенты an(t) и bn(t):

pA + C„ an (t) =     n----- exp( p11) +...

A^-P p2

... + ^p2An^{+ C}n exp(p21),      (11)

p₂- p₁

Cn = -BnkXn5 + aXnAn +p£AnkXn5, (12)

, , x p}B„ + D bn (t) = — n    n exp( P1t) +...

p₁- p₂

... + ^p2Bn^-Dn exp(p21), (13)

P 2 ^-P1

D_n = B_nkX_n -eA_nkг.         (14)

Здесь:

p1 = ^фек5 + a + к -...

... - V(psk5)2 + 2вг5к2 + 2ps5ka + к2 + a2 - 2ka , p 2 = —фн к5 + a + к +...

... + V(₽sk5)²+ 2ps5k²+ 2ps5ka + к²+ a²-2кa .

_             -        . (16)

В итоге преобразований и расчетов получают решения исходной системы уравне- ний (1.1)-(1.2) относительно искомых функций M(x,t) и T(x,t), которые удовлетворяют граничным и начальным условиям:

M(x,t)=Me+∑∞an(t)Φn(x), (17) n =1 ∞

T(x,t)=Te+∑bn(t)Ψn(x).   (18)

n =1

Изложенная выше схема решения положена в основу построения комплекса аналитических и компьютерных моделей температурно-влажностных процессов в объеме керамических изделий. Рассмотрим подход к моделированию термовлажностной обработки влажных капиллярно-пористых тел без учета явления термодиффузии.

Если пренебречь влиянием термодиффузии, то краевая задача взаимосвязанного тепловлагопереноса может быть представлена двумя самостоятельными задачами тепло- и влагопроводности [3], математическая модель которых включает в себя последовательное решения трех краевых задач: теплопроводности (нагрев влажного тела), массопроводности (перенос влаги в нагретом теле), теплопроводности (охлаждение влажного тела). Для двух первых задач математическая модель может быть представлена, соответственно, уравнениями (19) и (20):

∂^M∂^(x,t)=k∇²M(x,t);

M(x,0)=M0;

∂M(0,t)=0

∂x=

∂M(l,t) β[Mp-M(l,t)]=k;

∂x

∂T(x,t)

= α∇ M(x,t);

∂t

T(x,0)=T0;

∂T(0,t)=0

∂x

α[Tc -T(l,t)]=k∂^T(l,t).

∂x

Результатом работы является аналитическое модель, представляющая собой решение системы сопряженных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы термовлажностной обработки пористых материалов на основе теории А.В. Лыкова. Исследование полученной модели применительно к обжигу керамических материалов показало, что явление термодиффузии оказывает существенное влияние на динамику процесса и его следует принимать во внимание. Термоградиентный коэффициент δ является важным параметром сопряжения процессов переноса потенциалов и оказывает серьезное воздействие на развитие профилей влагосодержания и температуры в керамическом материале. Полученное аналитическое решение позволяет экспериментально определять значения коэффициентов сопряжения в модели и практически использовать разработанные модели в производственных условиях для адекватного учета взаимодействия процессов тепломассопереноса. Это снимает необходимость обращения к обычно используемым упрощенным моделям раздельного представления температурных и влажностных процессов в процессах сушки и обжига капиллярно-пористых материалов.

Работа выполнена при поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, проект № 9104р /14910.