Моделирование температурного поля поверхности при электроискровом легировании металлов

Проблема улучшения эксплуатационных свойств (износо- и жаростойкости, а также коррозионной стойкости) рабочих поверхностей деталей машин, инструментов и технологической оснастки путем улучшения физико-химико-механических характеристик приобретает все большую актуальность. В настоящее время прогресс в машиностроении во многом связан с применением высокоэффективных методов модификации рабочих поверхностей деталей машин, инструментов и технологической оснастки, основанных на использовании потоков энергии с удельной мощностью в пятне нагрева более 102 Вт/мм2. К их числу относится современный наукоемкий метод электроискрового легирования (ЭИЛ). Его достоинствами являются высокая прочность сцепления легированного слоя из любых токопроводящих материалов (в том числе тугоплавких металлов и сплавов) с обрабатываемым материалом, низкая энергоемкость процесса, простота выполнения технологической операции и др. Применение метода ЭИЛ для упрочнения рабочих поверхностей деталей, инструмента и оснастки обеспечивает повышение срока их службы в пять и более раз. В условиях современного машиностроительного производства метод ЭИЛ является востребованным, а его изучение с целью более эффективного использования при получении функциональных покрытий становится актуальным.

Обработка токопроводящей поверхности посредством ЭИЛ представляет собой многоэтапный процесс. Каждый его цикл включает краткосрочный контакт электрода-анода и детали-катода; полярный перенос электродного материала на деталь в зоне действия искрового разряда; микрометаллурги-ческий процесс на ее поверхности с химическим взаимодействием элементов материалов электрода, детали и межэлектродной среды; быстрые разогрев и охлаждение микрообъема поверх-

Vol. 29, no. 2. 2019 ностного слоя детали. Результатом является изменение структуры, химического и фазового составов, а также свойств поверхностного слоя детали и рельефа ее поверхности.

При каждом цикле ЭИЛ на катоде образуется лунка, заполненная материалом, полученным в результате взаимодействия катода, анода и межэлектродной среды [1; 2].

Одним из основных вариантов становится перенос горячей частицы, температура которой близка к температуре плавления, на холодную поверхность, температура которой близка к температуре окружающей среды. В ходе этого вероятно закрепление частицы на поверхности практически без образования зоны взаимной кристаллизации [1].

Для указанного случая в зависимости от эрозионной стойкости материала и получения необходимой толщины поверхностных слоев с заданными функциональными свойствами рассматривается математическая модель определения температурного поля катода.

Обзор литературы

Многие ро ссийские и зарубежные исследования посвящены использованию метода ЭИЛ при создании упрочняющих покрытий на металлах и сплавах. Представлены результаты повышения физических, технологических и эксплуатационных характеристик покрытий, нанесенных методом ЭИЛ на титан и его сплавы [1; 2]; виден положительный эффект применения метода ЭИЛ на твердых сплавах [3; 4]. Кроме того, исследователи начинают проявлять интерес к ЭИЛ легких алюминиевых сплавов. Так, учеными [5] представлены характеристики микроструктуры и кавитационной эрозии покрытия из сплава Al-Si. Однако наиболее широкое распространение метод ЭИЛ получил при обработке поверхностей сталей [6–8]. В названных работах исследователи добились повышения термостойкости многослойного покрытия. Результаты зарубежных исследований свидетельствуют также об уменьшении коррозионной активности покрытия, полученного на нержавеющей стали методом электроискрового осаждения в расплавленном цинке [7].

В настоящее время проводятся исследования по разработке критериев эффективности [9; 10] и электрофизических моделей процесса ЭИЛ [11], которые позволяют найти зависимость критериев качества покрытия от технологических параметров процесса. Разработанные критерии метода ЭИЛ позволили выделить его в отдельный раздел материаловедения [12].

Однако практическое использование метода ЭИЛ (оптимизация параметров разряда и теплофизических свойств материалов, получение поверхностных слоев с заданной толщиной и функциональными свойствами) сдерживается отсутствием численных методов расчета температурного поля в процессе формирования покрытий на рабочих поверхностях обрабатываемого материала.

При выборе обрабатывающего материала для получения на обрабатываемом материале покрытий с заданными функциональными свойствами возникают сложности определения температурного поля в поверхностном слое при реализации метода1 [13–15].

В работах зарубежных [16-19] и отечественных исследователей [20; 21] рассмотрены некоторые математические модели определения температурного поля в поверхностном слое катода в процессе ЭИЛ. Однако описанные модели не учитывают ряд факторов и сложны в реализации.

Таким образом, целью данной статьи является получение полной математической модели определения темпера- турного поля при ЭИЛ в поверхностном слое обрабатываемого материала.

Материалы и методы

Рассмотрена задача нагрева катода, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда ( Q ₀ = {(‒ a , a ) × (‒ b , b ) × (0, c )}), в декартовой системе координат при ЭИЛ (рис. 1). Здесь P ₀ = = { z = 0, x e ( - a , a ), y e ( - b , b ) } - рабочая поверхность; q ₀ = q ₀{ x , y , t } = q ₀{ x' , t } – поверхностный тепловой поток; t – время; N – количество капель [20].

Капли Q_i , равномерно заполняя некоторую часть грани { z = 0} (рис. 1), за один искровой разряд отдают посредством теплопроводности и излучения тепловой поток:

начально-краевой задачи нелинейной зависимости:

\лT-CpPpd 0=о,*eQo,tо

d T гXk A T - ck P —i- = 0, x eQ, t0 < t < t *,

i

∂tTo b=0=Фо(A * eQo, T^=0=Фi(x) ,

x e Qi, i = IN,       (1)

§1

- 0 T ^x-±a     , dy *

- 0 T '^y-± b     , d_zl

= 0,

q_y= «i(T-Tr)+KoTi⁴, i=1,n, где α_i – коэффициент теплоотдачи капель; T_i – температура i-ой капли; T_sr – температура окружающей среды; k = λ/(cρ) – коэффициент температуропроводности; σ – универсальная постоянная Стефана-Больцмана [Там же].

В математическом плане исследование теплового процесса (нагрева параллелепипеда и остывания капель Q_i за некоторый фиксированный промежуток времени t^* от начала воздействия искрового разряда t₀) приводит к необходимости рассмотрения следующей

^ ^T0 + a, (T„ - Tsr) = 0, z = 0,

^{6 z}          N

(x, y) ^UQ i, i=1

T = T, \ ^T^=к ^T, z = 0,

p

∂z     ∂z

N

(x, y) g|Jq i, i=1

∂T

Xk ^Ci + ak (T - TCP / sr ) + K°Ti = q0, dn             P /

-^ ed Qi, z < 0,

Р и с. 1. Катод (прямоугольный параллелепипед Q₀) с каплями на его поверхности P₀; a, b, c – размеры катода в декартовой системе координат XYZ

F i g. 1. The cathode (rectangular parallelepiped Q₀ ) with drops on its surface P₀; a, b, c – the size of the cathode in the Cartesian coordinate system XYZ

. d2 d2 d2

где A = —v + —т + —т - оператор Лап-dx2 dy2 dzг ласа; T0 – температура катода; Tsr – температура окружающей среды; Φ0(x) Фi (A) - известные заданные функции; λp, λk, cp, ck, ρp, ρk, αp, αk – коэффициенты теплопроводности, удельной теплоемкости, удельной плотности и теплоотдачи параллелепипеда (p) и капель (k) соответственно; x = {x, y, z}, n - внешняя нормаль к ∂Ωi ; здесь и далее коэффициенты с индексом i = 0 относятся к катоду Q0, с индексами i Т 0 - к i-ой капле Qi; Qi = Qi Q{z = 0}, Qi = Qi|JdQi [Там же].

Ввиду сложности задачи (1) ее решение требует перехода к новым переменным: U = T₀ ‒ T_sr; U_i = T_i ‒ T_sr; a2 = a0i = Xi J (ci pi). Тогда задача для параллелепипеда Q₀ получит следующий вид:

a₀^:АU     = 0, х eQ , i = 0, N,

0        ∂t t0 < t < t *,

N

U\t.t,=Ф( x), x ■ Q, U |UQ. I

V i=1    /

U-.. - 0.U.. b - ⁰, ^-. - 0, ⁽2>

• X, ^SU+apU = 0. z = 0, (x,y) e UПi.

⁸i='

Xk ^UX+“kUi+ K

N z = 0, (x, y) g|Jq i, i=1

Фо(5c), 5c eQо где ф(5c) = <

N

фi (5c), z = 0, (5, y )e J Qi, i=1

ф₀( DC) = Фо( x) - Tsr,   Фi (X) = Ф i (X) - Tsr

[Там же].

Предположим, что размеры капель малы; тогда температура внутри объема капли будет почти постоянна, а существенно изменяться она станет только во времени t.

Будем считать, что при каждом t > 0 справедливы приближенные равенства, которые тем более верны, чем меньше размеры капли [Там же]:

U (x, t) ©const,d U(X, t)/dt % const, x e Qi, i = 1, N,

d U(5, t)/dz\z=-0 » const, x‘ePi, i = pj,       (3)

где P_i – основание i-ой капли.

Это позволяет усреднить задачу по объемам Q_i, ограничившись только областью Q₀.

Так как для нашего исследования важна не конкретная геометрическая форма капли, а лишь ее размеры, для простоты вычислений предположим, что капля заключена в параллелепипед определенного размера (рис. 2) [Там же]:

Qi ={( a_xi, ai )x (b_Xi, b₂i )x(0, d)}, A ai = a2 i^-al i^,A bi = b2 i - b, i;

тогда ^| = Aa_i^bid, p = Дa_i^bi, S| = 2Aaid + +2A bd+A a_i A bi. = 2d (A ai +A bi)+|P|.

Результатом математических преобразований становится следующая задача для параллелепипеда Q₀ [Там же]:

a2A U- — = 0, xc e Q_o, t₀< t< t*,

⁰        d t              ^{0 0}

U\t=t_o = ф(5), DC e Qi, i = 0, N, ⁸U=±. - 0, Uy, - b=°. U=. - 0, (4>

Р и с. 2. Расположение капли на катоде Q₀ в декартовой системе координат XYZ

F i g. 2. The location of a drop on the cathode Q₀ in the Cartesian coordinate system XYZ

— + h0U = 0, z = 0, (x,y) e HQi, 5 z                   м

8 U

— + hU = qо 8 z

—

" 8U _ 1

cо 'U + cU + c2f (U) , о t

N

Z = 0, (x,y) e[jQi.

i=1

Данная задача определена только в области Q₀, так как граничное условие для температуры U заменяет все уравнения теплового баланса в каплях.

Результаты исследования

Для определения температуры катода в форме параллелепипеда Q0 решение задачи (4) состоит из двух этапов [Там же].

Первый этап

Пусть U⁰ – решение задачи (5). С помощью найденного решения определим, что

0^(t) = qо - cо U + cxU0 + c2 f (U°) ;

(x, y) eQi.           (5)

Второй этап

Сложный нелинейный теплообмен между каплями Qi, i = 1, N и катодом Q0 в граничном условии задачи (4) заменяется линейным:

d и                    N

— + h0U = ^(t), (x,y)ellQi, t>0.5 z

Для решения задачи применим вторую формулу Грина и функцию Грина G(:r, ^, t -т), которая является решением соответствующей задачи² [20], где ^ = (^, П,^z), t, т > 0. Тогда параллелепипед можно рассматривать как полупространство для капли, подставив в формулу (5) а = b = с = + ∞.

Наиболее простым для численной реализации является случай полупространства {z > 0, x'^ R²} в качестве параллелепипеда Q₀, на границу {z = 0} которого нанесена единственная капля {N = 1}, и значения коэффициента теплоотдачи α_п = 0; следовательно, h₀ = 0, то есть учитывается только теплообмен между каплей и катодом.

Вторая формула Грина и данная функция Грина приводят задачу (4) к эквивалентному ей нелинейному интегральному уравнению следующего вида [20]:

U ( jc, t) =U л( dc, t, t') - t       a′b′

• - a0 JdTJJG (5c,n,Z,0, t-t)Q (U )dndZ, (6) t'      0 0

где a' = ^a/2, b' = ^.b/2 - половинные длины сторон капли;

∞∞∞

U_л( X, t) =JJJ G (хД, t -1 ')U (£ t'd +

0 0 0

+a0 JdTJJG (x,^n,0, t -T q₀&пД<М t'      0 0

dU (^,n,0,T)

Q (U) = c0---------+ cU (^, П,0,т) +

∂τ

+ c₂f (U (^,n,0,T)).

Интегральные соотношения (6), как и задача (5), приближенно описывают процесс передачи тепла катоду каплей, помещенной на его границу.

В подынтегральном выражении уравнения (6) функция U = U(ξ,η,0) рассматривается в области, в которой она почти постоянна по ξ,η. Поэтому, подставив в уравнение (6) z = 0 и проинтегрировав его [Там же], получим нелинейное интегральное уравнение типа Вольтера:

A a AbU (t) = U_Л(t) -

- a₀² fG (t - TQ (U (t)W    (7)

U_л(x,y,z,t) =jjjjjq d^dndzdxdy, 0 0 0 0 0 T=0

x где Ф(x) =   e dt - интеграл вероят-

^П0

ности3.

Для численного решения задачи (6)

введем пространственную и временную сетку ⁽xi, y,, zk)), i = 1, N„ j = 1, N₂, k = 1,N₃, {0 = 1₀< t₁<... < t_No = t*}.

Тогда U^j = (x_t, yj, z_k, tn) - температура в узле (xi, yj, z_k) в момент времени t = t_n. Производную по времени заменяем разностным соотношени-

∂U U-U ем — = n^---n-1, где U = U

∂t       ∆τ_n                   nt

∆τ_n=t_n-t_n-1.

В уравнении (7) заменяем в подынтегральном выражении U(t) на Un+ Un-1 и получаем:2

—

Gn c

A a A bUn = UЛ n — . Un — Un—1 + , Un + U, '0    At    + c12

относительно усредненной функции

+С2 f lUn^—

,

ab

U (t) =         U (x, y ,0, t )dxdy.

AaAb00

Здесь

abab

G (t - т) = jjjj G dxdyd^dn =

0 0 0 0

z=0

Z=0

+ ,

X

a Ф

_ ( b ]    a₀ (t — t)

bФ| .      =l+ ⁰

L Ui( (t — t)) v n

-(

—T e

T

V r —_

^e* a к

a² — a о (t^—T)

—

)■

X

bb

—

)_

)1 T

tn где: Gn = j G(tn -T)dT.

tn-1

Решение нелинейного уравнения (5) описывает температурное поле катода под основанием капли в момент t = t_n. Поле внутри параллелепипеда определяется простой квадратурой (6), имеющей следующий вид [20]:

U (x, y, z, tn) = U. (x, y, z, tn) - tn

-a²J G⁽x,y,z,tn^-TQn^(Un^)dT, (9)

tn-1

где

∞∞∞

U. (x, y, z, tn) =JJJ GT=tn-1 UnЦ^Л,^{z )dz}dn^dz + 000 t = ",

exp

tn

+ J G(x,y,z,tn-T)q0(т№,(10)

ab

G (x, У, Z, t - T = JJG^=₀d^dn = 0 0

z2

--? Г Z                X       ZX -1

, 4"'t■'ф| ,X+a    |-ф| ,X-a| X

4^a₀(t-T) L (27ao(t-t)J   ^Va₀(t-t)JJ

x

f  У+b  )       y-b  )

ф        -Ф

. (270077-7)J   (2Vo(7-TJ,

Qn (Un) = c0 Un-Un^-1+C1 Un+U At         2

+c2 f

(Un +Un-1)

I 2   )

Для численных расчетов интеграл (10) заменим на тройную сумму следующего вида:

следует уплотнить вблизи начала координат. С учетом вышеизложенного получаем окончательные выражения для определения температурного поля в узлах x_i, y_j, z_k параллелепипеда [Там же]:

tn

Uj = Uj - a0Q„ J G(Xi, yj, Zk, tn - T)dT, tn-1

и i^k=Y V У Gj^Ujk ^k + л n                       nil hi ki n-1

il = 1 hi =1 ki = tn

+qо J Gn⁽xi,у, ,Zk,tn -^tW     (12)

tn-1

После этого получим все данные для перехода к следующему временному отрезку [t_n, t_{n + 1}].

Отметим, что такая математическая модель не учитывает влияние остальных капель на искомый поток. Для учета подобного влияния необходимо рассмотреть систему нелинейных интегральных уравнений следующего вида:

JJJgl„ и.,Zk,41 WndZ.

Среднеарифметическое значение функции относительно восьми узлов параллелепипеда (xi ,, xi )x (yj 1, yj) x ^x(zk-1,z;), ^Uj =U⁽xi,У_},Zk,tn), i = 1,Ni, j = 1 N k = 1, N, определяется по формуле: '^{,         3}

A ai A bi Ui (t) = U^ i (t) -

- a₀²1 ^U^Git, (t - т )Q (Uj (U)W,  (13)

tn-1 j='

где

^a2 i b2 i ^a2 i b2 i

Gj(t - _T) =JJJJ G dxdyd^dn,

al i bl i ^a1 i bl i

z=0

Z =0

a_1i,a_2i,b_1i,b_2i – координаты i-ой капли; N = 4 (в данном случае).

Дискретизация по времени t преобразует систему (13) в систему нелинейных алгебраических уравнений:

ijk

U n-1 =

ri-1, j-1, k-1         i-1,-1, k         i-1, j, k-1

n-1⁺Un-1    ⁺Un-1     ⁺

+

+un z^j,^k+un -^k^-1

+un -j^-1^ + un -j1^k-1+ un -j1^k

Aa_tAbU = U,j -a₀²'NN^GQ(Uj).  (14)

.j=1

. (11)

Так как решение Un-,(^,n,Z) является убывающим от нуля до бесконечности по переменным ξ,η,ζ, очевидно, ^что узловые точки {x, }^, {yj }^i, {Zk}^=1

При этом поле внутри параллелепипеда определяется так:

U (x, y, z, t) = U_Л(x, y, z, t) -

N tn ^a2 i b2 i

- a2 2 Ш G\ Q (U) d^dndT. (15)

i=' tn- J, ib i ^z=^{0          z}=⁰

Таким образом, определив поток Q(U) из одной капли в параллелепипед, можем начать рассмотрение упорядоченного (периодического по переменным х, у) множества капель [Там же].

Однако решение системы нелинейных уравнений вида (14) с последующим определением поля в области Q по формуле вида (15) становится трудоемким. Поэтому для решения задачи нелинейный поток из капель в параллелепипед заменяется линейным, что является более предпочтительным [Там же].

По представленному алгоритму создан пакет программ и проведены численные расчеты определения температурного поля параллелепипеда4.

С учетом функций в выражениях (7) и (9) для численного интегрирования применялись квадратурные формулы⁵ с весовой функцией 1/V/. Пробные вычисления по разработанному алгоритму показали эффективность выбранного метода.

Расчеты проводились с учетом следующих данных [Там же].

• 1.    Размеры капли: Dai /2 = 10^-2 см; Dbi /2 = 2• 10 2 см; d = 10^-2 см. Здесь размеры капли приняты неодинаковыми в ее основании, что соответствует более общей задаче – обработке посредством ЭИЛ не плоской (Ла = ЛЬ), а криволинейной поверхности.

• 2.    Теплофизические константы: T_cр = = 20 °C; To = 1 400 °С (начальная температура капли); q₀ = 0.

• 3.    Материал капли – вольфрам (W): λ_k = 1,73 Вт/cм ∙ °C; ρ_к = 19,25 г/cм³; с_к = 0,15 Дж/г ∙ К; α_к = 0,001 Вт / (см²∙ °С).

• 4.    Материал катода – железо (Fe): λ_k = 0,733 Вт/cм ∙ °C; ρ_к = 7,87 г/cм³; с_к = 0,46 Дж/г ∙ К; α_к = 0,001 Вт/(см²∙ °С).

• 5.    Узлы пространственной сетки, см:

{х^} = 0; 0,005; 0,01; 0,011; 0,013; 0,017; {yf=1} = 0; 0,01; 0,02; 0,022; 0,026; 0,034; {zt1} = 0; 0,001; 0,003; 0,006; 0,01; 0,015.

Динамика температурного поля некоторых точек поверхности представлена в таблице. В круглых скобках даны координаты точек, обозначенных на

Т а б л и ц а

T a b l e

Динамика температурного поля точек на поверхности в зависимости от времени The dynamics of the temperature field of points on the surface depending on time

⁴ Программный комплекс для моделирования теплопереноса материала при электрофизическом воздействии : свидетельство о гос. регистрации прогр. для ЭВМ / Власенко В. Д., Колисова М. В. № 2017611479 ; заявл. 06.12.16 ; опубл. 03.02.17. URL: http://www1.fips.ru/fips_servl/fips_servlet?DB= EVM&rn=4256&DocNumber=2017611479&TypeFile=html

⁵Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М. : Наука, 1966. 372 с.

рис. 3. Числа n и m в круглых скобках указывают на номер координаты вектора x = {xi} и вектора y = {yi} (например, точка (3, 1) таблицы соответствует точке (х₃, у₁) на плоскости x0y) [Там же].

Том 29, № 2. 2019

На рис. 4 представлена динамика температурного поля и вычисляемого потока в соответствии с формулой (5). Кривые на рис. 4, а иллюстрируют убывание температурного поля начала ко-

Р и с. 3. Схема расположения точек, в которых вычислялась температура F i g. 3. The location of the points at which the temperature was calculated

a)                                  b)                                  c)

Р и с. 4. Динамика температурного поля и теплового потока: а) изменение температуры капли (линия U) и теплового потока (линия ψ) во времени; b) зависимость температуры поверхности октанта от координаты в сечении y = 0, z = 0; с) изменение температуры внутренних точек октанта, расположенных вне основания капли, во времени

F i g. 4. The dynamics of the temperature field and heat flux: a) change in temperature of the droplet (line U) and heat flux (line ψ); b) the dependence of the octant surface temperature on the coordinate in the section y = 0, z = 0; c) the temporal variation of the temperature of the internal octant points located outside the base of the drop ординат (линия U) и потока (линия ψ). На рис. 4, b показана динамика температурного поля сечения y = 0, z = 0; на рис. 4, c - динамика точек, расположенных вне основания капли [Там же].

Обсуждение и заключение

Анализ полученных результатов показывает, что поле в точках, расположенных в основании капли, постоянно убывает (рис. 4, а); в точках, расположенных вне основания капли (как на поверхности, так и в глубине катода), сначала возрастает, а затем убывает вместе с полем капли (рис. 4, с). Это свидетельствует о том, что, пока капля достаточно горячая, тепла к данным точкам прибывает больше, чем убывает, что и приводит к увеличению температуры. Однако по мере охлаждения капли приток тепла становится меньшим, чем отток, что приводит к уменьшению температуры [Там же].

Чем ближе расположена точка к поверхности капли, тем более резко возрастает температура в начальный момент времени и тем раньше она стабилизируется и начинает убывать.

Температура в точках, расположенных симметрично относительно границы капли, симметрично изменяется относи- тельно температуры границы. Температура на границе капли примерно в два раза ниже температуры в центре капли.

Предложенная модель реализована численно для случая одной капли, помещенной на границу теплопроводящего полупространства. Разработанный численный метод расчета позволяет приближенно описать процесс остывания одной капли и затем использовать полученную информацию для усредненного описания эффекта нагрева параллелепипеда группой капель [Там же].

Применительно к ЭИЛ построен алгоритм и проведены численные расчеты для определения значений температуры во всех точках, а также температурного потока в катоде (параллелепипеде) в случае одной среднестатистической капли на его грани. Сложный нелинейный теплообмен между каплей и катодом заменяется линейным теплообменом. Предложенный метод расчета для усредненного описания эффекта нагрева тела параллелепипеда рядом таких капель находит практическое применение в выборе материала анода в зависимости от эрозионной стойкости при получении покрытий с заданными функциональными свойствами.

Поступила 11.02.2019; принята к публикации 22.04.2019; опубликована онлайн 28.06.2019

Об авторах:

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.