Моделирование тепловых процессов при электронно-лучевой сварке разнородных материалов

Дифференциальное уравнение переноса энергии является математической моделью целого класса явлений теплопроводности [1,2]:

- на поверхностях z=0 и z=5 раничные условия второго рода равны 0:

д T (д ² T д ² T д ² T ) д T q — = a • -— + —- + —- + V — + — д t (д x ² д у ² д z ² ) д x с р

д T д z

z = 0

д T д z

z =8

= 0

Оно имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение, характеризующее конкретный процесс, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении. Эти дополнительные условия, которые в совокупности с дифференциальным уравнением определяют конкретную задачу, называются условиями однозначности :

• 1)    Расчётная схема - бесконечная пластина толщиной 5 :

—ю

• 2)    Граничные условия смешанного типа:

• - по x и у граничные условия первого рода равны 0;

• 3)    Два набора теплофизических характеристик: с1, Х1, р1, а1 и с2, Х2, р2, а2;

• 4)    Температура в начальный момент времени равна 0.

Сварка производится по стыку двух материалов (вдоль оси x, у=0, z=0) со скоростью V, электронный луч мощностью q=I·U, диаметром d. Время сварки t. Решение краевой задачи производилось методом функций Грина. Интегральное решение уравнения переноса энергии имеет вид:

T (х, у, z ,т) = JjJJ G (х,х', у, у', z, zт) • F (x, у, z, т )дx 'ду 'дz ‘дт т z у x

где G(х,х',у,у',z,z'„т) - функция Грина, F(x,у,z,т) - функция источника. Известно, что функция Грина допускает неполное разделение переменных (она разделяется по пространственным переменным x,у,z, но не разделяется по времени т), т.е. может быть представлена в виде произведения:

G (x, x', y, y', z, z \т ) = Gx (x, x \т ) Gy (y, y', т ) G_z (z, z', т)

Gx (х, х', т) =----• exp

2 • V пат

^ (x - x' + V •т)2

к

4 ат     v

Gy(у, у',т) = п 1• exP

2 • ^пат

-

(y — у)

к

4 ат у

Gz ( z, z *, т ) =

2 •

да

•I n=—да

exp

к к

(z — z' + 2 n3 )²

4ат

+ exp

к

(z + z + 2 nsf

4ат

(5)-(8)

Одномерные функции Грина подбираются исходя из краевых условий.

Для оценки характера распределения температурных полей при ЭЛС можно использовать математическую модель, в которой тепловое воздействие электронного луча рассматривается как воздействие непрерывно действующего комбинированного источника [1, 3, 4]. В рамках данного исследования использовались два типа комбинированных источников:

• 1)    ЭЛ С с колебаниями луча поперёк стыка с амплитудой A - непрерывно действующий линейный по глубине (вдоль оси z, длиной h) и линейный вдоль оси у (длиной 2А) нормально распределённый источник, вводимый в начале координат, действующий в течение определённого отрезка времени t:

F 1(x, y, z, т) = q¹ • | k¹- • Ж(x')E(y Жz')E(т) + k²- • Ж(x')E(y')E(z')E(т) | cp к2A                   2Ah                  J

, [1_ при _ — A< y '< A         [1_ при _0 < z '< h         [1_ при _ t0 < т< t

E⁽y)=L       л -    /^E(z)=L       i • n^;E(т)=L

[0_ при _ A < y<— A        [0_ при _ h< z < 0       [0_ при _ т > t

• 2)    ЭЛС с X-образными колебаниями луча с амплитудой b - непрерывно действующий линейный по глубине (вдоль оси z, длиной h) и прямоугольный (2b^х2b) на поверхности, нормально

распределённый источник, вводимый в начале координат, действующий в течение определённого отрезка времени t:

F2(x, y, z, т) = q^ • | k¹^ • E(x')E(y'Жz')E(т) + k²- • E(x')E(y')E(z')E(т) cp к4b²                       4b²h

E (x') =

1_ при _ — b< x' < b

0_ при _ b< x'< — b

; e (y') =

1_ при _ — b< y' < b

0_ при _ b< y' < — b ’

E (z')

Распределение мощности луча q между поверхностным и линейным по глубине источником осуществляется за счёт введения коэффициентов распределения энергии к1 и к2 соответственно. Среднее значение коэффициентов к1= 0,2-0,3 и к2=0,7-0,8 [1]. Для имитации воздействия нормально-кругового источника рассчитывается время действия фиктивного источника:

10 =

4 aK

K = 22

d²

Судить о величине заглубления линейного источника можно по расчётной глубине проплавления, которая связана с параметрами ЭЛС критериальным уравнением:

H = a⁽,    (n • q)k V^0,5k^—1d ".5k

(^^ Tпл )k

коэффициент сосредоточения для заданного диаметра электронного луча:

где величина к = 0,68 • (Я • Тпл )^0,15, а - температуропроводность, λ – теплопроводность, Тпл – температура плавления, η – эффективный КПД, q – мощность теплового потока, V – скорость сварки, d – диаметр луча.

Таким образом, запишем интегральное решения уравнения переноса энергии относительно функции первого источника, которое описывает математическую модель ЭЛС с поперечными колебаниями луча:

к 1 • qn 1

T¹⁽х, у, z, т) =         - • exp

8АпЯ т t0

—

_V      4 ат

^{9 (}x + V • ^т)2 )

(x + V • т)²

4 ат

/

⁽z^{+ 2}n⁵)2 )

4 ат₇

9т +

к 2 • qn

16 Ahcp • vna

t             9

J—exp t о т V

• Е exp n =-О>    \

”

•Е n=—«

erf

z + h + 2n5

V 2 • Vor

erf

—h+2n5

2 • 40т

)

9т

Аналогично запишем интегральное решение переноса энергии относительно функции второго источника, которое описывает математическую модель ЭЛС с Х-образными колебаниями луча:

T 2( х, у, z, т) =

к 1 • qn

t

J •

erf

x + b + V • т

V

—

erf

x — b + V • т

+

к2 • qn

t

erf

V

V

x + b + V • т

A

—

erf

Л

Л

—

•

V

от

—

erf

y — b

• Е exp

n =

: —ОТ

V

—

V

V

V

32b²hcp

• I

V

•

V

t0

—

erf

x — b + V • т

—

V

V

V

(z+2n5)

4 ат

дт +

y

erf

+b

A

—

CO

erf

z + h + 2 n5

A

—

y — b

■Е

n=

: —ОТ

—

V

дт

V

erf

z

—

h + 2 n5

V

Поскольку границей раздела двух материалов будет ось y, области лежащей слева, т.е. при y<0 присваиваются значения теплофизических характеристик первого материала (с1,λ1,ρ1,а1), а области лежащей справа, т.е. при y>0 присваиваются значения теплофизических характеристик второго материала (с2,λ2, ρ2,а2). В качестве допущения присваиваем среднее значение теплофизические характеристики материалов при y=0. Теплофизические характеристики свариваемых материалов представлены в табл. 1.

Таблица 1. Теплофизические характеристики материалов

Расчёт температурных полей производился в программе MathCAD 15. Листинг состоит из нескольких последовательных этапов:

• 1)    Присвоение переменным значений режима сварки (ускоряющее напряжение, ток луча, диаметр луча на поверхности, скорость сварки, время сварки) и теплофизических характеристик

свариваемых материалов (теплопроводность, плотность, теплоёмкость).

• 2)    Предварительный расчёт глубины проплавления на основе исходных данных для определения величины заглубления линейного источника. Расчёт дополнительных параметров

(коэффициент сосредоточения K и время действия фиктивного источника t0).

• 3)    Расчёт температурных полей по координатным плоскостям X-Y и Y-Z.

Результаты моделирования и сравнение с экспериментальными данными. Расчетные данные были сопоставлены с образцами, сваренными из стали 12Х21Н5Т (толщина 7,5мм) с бронзой БрХ08 (толщина 5,5мм), соединение в замок. Образцы были сварены по следующим режимам:

• -    образец №1 – I=32-34 мA; U=60 кВ; Vсв=5 мм/сек; поперечные колебания амплитудой 0,8 мм.

• -    образец №2 – I=32-35 мA; U=60 кВ; Vсв=5 мм/сек; X-образные колебания амплитудой 0,8 мм.

Образец №1. Расчётные температурные поля в плоскости X-Y при z=0 (на поверхности) представлены на рисунке 1 (1 деление – 0,5мм).

Рис. 1. Распределение температурных полей в плоскости X-Y при z=0

Максимальная ширина зоны, нагретой до температуры плавления, в стали смещена относительно координаты x=0. Это связано с большей тепловой инерцией стали по сравнению с бронзой. Для получения достоверных данных по параметрам шва необходимо производить расчёт тепловых полей в плоскости Y-Z при x=0 (для определения ширины шва по бронзе) и при смещении на 1,25 мм (для определения ширины шва по стали). Совместив графики температурных полей можно получить максимально приближенную форму шва. Сравнение экспериментальной и расчётной формы шва первого образца представлено на рис. 2, расхождение экспериментальных и расчётных данный по ширине шва составляет 8%, по глубине проплавления – 1,5%.

Образец №2. Расчётные температурные поля в плоскости X-Y при z=0 представлены на рис. 3. Для получения данных по параметрам шва, необходимо производить расчёт тепловых полей в плоскости Y-Z при x=0 (для определения ширины шва по бронзе) и при смещении на 1,75 мм (для определения ширины шва по стали). Сравнение экспериментальной и расчётной форм шва второго образца представлено на рис. 4, расхождение экспериментальных и расчётных данный по ширине шва составляет 10%.

Рис. 2. Сравнение экспериментальной (слева) и расчётной (справа) формы шва

Рис. 3. Распределение температурных полей в плоскости X-Y при z=0

Рис. 4. Сравнение экспериментальной (слева) и расчётной (справа) формы шва

Выводы:

• 1.    Получена математическая модель для расчётов температурных полей при электроннолучевой сварке разнородных материалов с осцилляцией луча (поперечные и Х-образные колебания).

• 2.    Расчётные температурные поля, полученные при помощи данной модели, позволяют судить о геометрии сварных швов с точностью достаточной для инженерных расчётов.

Работа выполнялась при поддержке грантов Российского Фонда Фундаментальных Исследований РФФИ-Урал № 11-08-96016 и 13-08-00397 и при финансовой поддержке министерства образования Пермского края.

• 1.

• 2.

• 3.

• 4.