Моделирование возрастной функции рождаемости

Рождаемость играет важную роль в росте населения. В любой момент времени размер, структура и состав населения зависят от уровня рождаемости. Кривая возрастной функции рождаемости является достаточно плавной, и эта особенность позволяет сопоставить ее с некоторой математической моделью. Многие исследователи воспользовались этим и, используя статистические данные по возрастным коэффициентам рождаемости, нашли математические модели рождаемости для своей страны. Их результаты представлены в работах [1-7].

Цель данной статьи - найти математическую модель, которая соответствует возрастной функции рождаемости в России.

Определим функцию b(x,t) числа новорожденных, рожденных матерью возраста x в год t, в виде b (x, t) = п( t M x, t), где n(t) — суммарный коэффициент рождаемости в момент времени t, то есть среднее значение числа детей, рожденных одной женщиной за всю свою жизнь (в репродуктивном возрасте от 15 до 49 лет), а функция y(x,t) имеет смысл плотности распределения вероятностей значений репродуктивного возраста женщины, то есть того возраста, в котором женщина рожает ребенка [8]. Заметим, что в демографии репродуктивным возрастом женщины называется интервал [15, 49) значений возраста в годах, когда женщина по физиологическим показателям способна к деторо- ждению. В данной работе смысл репродуктивного возраста иной, здесь репродуктивный возраст является случайной величиной, значения которой совпадают с фактическим возрастом x, в котором женщина рожает ребенка. Таким образом, интенсивность процесса рождаемости определяется возрастной структурой женского наделения и так называемыми возрастными коэффициентами рождаемости K(x,t), то есть средним количеством детей рожденных в году t тысячей женщин возраста x. Для функции ^(x,t) можно записать отношение

,   \      K ( x, t )

^ ^{( x} , t ) =              ,

J K ( y , t) dy 0

где K ( x,t ) - возрастной коэффициент рождаемости. Здесь сумма по всем возможным значениям возраста x аппроксимирована интегралом.

В работах [9, 10] показано, что распределение вероятностей репродуктивного возраста инвариантно по времени, т.е. ^ ( x, t ) = ^ ( x ) . Этот статистический результат отражает качественную картину, заключающуюся в том, что изменение во времени коэффициентов рождаемости связано с изменением социальноэкономической ситуации в стране, а инвариантность распределения ψ( x ) определяется более стабильной физиологией женщины.

Функцию распределения репродуктивного возраста обозначим через Ψ( x ), то есть

x

^{T (} x ) = J И y ) dy .

Используя статистические данные о возрастных коэффициентах рождаемости в

2015 году [11] и учитывая доказанную в [9, 10] однородность этих данных, определим значения эмпирической функции распределения T ( x ) вероятностей значений репродуктивного возраста женщины (Таблица 1).

~

Таблица 1. Значения эмпирической функции распределения T (x) вероятностей значе- ний репродуктивного возраста женщины

x	15	20	25	30	35	40	45	50
T ( x )	0	0,1063	0,4418	0,7429	0,9188	0,9876	0,9992	1,000

По приведенным статистическим данным можно выдвинуть гипотезу о том, что ~ функция T (x) имеет вид смещенного двупарамерического     γ-распределения, плотность распределения ψ(x) которого определяется следующим равенством

^ ( x ) = ^ ( x / а , в ) =

0, если x < 15, ва(x- 15)а-1ехр{—в(x-15)} если x> 15 .              Г(а)              , где Г(а) = J xа-1e-xdx, а>0. 0

Для проверки сформулированной выше гипотезы разработаны многочисленные методы. Воспользуемся критерием согласия χ2, для этого по выборке найдем оценки параметров α и β. Оценку значений параметров α и β выполним методом оценки по минимуму χ2. Известно, что метод оценки по минимуму χ2 приводит к асимптотически несмещенным и асимптотически эффективным оценкам. Используя возможности встроенных функций

MathCAD, найдены следующие оценки параметров а=4,031, в = 0,363.

Значение величины χ2=3,131 при таких

~  ~

а и в . Сравним значение х2 с пороговым значением χ2α для уровня значимости α=0,05 и m=r–t–1=4 степеней свободы, где t – количество оцененных параметров. Поскольку χ2α=9,5, то χ2< χ2α и гипотеза принимается, то есть теоретическая функция распределения в виде смещенного двупа-рамерического γ-распределения соответствует экспериментальным данным. Составим таблицу значений теоретической функции распределения Ψ(x) при найден-~    ~ ных значениях параметров а и в (табл. 2).

Таблица 2. Значения теоретической функции распределения T (x) вероятностей значе- ний репродуктивного возраста женщины

x	15	20	25	30	35	40	45	50
T ( x )	0	0,0799	0,4459	0,7659	0,9199	0,9762	0,9935	0,9982

Сравнивая эти значения со значениями таблицы 1, получим, что максимальное отклонение значений теоретической функции распределения от эмпирических данных составляет 0,0264, что говорит о высоком качестве статистических оценок а и в . Заметим, что использование оценок параметров α и β, получаемых методом моментов, приводит к более худшем результатам, поскольку отклонение значений теоретической функции распределения от эмпирических данных составляет не менее 0,04.

В данной работе предложена новая математическая модель возрастной функции двупарамерическом γ-распределении. Эта модель достаточно адекватно отражает процесс рождаемости в России и может быть полезна при построении демографи- рождаемости, основанная на смещенном ческих прогнозов.