Моделирование взаимодействия оптического излучения с многократно рассеивающими средами

Важность проблемы исследования взаимодействия оптического излучения с многократно рассеивающими средами связана, прежде всего, с изучением оптических параметров данных сред, использованием электромагнитного излучения в задачах дистанционного зондирования. Примерами может служить целый ряд актуальных приложений теории взаимодействия излучения с многократно рассеивающими средами: распространение излучения в аэрозольной среде и создание лидаров [1], кристаллооптика [2], биологические ткани и физическая медицина [3].

Следует отметить, что наличие флуорофоров в среде приводит к качественному изменению спектральных свойств среды и диаграммы направленности рассеянного излучения, что приводит к существенному усложнению как математического описания процессов в среде, так и к увеличению затрат машинного времени, требуемого для достижения удовлетворительной точности вычислений.

заведомо накладывает определенные ограничения на применимость полученных результатов. Трехмерная задача в данном подходе решена только для случая кусочно-неоднородной среды [6]. Усложнение топологии исследуемой среды или ее существенная неоднородность приводит к значительному увеличению количества итераций, требуемых для получения корректного результата. Это, в свою очередь, требует постоянного контроля сходимости численных результатов, что во многих случаях труднореализуемо.

Альтернативным подходом является использование транспортного уравнения переноса излучения [7]. Данное уравнение позволяет получать картины распределения оптического излучения в многократно рассеивающих средах без громоздких затрат машинного времени, как в случае использования метода Монте-Карло, однако, точные решения для уравнения переноса возможно получить лишь в ряде частных случаев.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для описания распространения излучения в многократно рассеивающей среде воспользуемся транспортным уравнением переноса излучения, которое в случае отсутствии выделенной поляризации может быть представлено в виде [8]:

di ( r , s , X )

ds ^r

-ц ( r , X ) I ( r , s , X ) +

A X r X ) 4 n

+

rr rr        rr

J ^pS ⁽ s , s ^)1(r , s ,/V⁾Ui_l L + ^X x⁽ r , s ⁾ 4 n

где µ= µa + µs , µa и µs – коэффициенты поглощения и рассеяния, s и s‘ – направления падающего и исходящего лучей, Ω′ – телесный угол в направлении s‘, х(r, s) - мощность излучения в единице объема.

Вид решения уравнения (1) во многом определяется заданием граничных условий и анизотропией исследуемой среды, за которую отвечает фазовая функция рассеяния p(s,s‘). Выберем в качестве фазовой функции p(s,s‘) эмпирическую функцию Хени-Гринштейна, адекватность применения которой для рассматриваемых сред исследована, в частности, в работе [9]:

p ( 6 ) =----- 2 ⁽¹ - g 2 ----зТГ       (2)

(1 + g ² - 2 g cos( 6 )) ^3/2 ’       ⁽²⁾

где 6 - угол рассеяния, a g - параметр анизотропии. В качестве граничных условий на поверхности раздела воздух - среда г принималось:

I (r. s . ^Х )| < r n ) < 0 =

I r ( r , s , Х ) + RI ( r , s , Х )

,

( rr ) > 0

r eF . ⁽³⁾

где RR - оператор Френеля, а , - нормаль к поверхности раздела. Считая процесс флуоресценции изотропным, функцию источника х_Х ( Г, r ) можно представить в виде:

/Л Г r) = 2Кfk(r), 4^k кfk = J dAnf(r.AX..)ма(rA) Jdp[(r,r,Xn), (4) A                      4n где Пfk - квантовый выход флуоресценции k-го флуорофора при облучении среды излучением с длиной волны Xin.

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Выделим диффузную часть интенсивности излучения в среде:

I -1 ⁽⁰⁾+1 _ ex ex ex , diff

(0)                  ,

Ifk ¹ fk ⁺ I fk , diff

T (0)

где I _ex определяет вклад в интенсивность на длине волны A„ “баллистических” фотонов, не испы- in                                               ₍₀₎

тывающих значительного рассеяния; Ifk – определяет вклад в интенсивность на длине волны Afk за счет переизлучения поглощенной энергии (флуоресценции) в направлении r; а Т^diff - диффузная часть интенсивности излучения на длине волны Х^. Учитывая, что в многократно рассеивающей среде распределение неоднородностей и флуорофоров носит стохастически-случайный характер, без существенной потери общности можно считать распределение оптических параметров среды медленно меняющейся функцией коорди- нат, слабо зависящей от азимутального угла. В этом случае диффузные потоки Т^,diff могут быть разложены в ряд по малому параметру [10]:

f, diff = 2 ^Т ^ m ) ⁽ r Г ) .            (6)

m = 1

Подставляя разложения (5-6) в уравнение (1), получаем решение в виде:

⁽⁰⁾ (r rl                           rS(r fr Г

I ex ^{( r} , s ) ^{(1 r} s ^{) П} 1 1 ^{exp T} ex ^{p ( r (} s s 0 ))

s

⁽⁰⁾ fr rA— ¹ fzTr'l^ rr'Apvnf-fT I fk ^{( Г} , s ) = . J ds ^K fk ^{( Г )eX}P^{( ( T} fk ^T fk ))

^{4 n} 0

s

I ( m > ( r , r ) =    J ds ' ^ s ( r ‘ , x ^ )exp( - ( T , T )) x , ₍₇₎

4n 0                                , x           r'-r")/(m-1)(r’ r")

^x I Lt Д P s ( s s )-£ ^ ( f , s )

4n где индекс ^ = (ex,fk), r0 - определяет направление падающего потока излучения c поперечным распределением интенсивности Т± , rs - коэффициент френелевского отражения от границы раздела сред, а оптическая толщина определена как:

s т^ = J д( r, Х^) ds

Задавая поперечное распределение Т _± падающего излучения и используя рекуррентные соотношения (7), можно найти аналитическое решение для диффузного потока первого порядка Т ^ 1) и всех последующих порядков разложения (6), что в конечном итоге позволяет определить I_ex . Подстановка данного распределения в выражение (4) дает решение для потока Т fk ) , который рекуррентным образом определяет все пос- ( ^m )

ледующие порядки разложения I_fk .

ПРИБЛИЖЕНИЕ

СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

Одним из альтернативных подходов к решению уравнения переноса является использование разложения интенсивностей и фазовой функции в ряд Лапласа по сферическим гармоникам Y ML ( s r ) [11]. Фактически такое разложение интенсивности эквивалентно учету дипольного, квадрупольного и последующих порядков рассеяния и флуоресценции. В этом случае, применяя теорему сложения сферических гармоник, из уравнения (1) получаем:

» i Г                                                                        » i ′                     1

2Z ^ ( r -^V+ ( M s + M a )) ! im - хХ ( s ) - Ц s J Т т ? " ( r ) Y2 p si' Y im ( r ) ds" <0 l = 0 m =- 1 ^                                            4 n          ^= 0 m =- 1

где I_lm и p_sl – коэффициенты разложения интенсивности и фазовой функции соответственно. Умножая (8) на Y _M ^L ( s ^r ) , интегрируя по s, используя ортогональность сферических гармоник и ограничиваясь дипольным приближением ( L ≤ 1 ) уравнение (8) может быть сведено к уравнению диффузии для спектральной плотности энергии U ( r ^r , λ ) :

∇ ² U ( r ^r , λ ) - kU ( r ^r , λ ) = - ηχ ( r ^r , λ ) , (9)

где k = ^{µ a} D

µ

, η = D ^s ,

D =       ¹       ,

3( µ _s ′ + µ _a )

U ( r ^r , λ ) =   ¹ I ( r ^r , s ^r , λ ) ds ^r = ^{4 π} I 00 ( r ^r , λ ) , а υ -