Модельные решения уравнения четвертого порядка со смешанной производной

В данной работе проводится анализ модельной начально-краевой задачи, которая описывает распространение колебаний в движущемся упругом полотне. Для поиска точного решения этой задачи применяется метод Галеркина - разложение по базису, который определяется при помощи вспомогательной начально-краевой задачи, описывающей колебания балки с разными типами краевых условий (условий закрепления). Основная задача состоит в исследовании и нахождении точных решений в виде функционального ряда. Для различных начальных возмущений было сформулировано правило, которое позволяет вычислять коэффициенты этого функционального ряда. Основные характеристики данной задачи определяют постоянную скорость движения полотна, его шарнирное закрепление и особенность уравнения, связанную с равенством скорости волны перемещения и скорости распространения колебаний в неподвижном полотне. Эта особенность влияет на итоговый вид решений и методику решения самой задачи. Уравнение, описывающее колебания, является линейным дифференциальным уравнением в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами и содержит смешанную производную по пространственной и временной переменной. Для рассматриваемого колебательного процесса и уравнения установлен закон сохранения энергии и доказана теорема единственности решения начально-краевой задачи.