Модифицированные выражения для стрелы прогиба консоли в случае поперечной нагрузки
Автор: Д.М. Зуев, К.Г. Охоткин
Журнал: Космические аппараты и технологии.
Рубрика: Новые материалы и технологии в космической технике
Статья в выпуске: 1, 2020 года.
Бесплатный доступ
Современные задачи космической отрасли, такие как проектирование крупногабаритных развертываемых зонтичных антенных систем, требуют рассмотрения больших изгибов составных элементов ? стержней. Развитие современных аналитических методов механики деформируемого твердого тела позволяют моделировать формы изгиба гибких криволинейных стержней, находить выражения для их прогибов. Использование аналитических методов позволяет находить полную систему ветвей решений нелинейных краевых задач и все формы равновесных состояний стержней, избегая значительных временных затрат на численное моделирование. При этом для практики важны относительно простые методы определения форм больших криволинейных изгибов стержня, пригодные для инженерного применения на этапе эскизного проектирования составных стержневых конструкций. В статье предложен метод получения модифицированных аналитических выражений для определения больших прогибов упругого стержня ? консоли, нагруженной поперечной сосредоточенной силой. Предложенный метод использует важное для практики условие сохранения криволинейной длины стержня при изгибе. Модифицированные выражения позволяют достичь точности, сравнимой с точными нелинейными решениями, записанными в эллиптических интегралах и функциях, что многократно расширяет интервал нагрузок применимости линейной теории. Рассмотрены случаи поперечной нагрузки на свободном конце, комбинированной нагрузки: равномерно распределенной по всей длине стержня и поперечной сосредоточенной нагрузки. Проведено сравнение с экспериментальными данными, которое подтвердило точность предложенного метода. На основе модифицированных выражений были получены приближенные формулы, пригодные для инженерного применения.
Геометрическая нелинейность, большие деформации, консоль, эластика Эйлера
Короткий адрес: https://sciup.org/14115937
IDR: 14115937 | УДК: 539.3 | DOI: 10.26732/j.st.2020.1.04
Modified formulas for maximum deflection of a cantilever under transverse loading
Modern problems of aerospace industry require consideration of rods experiencing large deflections. The example of such a problem is development of large scale deployable umbrellatype antennas where rods are structural elements. Development of modern analytic methods in the field of solid mechanics allows to model rod bend shapes and to find expressions for maximum deflection. In addition, the analytic methods make it possible to find a full system of solution branches and all possible equilibrium shapes without significant time-consuming for numerical simulations. Wherein relatively simple methods for determining bending shapes in case of large deflections have significant importance for applied use. Namely, they can be used for preliminary design of complex rod constructions. The paper presents the method for obtaining of modified analytic formulas that enable to determine large deflections of a thin elastic cantilever under transverse loading. The method uses a rod’s arc-length saving condition which is important for applied use. The modified formulas allow to achieve accuracy comparable with exact nonlinear solutions given in terms of elliptic integrals and functions. That fact expands the loading range where the linear theory can be used. The authors considered the following cases: concentrated transverse loading on the free end and combined loading (uniformly distributed loading and concentrated transverse loading on the free end). The comparison with experimental data proved accuracy of the proposed method. In addition, the authors obtained approximate formulas based on the modified formulas. The approximate formulas can be use for engineering applications.
Список литературы Модифицированные выражения для стрелы прогиба консоли в случае поперечной нагрузки
- Лопатин А. В., Захаров Ю. В., Охоткин К. Г., Вильянен В. В., Пашковский А. В. Геометрически нелинейная модель трансформируемого обода большой космической антенны с гибкими композитными элементами // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. 2012. № 5 (45). С. 75-80.
- Sato Yu., Kim S., Kusakawa Y., Shimizu K., Tanaka T., Komatsu M., Lambert C., Nakasuka S. Extensible Flexible Optical System for Nano-scale Remote Sensing Satellite «PRISM» // Transaction. of Japan Soc. for Aero. and Space Sciences, Space Tech, 2009, vol. 7, pp. 13-18. doi: 10.2322/tstj.7.Tm_13
- Howell L. L. Compliant Mechanisms // 21st Century Kinematics. London, Springer, 2013, pp. 189-216. doi: 10.1007/978-94-017-9780-1_302
- Fowler R. M., Howell L. L., Magleby S. P. Compliant space mechanisms: A new frontier for compliant mechanisms // Mech. Sci., 2011, vol. 2, no. 2, pp. 205-215. doi: 10.5194/ms-2-205-2011
- Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки // Галилео Галилей. Избранные труды. М. : Наука, 1964. С. 109-410.
- Goss V. G. A. The History of the Planar Elastica: Insights into Mechanics and Scientific Method // Sci & Educ, 2009, vol. 18, no. 8, pp. 1057-1082.
- Batista M. Analytical treatment of equilibrium configurations of cantilever under terminal loads using Jacobi elliptical functions // Int. J. Solids Struct., 2014, vol. 51, no. 13, pp. 2308–2326. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2014.02.036
- Захаров Ю. В., Охоткин К. Г. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. № 5. С. 124-131.
- Scarpello G. M., Ritelli D. Exact Solutions of Nonlinear Equation of Rod Deflections Involving the Lauricella Hypergeometric Functions // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2011, vol. 2011, Article ID 838924. doi: 10.1155/2011/838924
- Захаров Ю. В., Захаренко А. А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 48-54.
- Захаров Ю. В., Охоткин К. Г., Власов А. Ю. Приближенные формулы для стрелы прогиба упругого стержня при поперечном нагружении // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. № 5. С. 132-134.
- Ang M. H. J., Wei W., Teck-Seng L. On the estimation of the large deflection of a cantilever beam // Proc. IECON ’93 - 19th Annu. Conf. IEEE Ind. Electron, 1993, pp. 1604-1609. doi: 10.1109/IECON.1993.339311
- Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. : Лань, 2002. 672 с.
- Анфиловьев А. В. Теория «малых» и «больших» искривлений стержней в общем аналитическом представлении // Известия Томского политехнического университета. 2007. Т. 310. № 2. С. 55-59.
- Варданян Г. С., Андреев В. И., Атаров Н. М., Горшков А. А. Сопротивление материалов с основами теории упругости теории и пластичности. М. : АСВ, 1995. 572 с.
- Зуев Д. М., Захаров Ю. В. Стрела прогиба консоли сосредоточенной поперечной силой. Модификация линейной теории // Решетневские чтения : материалы XX Междунар. науч.-практ. конф. Красноярск. 2016. Ч. 2. С. 131-133.
- Belendez T., Neipp C., Belendez A. Numerical and Experimental Analysis of a Cantilever Beam: A Laboratory Project to Introduce Geometric Nonlinearity in Mechanics of Materials // Int. J. Eng. Educ., 2003, vol. 19, no. 6, pp. 885-892.
- Зуев Д. М. Стрела прогиба консоли под действием поперечной сосредоточенной нагрузки. Приближенные формулы для модификации линейной теории // Актуальные проблемы авиации и космонавтики : сб. материалов XIV Междунар. науч.–практ. конф., посвященной Дню космонавтики: в 3 т. 2018. Т. 1. С. 294-296.
