Модификация подхода к оценке экстремальных параметров нагрузки для упругого деформирования многослойного сферического сосуда

С появлением мощной компьютерной техники проблему поиска структуры осесимметричного сферического композита и построения напряженно-деформированного состояния (далее – НДС) данной конструкции можно было бы решить полным перебором всех параметров конструкции. Однако компьютерный поиск структуры и построение его НДС наталкивается на достаточно серьезные трудности. Известно, что в последние годы разработано большое количество баз данных, содержащих наиболее полные сведения о структуре и свойствах (куда входят в том числе и механические, и тепловые, и другие свойства) самых разнообразных материалов, из которых можно создавать новые слоистые композиты. А также известно, что с увеличением количества слоев, из которых может быть спроектирована предварительная структура композита, сложность численного решения задачи об НДС конструкции растет даже не в гео- метрической прогрессии, а экспоненциально, то есть задача переходит в разряд труднорешаемых, для которых установлено [3; 5], что самый быстродействующий современный компьютер выполняет такие задания годами.

В данной работе предложен один из вариантов такого построения решения об упругом деформировании многослойного сферического композита, который позволяет избежать долгих и громоздких компьютерных вычислений для оценки в первом приближении количества слоев, параметров нагрузки, свойств, размеров, материалов слоев как при упругом деформировании всей конструкции, так и в момент начала пластического течения.

Анализ НДС рассматриваемого композита будем проводить в предположении однородности и изотропности материалов слоев без учета температурных напряжений и натягов.

Основные соотношения для решения задачи НДС одного i -го слоя таковы:

– закон Гука для одного ( i -го) слоя сферического сосуда:

5 u er =    = blsr + 2 • b2sj ,

( 1 )

u ej = 7 = b2sr + bs; , где b1 = 1 / Ei; b2 = -(viIEi); b3 = b + b2; u- перемещение; Ei = const – модуль Юнга i-го слоя, ni = const – коэффициент Пуассона i-го слоя;

– уравнение неразрывности деформаций для i- го слоя таково:

И из соотношений (5) можно найти соот- ветствующие напряжения.

Если теперь рассмотреть многослойную сферическую конструкцию, состоящую из произвольного N количества слоев, и считать, что слои посажены плотно, но без натягов, то условие сопряжения на границе i-го и i+1-го слоев можно записать так: ui(ri+1) = ui+1(ri+1). Учитывая еще силовые граничные условия для всей многослойной конструкции, то есть на внутренней поверхности имеется равномерное давление р1, а на внешней – равномерное давление рN+1, получим, рассматривая условия сопряжения для всех границ слоев сфери- dε

r~T + S -^r = 0;

dr

– уравнение равновесия для одного ( i -го) слоя сферического сосуда:

^rd^ ^{+ 2} "  ( ° r ^-° ф ) = ^{0.      (3)}

dr

ческого композита, трехдиагональную систему N – 1 линейных алгебраических уравнений относительно N – 1 неизвестных реактивных давлений p_i = x_i , i = 2, 3, … , N , n = N :

x ₂ + d ₂₁ x ₃

d ₁₂ x ₂ + x ₃ + d ₂₂ x ₄

d ₁₃ x ₃ + x ₄ + d ₂₃ x ₅

d ₁₄ x ₄ + x ₅ + d ₂₄ x ₆

= d11

= 0

= 0 ( 6 )

= 0

Граничные условия для i -го слоя таковы:

s r ^{( r} = ^r i ) = p i ; s r ^{( r} = ^r i +1 ) = p i +1 ,    ⁽⁴)

где r_i – внутренний, а r_{i +1} – внешний радиусы одного i -го слоя.

d 1 n –2 x n –2 + x n –1 + d 2 n –2 x n = 0

d 1 n –1 x n –1 + x n = d 2 n –1

Здесь введены обозначения:

d =         ¹¹ р ;

¹¹    1 11 + 1 21 +5 1

Удовлетворим уравнение равновесия (3), введя функцию напряжения F_i для i -го слоя:

dF sr = Fi1 r2; sj ?r.dr s- = sj-     (5)

d 2 n –1

¹ 2N = 1

¹ 1N - 1 ^{+ 1} 2N-1 ^{+ 5} n-1

" ^P N + 1 ;

Подставив эти соотношения в уравнения (1), а затем в (2) получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции напряжения, решив которое получаем:

Fi = Ai ∙ (L1 + L2) ∙ r2 – Bi ∙ (2 ∙ L1 – L2) / r , перемещение для i-го слоя ui = Ai ∙ r + Bi / r2 , где:        L1 = Ei • (1 - vi) I (1 - vi - 2 • vi2),

L 2 = 2 • E_z. • v _z . I (1 - v _z. - 2 • v _z ²),

Aⁱ = ( r_{i +1}³∙ p_{i +1} – r_i ³ ∙ p_i ) / [( r_{i +1}³ – r_i ³) ∙ ( L ₁ + L ₂)], Bⁱ = ( r_i ∙ r_{i +1})³∙ ( p_{i +1} – p_i ) / [( r_{i +1}³ – r_i ³) ∙ ( 2 ∙ L ₁ + L ₂)].

d 1 i

d 2 i

¹ 1 i ^{+ 1} 2 i ^{+ 5} i

11i + 12 i + 5 i

значения p ₁ и p_{N +1} – это внешнее p_{N +1} и внутреннее p ₁ равномерные давления для всей конструкции,

¹ 1 i = ³ ^ r i ³ • ( r i +23 - r i +13 ) • L 1 i • (2 • L 1 i ⁺¹ - L 2 i ⁺¹ ) X x ( L 1 i ⁺¹ + L 2 i ⁺¹ ),

I 2 i = ³ ^ r i +23 ^ ( r i +13 - r i ³) • ^L 1 i ⁺¹ (2 • ^L 1 i - ^L 2 i ) X

X ( L 1 i + L 2 i ),

⁵ i = ⁽ r i +23 ^{- r} i +13 ) • ^{( r} i +13 ^{- r} i 3 ) • ⁽² • L 1 i ^- L 2 i ) ^X

X ( L 1 i ⁺¹ - L 2i ⁺¹ ) • ( L 1 i ⁺¹ + L 2i ⁺¹ - L 1 i - L 2i ).

Если предположить, что L ₁ ^{i +1} + L ₂ ^{i +1} – – L₁ ⁱ – L₂ ⁱ = 0 для всех слоев, то в соотношениях для d 1 i и d 2 i величина 5 i обращается в ноль и модификация метода прогонки [2] с учетом особенности структуры данной системы уравнений (6) дает следующие соотношения для неизвестных значений p_i :

p_i = р ₁ –

N - 1

Q i-2 ■П 1 2 n n — i —1

■ ⁽ P x ^- P n +1 ),

Q N –1

k + 1 k          i — 1

где Q_k = ^П I 2 n ■П I 1 n ; Q 0 = 1; Q 1 = 1 11 + 1 21 , где k =2, i — 1 n — i         n — 1

• 3,    … , N –1,

и разность значений p_i – p_{i +1} , которая участвует при построении решения для функции напряжений F i , а также для напряжений s ri и s j i (5) каждого слоя приобретает достаточно простой вид:

■П 1 1 n ■ П 1 2 n

Р. ^- P i +1 = n ^— * _п n ^— i --( P 1 - P n +1 ).

Q N –1

Воспользуемся теперь условием пластичности Треска, которое для i -го слоя рассматриваемой конструкции приобретает вид:

s ri - S j I = 3 • B i 2 • L 1 - L ₂| / (2 • r ³ ) = s_Ti, (8) где s Т - предел текучести материала i -го слоя.

C учетом этого, чтобы иметь возможность оценить экстремальные параметры внешней нагрузки конструкции, механических свойств слоев и т. п., то есть те параметры, изменение которых повлечет за собой пластическое течение рассматриваемого композита, используем условие равнопрочности, введенное в работе [4], применяя его здесь как условие того, что пластическое течение начнется с внутреннего радиуса и практически во всех слоях одновременно. Подставляя полученные соотношения (7) в условие пластичности Треска (8) при r = ri для i-го слоя и взяв отношение полученного условия пластичности Треска для i-го слоя к условию пластичности Треска при r = ri+1 для i+1-го слоя, получаем соотношения, которые в первом приближении позволяют оценить устойчивость рассматриваемой конструкции к пластическому течению:

r+13 — (1—Vi) ■ о т,-Е.+хг,3 -(1 — V-J ■Ут," Е для всех i = 1, 2, 3, … , N–1.