Мониторинг полетных данных для уточнения математической модели, описывающей движение воздушного судна

Разработка точной и адекватной математической модели (ММ), описывающей движение воздушного судна (ВС), в настоящее время входит в основные направления работ по обеспечению безопасности полетов (БП). В [1] была рассмотрена ММ разбега тяжелого транспортного ВС, данные которой имеют самостоятельную ценность. Результаты работы ММ можно применять как после полета, так и до него и в его процессе, т. е. эти данные пригодны для задач идентификации, прогнозирования и управления [2]. Особенностью этой модели является ее привязка не к типу ВС, а к конкретному воздушному судну (борту). Как показали исследования [1], параметры ВС одного типа (Ил-76ТД) отличаются настолько, что разница взлетных дистанций для разных бортов, при прочих равных условиях, может превышать 300 м. Используя результаты моделирования можно ввести поправки в номограммы, по которым производятся предполетные расчеты. А если ввести параметры ММ в бортовой компьютер, то можно автоматизировать взлет или дать экипажу в процессе разбега уточненные скорости принятия решения, подъема передней опоры и отрыва, дистанцию разбега и режим набора высоты. Применяемые в настоящее время системы индикации (например, на самолете Ту-204) не учитывают индивидуальных параметров ВС и до сих пор не задействованы.

В связи с вышеизложенным имеются достаточные основания предполагать, что в ближайшем будущем некоторые параметры ММ этапов полета конкретного борта войдут в его базы данных, как и другие индивидуальные характеристики, например вес и центровка пустого ВС. Но эти характеристики войдут туда как нестационарные величины, корректируемые в процессе эксплуатации (имеются в виду параметры, привязанные к данному борту: аэродинамические коэффициенты, тяга двигателей, эффективность рулей). Начальные значения могут определяться на заводе-изготовителе (а если ВС уже экс плуатируется, то на авиаремонтном заводе) по результатам летных испытаний. Установление параметров возможно и в процессе эксплуатации.

Для коррекции параметров ММ необходим постоянный мониторинг полетной информации (ПИ). Поскольку в ПИ содержится информация о параметрах полета, то коррекция ММ представляет собой задачу поиска и уточнения собственных значений дифференциальных уравнений модели, т. е. обратную задачу механики. Эта задача решается и при идентификации полетов для определения параметров, содержащихся в ПИ в неявном виде: массы, центровки и т. д.

Математическое обеспечение мониторинга. В отличие от численных методов решения дифференциальных уравнений, теория которых достаточно хорошо развита, методика определения собственных значений этих уравнений оставляет большой простор для математических изысканий. Причина состоит в том, что обратная задача механики некорректна по Адамару: не выполняется условие единственности решения и не всегда непрерывна зависимость решения от начальных условий.

Следует обратить внимание на работы А. Н. Тихонова, приведенные в [3], которые позволяют восстановить коэффициенты с помощью регуляризирующих алгоритмов, устойчивых к возмущениям начальных условий. При этом приходится решать не уравнения динамики, а другие уравнения, связь которых с исходными ограничена.

Методы А. Н. Тихонова предназначены для решения нелинейных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами, в которых коэффициенты являются функциями переменных и сильно зависят от начальных условий. Но в нашем случае коэффициенты необходимо задавать, а не вычислять. Для описываемой ММ начальные условия можно считать невозмущаемыми, а варьирование коэффициентами будет изменять правую часть урав- нения. В [3] также отмечено, что индивидуальные решения дифференциальных уравнений, как правило, очень чувствительны к малым изменениям правых частей уравнений. Для преодоления этого недостатка была введена теория интегральных многообразий, в которой рассматриваются не индивидуальные решения, а интегральные многообразия (не кривые, а гиперповерхности), которые более стабильны по отношению к малым изменениям правых частей уравнений. Применимость указанных приемов для численных методов решения, где есть своя специфика, неочевидна, однако теория интегральных многообразий вполне применима и для них.

Автором статьи [1] был предложен итерационный метод поиска собственных значений путем многократного решения дифференциального уравнения разбега ВС, т. е. получения одной из проекций многообразия. Поскольку собственных значений может быть сколь угодно много, то необходима информация, ограничивающая их диапазон. За эту информацию принимается ПИ как первоначальное приближение к решению. Полученное решение в свою очередь принимается за приближение и т. д. По результатам нескольких решений (прогонов) в каждой точке дискретного значения аргумента получается последовательность значений сеточной функции, которая, при определенных условиях приближается к решению дифференциального уравнения, так как доказано [4], что если имеется точка, к которой данная последовательность тяготеет (точка притяжения), то сходимость последовательности не зависит от метода итераций.

Для получения собственных значений необходимо минимизировать число прогонов за счет варьирования параметров ВС, т. е. обработки семейства решений из интегрального многообразия.

Для уравнения dy / dx = F ( y ) точка притяжения существует при dF(y) / dy < 0 и при численном методе решения с шагом h : hdF(y) / dy I< 2 [1]. Первое условие является необходимым, второе - достаточным.

Метод итерации - это численный метод решения, соответственно чем он проще, тем меньше вычислений в каждой итерации, а чем грубее, тем меньше итераций нужно для приближения к точке притяжения. Наиболее грубый и простой метод численного решения - метод Эйлера. Но от него, как и от других явных методов пришлось отказаться из-за того, что сходимость и существование точки притяжения (теорема Брауэра) доказывается в [4] на основе теории непрерывных отображений. Численное решение, при использовании приближенного, является отображением пространства решений в себя, но во всех численных методах первая точка решения У0 не преобразуется и, соответственно, неподвижна. При следующих прогонах по любому явному методу это же свойство приобретают и последующие точки. При количестве прогонов, равном количеству шагов решения, все решение неподвижно. Поэтому во избежание некорректности явные методы недопустимы. Методы, в которых при каждом шаге используется несколько значений сеточной функции, в этом смысле вполне корректны.

Кроме того, задача поиска собственных значений имеет определенную специфику, которая сказывается на вы боре метода решения. Для предлагаемого автором приема необходим метод решения, использующий не предыдущие значения сеточной функции, а последующие. Для указанного вида уравнений вполне применимы метод Верле и модифицированный метод Эйлера. Метод Адамса в классическом виде для этих целей непригоден, но если развернуть его от предыдущих значений к последующим, то он дает очень хорошие результаты. Таким образом, при вычислении У+1, помимо Yrf используются значения/(У2), У(У+3) из предыдущего приближенного решения, которые будут изменены в последующих вычислениях. Одновременно с помощью такого приема разрывается обратная связь, делающая решение неустойчивым.

Скорость движения к точке притяжения можно изменять, вводя коэффициент модификации. Если значение сеточной функции, полученное в предыдущем прогоне нужно изменить на АУ, умножив эту поправку на к < 1, то это снизит скорость движения. В настоящее время автором проводятся исследования по варьированию этого коэффициента в процессе прогона. Это связано с тем, что вес отдельных параметров ВС изменяется в процессе движения и при варьировании этого коэффициента можно получить дополнительную информацию.

Поскольку движение ВС не ограничивается разбегом, то необходимое и достаточное условие можно легко выполнить для любого уравнения за счет варьирования знака и размера шага. Необходимое условие можно найти сменой знака шага, т. е. решив уравнение в обратном направлении. Достаточное условие выполняется уменьшением шага путем дробления сетки, а первые приближенные решения получаются с помощью линейной интерполяции из полетной информации.

Таким образом, приведенная в данной статье методика работы с ММ хорошо поддается автоматизации, благодаря чему разработано соответствующее программное обеспечение. Вход в процесс мониторинга требует предварительного накопления и статистической обработки полетной информации. Существенную трудность представляет скачкообразное изменение параметров ВС. Так, при выполнении данной работы изменение тяги двигателей на 400 кг было надежно выявлено после четырех полетов, и только после этого пришла информация о смене одного двигателя. И если получать информацию своевременно, то можно повысить эффективность мониторинга.