Мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для областей с нерегулярной границей

Гальярдо и Ниренбергом в [1] и [2] в 1959 году для областей G С R” с гладкой границей было установлено неравенство

If Имя (Е    ' Имт) + II/Имо) .(1)

Ы=3

где 1 6 P,P,q,x <  го, s Е N, I Е Z₊, I < s, ^ 6 Ө 6 1, при выполнении соотношения

'- » =Ө (s - П)+ (1 - Ө) ("”) •

При этом последнее слагаемое в правой части (1) в случае неограниченной области с гладкой границей можно убрать и будет справедливо неравенство

Е«"“/«1,(0) ••

|^|=S/

Ильин В. П. в работе [3] установил мультипликативное неравество типа. Гальярдо-Ниренберга для областей с условием конуса в случае 1 6 Р,х 6 q <  го, I = 0. Мазья В. Г. в [4] доказал мультипликативные неравенства (3) при I = 0 для областей более общего вида, принадлежащих классам, определенным им в терминах емкостных неравенств.

В данной работе установливаются аналоги неравенства. Гальярдо-Ниренберга, для нерегулярных областей с условием гибкого ст- конуса, ст > 1.

2.    Основные результаты

Будем пользоваться следующими обозначениями:

р(х~) = dist(x, Rⁿ \ G), где G С R” — открытое множество, п > 2, рі(х) = тіп{р(х), 1}, B(x,R) = {у : |у — х| <  R}, у — характеристическая функция шара. В(0, 1).

Определение 1 (см. [5]). При ст > 1 область G С Rⁿ назовем областью с условием гибкого ст-коиуса, если при некоторых Т * > 0, к >  0 для любого х Е G существует кусочно гладкий путь у : [0, Т*] ^ G, у(0) = х, |у‘| 6 1 почти всюду, и такой, что р(у (t)) >  КТ при 0 < t 6 Т *.

При этом при ст = 1 область называют областью с условием гибкого конуса.

Область G, не удовлетворяющую условию гибкого конуса, называют нерегулярной.

Пусть N — множество натуральных чисел; п Е N, п > 2; R” — п-мерное евклидово пространство; 1 6 т 6 п, щ = 0, 1 6 І і < г₂<  ... <  г_т = п — натуральные числа, п, = Ч — г,_-1, Xj : {1, 2,..., п} ^ {0,1},

Х (г) = {0

при при

г,_-1 + 1 6 г 6 г,, 1 6 г 6 ij- i    и при

г, + 1 6 г 6 г_т = п.

т

При а Е Z + положим a^j := х,а = (0,..., atj-1 +1 , ..., «tj, 0,... , 0), так что а = ^2 a^j . j=i

При ж Е Rⁿ положим ж = (ж¹,...,ж^т), где ж^з = (ж_tj-1+₁,.. .x_tj ) Е R”^j.

Теорема 1. Пусть G — область с условием гибкого ст-конуса, 1 6 Р, q, г < то, 8,т Е N, 1 Е Z₊, 1 <  8, 0 <  Ө <  1, р < q, г 6 q, Р >  1, 1 6 т 6 п. Пусть г < q, если, 1 = 0, ст = 1. Тогда мультипликативное неравенство типа Гальярдо-Ниренберга:

( /                           \ Ө            \

т

Л/«1-(С) (Е   Е    1^/«1,(С) | + II/«1,(О I       IT

\ j=1 a=aj ,|a|=s справедливо для функций / с конечной правой частью при выполнении соотношения

I — ^п = Ө І 8 — (8 — 1)(т — 1)(ст — 1) — Еп^-21+1 ) +₍₁— Ө) { _^ — (ст — 1)т(8 - „) . ₍-,

То есть для ограниченной области с условием гибкого конуса (в частности для области с гладкой границей) при выполнении соотношения (2) справедливо неравенство (4) при любом т Е {1,...,п}. При т = п в правой части (4) участвуют только несмешанные обобщенные частные производные порядка 8, а при т = 1 неравенство (4) совпадает с неравенством Гальярдо-Ниренберга (с р = г).

При q > г, а также при q = г в случае ст > 1 ил и 1 Е N из соотношения (5) следует неравенство

8 — 1 — (8 — 1)(т — 1)(ст — 1) — ст(п — 1) + 1 +п> 0.(Ч рq

Ниже будет приведен пример области с условием гибкого ст—конуса, для которой при 1 6 P,q,r <  то, 8,т Е N, 1 Е Z₊, 1 < 8, 0 < Ө < 1, ст > 1. ^ <  ^ + 1, 1 6 т 6 пи

• 1    — п > Ө ^ — (8 — 1)(т — 1)(ст — 1) — ст(п —1 + 1} + (1 — Ө) (—п)

мультипликативное неравенство (4) не имеет места.

Следствие 1. При ст >  1 мультипликативное неравенство (4) при выполнении соотношении (2) и< < ^ + 1 пссправсдливо пи при каких 1 6 P,q,r < то, 8,т Е N, 1 Е Z+, 1 < 8, 0 < Ө < 1, 1 6 т 6 п.

Следствие 2. Пусть 1 6 ті < т^ 6 п, ст > 1. Тогда соотношение (5) для т = ті не является достаточным для выполнения мультипликативного неравенства (4) при т = т₂ при опрсделеппых 1 6 P,q,r< то, 8,т₁,т₂ Е N, 1 Е Z+- 1 < 8, 0 < Ө < 1, ст > 1. ^ < ^ + 1 .

Возникает вопрос о справедливости мультипликативного неравенства

Ө т                     \ в случае нерегулярных неограниченных областей.

В случае с >  1 вопрос решается отрицатель но. Пусть существуют шары В(жд , R) произвольного радиуса R > 0, лежащие в области. Пусть £ € СД (В(0,1)), £ = 0. Рассмотрим функцию £д = £ (^-у^)- Устремляя R ^ 0 и R ^ то, получаем, что неравенство (8) может быть справедливым только при выполнении соотношения (2). Следовательно, в силу следствия 1 для некоторых неограниченных областей с условием гибкого с-конуса неравенство (8) не выполняется ни при каких 1 6 р, q, г <  то, s, m € N, I € Z+, I <  s, 0 < Ө < 1, с >  1. 1 6 т 6 п.

Определение 2. Область G С Rⁿ назовем областью с условием бесконечного гибкого конуса, если при некотором к >  0 для любого ж € G существует кусочно гладкий путь 7 : [0, то) ^ G, у(0) = ж, |7‘| 6 1 почти всюду■ такой, что Д7Д)) >  Kt для любого t > 0.

Теорема 2. Пусть G — область с условием бесконечного гибкого конуса, 1 6 P,q,r < то, s,m € N, I € Z₊, I <  s, 0 <  Ө < 1, р <  q, г 6 q, Р > 1, 1 6 т 6 п. Пусть г < q в случае I = 0. Тогда для функций / с конечной правой частью при выполнении соотношения (2) справедливо мультипликативное неравенство (8).

Доказательства теорем будут приведены в разделах 7, 8.

3.    Исправление путей

Лемма 1. Пусть G — область с условием гибкого ст-конуса. Тогда при некоторых 5 € (0, 2) , Eq € (0,1) , к > 0, С >  0, Cq > 0 для каоісдой точки ж € G существует кусочно гладкий путь 7 = 7х : [0, t_y] т G и непрерывная кусочно гладкая функция гу : [0, t_x ] ^ [0, то) такие, что

Г(0) = ж, |Г‘| 6 1 и- в- гу (t) > Г t" , 0 <  гу (t) 6 5pi(7(t)),

Гу(Д) > 5², |ГУ (t)| 6 Cq п. в.,

5Гу(t‘) 6 Гу(t’’)       при     В(7(t‘),5Гy(t‘)) ПВ(7(t‘‘),5Гy(t’’)) = 0,t‘,t" € [0,t_y],     (9)

sup sup Z * x ( ^У _^{7( t )} ) dt 6 С. у yEG Jo ^ry(t) V ^Е0^гу(і) /

Доказательство см., например, в [5] и [6].

Лемма 2. Пусть жо € Rn. Пусть 7(t) = жо + te при t € [0,t* ], г де |e| = 1. Пусть Гу(t) = ct + cq, где с, cq > 0. Пусть > 1. Тогда sup Z 1, Д (У -7) dt 6 С = С (с, Eq), yERn 0 г7 (t)     ЕоГу (t)

где С зависит лишь от c, Eq.

Доказательство очевидно.

Лемма 3. Пусть G — область с условием гибкого ст-конуса. Тогда при некоторых Eq € (0,1), kq > 0, Tq > 0, с > 0, С > 0 для любого ж € G существует, кусочно гладкий путь Г = r(t, ж) : [0,Tq] ^ G, Г(0) = ж, |Г‘| 6 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая функция г = гг : [0, Tq] ^ [0, то) : г(t) > 0 щni t > 0, г(0) = 0, |r‘(t)| 6 с для и. в. t. г(t) 6 2dist(r(t, ж), dG), ct > г(t) > Kot" щш 0 < t 6 Tq sup sup Z Ц-x (У       )

dt 6 С.

(Ю)

г yEG о ^Гг^{(t)      E} q w) /

Доказательство.

Для произвольной точки ж € G рассмотрим путь путь

іі (])упкппю гу іі'; леммы 1. Тогда

ж + (t, 0,..., 0)

при

r(t, ж) = ж + (Гу (0) — t, 0,..., 0) при

7(t — ГУ(0))

при

t € [0, у52°)], t € [ 1520),Гу(0)], t € [Гу(0),ty + Гу(0)]

и кусочно гладкая функция

Ы) = Р         ПР"

t Е [0, Гу (0)], t Е [Гу(0), t^ + Гу(0)]

fy (t — Гу (0)) при удовлетворяют утвеждению леммы.

В самом деле, условие |г‘(t)| 6 с, очевидно, выполнено, откуда в силу оценки Гу(іД > С² следует, что существует число Тд такое, что t_x + Гу(0) > Тд для любого ж Е G.

Соотношение r(t) 6 2dist(r(t, ж), dG) следует из леммы 1.

Гу(0) 6 1, откуда r(t) что Гу(t) > СГу(0) при t t Е [fy(0), (1 + С)Гу(0)].

r(t) > K(t — fy(0))^CT >  К

> t^CT при t Е (0, fy(0)]. Из соотношения (9) следует, Е [0,СГу(0)]. Отсюда r(t) >  dry (0) > С (т+Тй) t^CT при

(т+д) t^CT при t >  (1 + d)fy(0). Таким образом, существует

Кд > 0 такое, что r(t) > х^В при t Е (0,Тд].

Лемма 4. Пусти G — область с условием бесконечного гибкого конуса. Тогда при некоторых ед Е (0,1), кд > 0, с > 0, С > 0 для любого ж Е G существует кусочно гладкий путь Г = Г(t,ж) : [0, то) ^ G, Г(0,ж) = ж, |Г‘| 6 1 почти всюду и непрерывная кусочно гладкая функция г = тг : [0, то) ^ [0, то) : r(t) > 0 при t > 0,г(0) = 0, |r‘(t)| 6 с для п. в. t, r(t) 6 2dist(r(t, ж), dG), ct > r(t) > xgt npu 0 < t < то, sup sup Z x (^   ''y,"') dt 6 С.

г _yeG Jg ^rr^(t) V ^ед^rг^(t) /

Доказательство отличается от доказательства леммы 3 лишь построением бесконечного пути у : [0, то) ^ G. Положим Гу = р(у (t)), где у — бесконечный путь из определения 2, р(ж) — регуляризован ное расстояние от ж до Rⁿ \ G (см., например, [7]), то есть р — бесконечно дифференцируемая функция на G и при некотором N >  1:

N р(ж) 6 р(ж) 6 р(ж),     |gradр| 6 N    (ж Е G).

Тогда при некотором С Е (0,1)

5г_у (t‘) 6 г_у (t")     при      В(у(Т),дт_у (t‘)) П В(у(t"),dr_y (t’’)) = 0, t‘ ,t" Е [0, то].     (11)

Зафиксируем е Е (0, 2).

Путь у — вписапиная в у бесконечная ломаная с вершинами y(t^), 0 = tg < ty < < ... < ti < ..., где при г Е N ti = sup{t Е (ti-Т, то) : B(y(t),ery(t) П В(у(ti-y),ery(ti-y) = 0}

(ti <  то в силу соотношения (11)).

Через у : [0, то) ^ G обозначим путь, состоящий из отрезков, последовательно соединяющих точки у(ti), и параметризованный с помощью длины дуги, отсчитываемой от ж = у(0) = у(0). Пусть при этом { ті }§° — значения параметров последовательных вершин у, так что у(т_і) = y(t_i) при г Е Z₊.

Через Гу : [0, то) ^ (0, то) обозначим непрерывную функцию, принимающую значания Гу (т_і) = ет_у(t_i)(z Е Z₊) и линейную на каждом отрезке [т_і-т,т_і].

Свойства, путей у іі еруіікпнй Гу (аналогичные свойствам путей у іі с|>уіікпнй Гу из леммы 1) устанавливаются так же, как и в работе [5].

4.    Интегральное представление

Воспользуемся усреднением из [8] для 0 < t 6 T q (в случае области с условие бесконечного конуса 0 < t < то):

( d³ f) (х) = Z П K_nj (у³,     , Г³ (t, х) - хЛ D^ f (х + y)dy =

J 3=1      \ v/

= (-1)|3| Z П K

,=1

где з G Nⁿ, |3| < s, r(t) = rr(t), а множители ядра усреднения удовлетворяют соотношениям (см. [8])

Kn. (;     , Г3 (t, х) - хЛ G ("^ (в (г3' (t, х) - х3,) ,

³ у т^т           / V V           т^т / /

K^5) Ууі, rJ', Г3(t, х) - хЛ = D^Kn. УуЗ,     , Г3(t, х) - хЛ,

3 у  Дт                у 3 у  Дт при Cj = 0 ил и а3 = 33

(а³) X'

Г³ (t,x) - х³) 6 С_Х ^

^у3   Ы ^(t, ^{х) +} аУ \ /,х-з+1-п3 .5-|а³1-1

r(t)                I ^{r(t)                t}               ’

/т      /

j K_nj y^, ^rr^m, г (t,x) - х)

dy = 1.

Определение 3 (см. [7]). Семейство измеримых подмножеств F в R" называется регулярным, если существует константа с > 0 такая, что для любого S G F существует открытый шар В D S с пситром в начале ітоордшіат такой, что mes(S) > сmes(B).

Лемма 5 (см. [7]). Если семейство F является регулярным, то для любой локально суммируемой функций / почти всюду lim ---[ |/(х - У) - /(x)|dУ = 0.

SeF,  mes(S) s mes(S)^G

Заметим, что семество < ^ В |Г³ - х³, -Ц т 3=1

Из соотношения (13) при некоторой С > 0

,

t G [0, Д(0)]

I

является регулярным.

т

П ^к»,

3=1

/й f У3, —i=, Г3(t, х) - х3^ 6 -----/----------------------------------- у Д т              /         / т /    (t)

mes supp П K_nj (у,, ^т,Г³(t,x) -

\     3=1     v v

х3

при t G [0,fy(0)]. Функция D^J локально суммируема в силу теоремы вложения (см.

на-

пример, [8]). Тогда из леммы 5 следует, что

lim^ ^О¹³ f) _t = D^y J(t) почти всюду.

Таким образом, из формулы Ньютона—Лейбница почти всюду справедливо неравенство

I^D"^{f(х)|6 Z}I^д(d3f)t^(х)|^dt+

|(^{d3 f}) _Т (^х)|

при 0 <Т 6 Tq.

В [8] показано, что

^ (в⁵f) (ж) 6 Ct^(s—1)m—l⁵lr(t)

—п— (s—1)(m—1) х

Р m х jn *

3 = 1

-^IE Е

Vm      ) 1=1 <-=<-^г,|-|=s

Из соотношений (13) — (15) следует, что

|D^f (ж) | 6 С (Aof (ж) + А1д(ж)),(16)

т где д(ж) = £    £    |D-f(ж)|

3=1 -=— ,|-|=s

Aof (ж) = r(T)(—s+1)m—пт(s—1)m—|5|—1j               |f(ж + у)| dy,(17)

А19(ж) = |Т t(s—1)m—ldlr(t)—п—(s—1)(m—1 j              g(y)dydt.(18)

• 5.    Оценка нормы оператора А_о

Мы будем пользоваться неравенством Йенсена:

(£1=1 Ц)¹ 6 £1= Ь1, где r > 1,Ь1 > 0.

Введем кубическую сетку {Q1})=1 с шагом T (Qi = а^г + [0, T ]^п, г де а^г = Tz¹, где в свою очередь z¹ — последовательность всех n-мерных целочисленных векторов). Пусть G₁ = G О Q₁. Тогда mes (G₁) 6 mes (Q₁) = Tⁿ.

Замечание. Объединение шаров U B(T(T, x),r(T)) (при фиксированном j) может $EGj пересекаться не более чем с конечным числом G1, не зависящим от j.

Тогда из (17) с помощью неравенств Гельдера и Йенсена и замечания получим, что

«Ао/iLq(G) 6 C1r(T)<--+1)m

-

nT (s- 1)m

¹⁵¹ 1^r(^T),V(Z_G «^f«L,(B(F(T,»).r(T)))^d3^

(q llf IL (G )йж|   6

G. ^G^            ¹

= CT^—(^^{—1)(s—1)m+q —   — |5}| llf «L,(G).

• 6.    Оценка нормы оператора А1

Говорят, что оператор А имеет силъний тип (р, q), где 1 6 Р 6 q < то, если

W^Af ^Lq(G)^{6 С} ll^fIIl_p(G)

V f e L_P(G)

ii что А имеет елеібыи тип (p,q), если sup A (mes {ж e G : |Af (ж)| > A})q 6 С If Ilp (g) V f e Lp(G), A>0                                                       PV '

причем в обоих случаях наименьшую возможную постоянную С называют нормой (сильной или слабой соответственно) оператора А.

Теорема Марцинкевича (см., например, [9]). Пусти 1 6 р^ 6 q, < то (г = 1,2), qi = qi, 0 < т < 1, 1 = 1-Т + Д, 1 = 1—1 + Д. Если линейный оператор А имеет р       р1 р2   q       q1      q2

одновременно слабый тип (pi, qi) и (p₂,q2) со слабым и нормами K_l и К₂ соответственно, то оператор А имеет силиный тип (р, q) и

11А/Wbq(G) 6 МК1 ТК2 II/IIlp(G) , где М = М(T,pi,qi,p2,q2) нс зависит от функции / и линейного оператора А.

Повторяя выкладки работы [5], используя условие (10) и соотношение р < q, получаем, что sup A (mes {ж G G : | Аі/(ж)| > Л}) , 6

А>0

С sup sup xEG R>0

_______R_______

|r(t, ж) - Г(0, ж)| + rr(t)

)

t⁽⁽s^-1)m^-|^^|)p‘_{гг( t} ,' '' ''" ''^1—1 У ^^ ^P

X

x mes(B(ж,R))¹ H/||_Mg)                              (21)

и убеждаемся, что в (21) можно выбрать постоянную С, не зависящую от Т G (0,ТО].

Пусть I(ж, ^R) = {tf_Х (।ц^м)) tK-¹)"-*tOTH-W”-^ ^^)р'Д ^p X 1

x mes(B(ж, R))^q при ж G G,R> 0.

При выполнении соотношения r(t) 6 ct пр и 0 < t < Т I (ж, R) 6

6 (Ro^A ( (c+Rl)») t^{((s-1)m-|/3|)p}'r_r(t)^{(-(s-1)(m-1)+}p^)pdt) ^p mes(B(ж,R))^q, откуда I(ж, R) =0 1

при R >  (с + 1)Т и I(ж, R) 6  U¹^ t^(s-|/3H^{s-1)(m-1)(‘r_r(t)'   d/j}

P' R1 при

R< (c + 1)Т.

Таким образом, используя соотношение (6) при |Д = I supA (mes {ж G G : | Аі/(ж)| > Л})q 6 Ст ^-|^|-(^-1)("-1)(^-1)-^^щ^1+11/|£p(G),    (22)

А>0

где С нс зависит от / G T_p(G) 11 Т G (0,То].

Соотношение (22) при |^| = I выполняется также при замене в нем пары (р, q) на каждую из пар (p₁,q₁), (p₂,q₂), удовлетворяющих соотношению (6), где 1 < p_L< p < p₂< q₂< то, p_L< q_L< q < q₂< то (p_L,p₂ близки к p, a q_L,q₂ близки к q) и

1      1  _ 1       1     1  _ 1

2pi ⁺ 2p2 p ’     2qi ⁺2q2 q.

Тогда в силу интерполяционной теоремы Марцинкевича сг(п —1) + 1 . 1 X

P1      q1  x

|А1/Hi,(g) 6 М^P1,P2,Q1,Q2)СТ1 (•-КН--1*-1*'-1)- хт 1 (.-|.8|-<.-1)(".-1)(,-1)- 1      + й) н/Hip(G) =

= 6т •^-|i^{3|-(s-1)(m-1)(o}'^-1)-г(1_p¹⁾⁺¹⁺¹

^н/llip(g) ,

^

где С нс зависит от Т G (0, То] и / G L_p(G).

7.    Доказательство мультипликативных неравенств

Введем обозначения

т

Е = £ «г“iЦ,(С),   А = £  £  »о“/Щ^, в = 1/Ль.(С).

|a|=l                              j=l a=aj ,|a|=s

„                _m eU-l-(s-1)(m-1)(<T-1)-" '    ' + л)

Положим е = 4 V                     р ч;. іогда в силу соотношения (5) будут справедливы соотношения:

_е — іЬ = _Т-(з—1)т(<7-1)-"" + " —¹,

е 1 = Т s-l-(s-1)(m-1)(

Если область удовлетворяет условию гибкого и-конуса, то из соотношений (6), (16), (19), (23), (24), (25) следует, что

Е 6 С^е» А + е-1-6 в)(26)

6(s-l-(s-1)(m-1)(a-1)-"("-W + " )

при 0 < е 6 ед = Т_о^{v                        р чу} , где С не зависит от е € (0, ед] и /.

Рассмотрим 2 случая: 1         -  '                                       1-

• 1)    ^е₀^{6 А} > е₀^{1 6}В. Тогда Зё € (0, е₀] : Ё» А = ё^1-6В, откуда следует, что

• Е 6 С (ё»А + Ё- 1-ів) = 2С (ё1 А)6 (ё- 1-ів)1 6 = 2САӨВ1-6.(27)

• 2)    е» А< е₀^1-6 В. Тогда

8.    Случаи несправедливости мультипликативных неравенств

Е 6 С (4 А + е0 1-6В^ 6 2Се0 1-6 В(28)

Из соотношений (27), (28) следует неравенство

Е 6 2 max | С, Се- 1-61 (а6В1-6 + в) , совпадающее с мультипликативным неравенством(4).

Если область удовлетворяет условию бесконечного гибкого конуса, то неравенство (26) справедливо для любого е > 0, откуда следует(как и при доказательстве неравенства (27)) мультипликативное неравенство (8).

Неравенства (4) и (8) в условиях теорем 1 и 2 доказаны.

Рассмотрим специальную область G, удоветворяющую условию гибкого ст-конуса, ^∞

«грибную поляну» G = (J Gk. Здесь к=0

G0 = (-1,1)п-1 х (-1,0),

Gk = (тк, 0,..., 0) + (--гк, тк)п-1 х (rk, 2rk)) U (--г,, rl)п-1 х (-1, 2тк)) , где последовательности {rk}к'=1 и {тк}Д1 такие, что 1 > Гк > 0, 1 > Тк > 0, Гк ^ 0, Тк ^ 0, выбраны таким образом, что Gk П Gk+1 = 0 при к € N.

∞

При т = 1 на об ласти G рассмотрим следующую последовательность функции {/к }к=р

J 0            на. G (G,

[ Х®-1^ (Г) ) При X G Gk, где ^ G С'У ^(t) = 0 щ>и t 6 0, ^(t) = 1 щ)ii t > 1. Легко убедиться в том, что при к ^ то

^k «Lr (G)

~ ^Гк

. s—l+1

Е «"“A111.<о ~

“   1

Т S-1-l+к ' к

Е «"“/к «1,(0 l“l=s

_— 1+ ст(п^-1) + 1

6^СГ к     ^р

∞

П})іі т > 2 на. ооласти G рассмотрим следующую последовательность фупкщш {/к}к=1^:

/к = I

0                                на    G \G^k,

(х1 -Тк)s—1 П"ф' Хі3—1+1^ (Гк) при    Х GGk, где ^ G С'A ^(t) = 0 щ>и t 6 0, ^(t) = 1 щ)ii t > 1.

Легко убедиться в том, что при к ^ то

Н/к 11l,(G)

(s—1)(т—1)+ к

~ ^Гк          ^Г

—l+(s—1)(т—1)+ к

~ ^Гк              .

т

Е Е   «"“/к«1,(О)

6 ₍^_г—s+a(s—1)(т—1)+ -

J=1 “=“ ,|“| = s

Устремляя к ^ то, в силу соотношения ® < ® + I пр и 1 6 т 6 и получаем, что при выполнении соотношения (7) мультипликативное неравенство (4) несправедливо.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-00744).