Наблюдаемость кристаллических решёток по нескольким узлам на изображениях их проекций

В работах [1] и [2] была рассмотрена постановка задачи анализа изображений кристаллических решёток. В статье [3] был предложен подход к решению задачи о наблюдаемости трёхмерной кристаллической решётки по её проекциям. Было показано, что при рассмотрении задачи восстановления решётки по проекциям или, в частном случае, определения её параметров необходимо ввести некоторую характеристику, которая показывала бы, насколько полно рассматриваемый объект представлен на той или иной проекции. Это привело к постановке новой для математики задачи о наблюдаемости сложной трёхмерной решётки по её проекциям.

Решение этой задачи было предложено искать в рамках теории кинематического движения системы материальных точек на основе дифференциальных кинематических уравнений. В предположении о вращательном характере движения решётки относительно плоскости наблюдения в работе [3] были получены необходимые и достаточные условия наблюдаемости кристаллической решётки для некоторых частных случаев.

Определение принадлежности исследуемой кристаллической решётки к тому или иному типу решёток Браве осуществляется путём сравнения полученных данных с эталонными: найденными ранее или теоретически смоделированными [4]. При наблюдении изображений кристаллических решёток с использованием электронной микроскопии появляется возможность прямого, непосредственного измерения искомых параметров. Однако эффективность подобного подхода и даже сама его возможность зависит от того, наблюдаемы ли измеряемые параметры на данной проекции или нет.

Настоящая работа является продолжением исследований, проведённых в работе [3], и посвящена решению задачи о наблюдаемости кристаллических решёток в случае анализа координат двух и более узлов решётки.

1. Определение наблюдаемости кристаллической решётки по координатам нескольких узлов

Запишем в матричном виде выражение, определяющее координаты узлов кристаллической решёт-

ки в базовой системе координат относительно пара-

метров вращения системы координат решётки на

основе индексов её узла.

f " 1

y 2

V y 3 7

= Л

f * 1 x 2

V x з j

( x₁, x ₂ , x 3 ) , x j e К - декартовы координаты узла в системе координат решётки, которые определяются относительно индексов узла решётки - ( к₁, k ₂ , к 3 ) , k j e Z :

f x1 Л (a bcos у c cos в f k1 ^ x 2 = 0 b sin у c(cosа-cosв cos у) sin у k2 ,           (2) V x 3 7 0    0 V ab sin у      j V k3 j где a, b, c, а, в, у - параметры, определяющие эле-

ментарную ячейку решётки [4], V – объём ячейки:

V = abc 1 + 2 cos а cos в cos у - cos ² а - cos ² в - cos ² у .

Матрица Л определяется как:

' 2 + ^ 12 — 2 22 — 2 32     2 2 2 + 2 2 1 2 2

Л= 2 2 1 2 2 - 2 Л^ з    2 - 2 12 + 2 - 2

_v 2 2 0 2 2 + 2 Д2     2 22 - 2 2 0 2 1

2 2 1 2 з - 2 2 2  '

2 22 1 + 2 22

2 2 - 2 1² - 2 2 + 2 j

где 2 j , j = 0,1,2,3 кинематические параметры Эйле-

ра или Родрига–Гамильтона [3,5]:

2 = cos — , 2 = С; sin ™ , j = 1,2,3. (3) 0 ₂ j j ₂

Выражение (1) можно записать используя функции преобразования координат f_j относительно индексов узла решётки.

f ^y 1 y ²

V ^y 3 7

f f 1 ⁽ x 1 , x 2 , x 3 ) ' f 2⁽ x 1 , x 2 , x 3 ) .

V f ,⁽ x 1 , x 2 , x 3 ) j

Далее, как и в работе [3], рассмотрим наблюдение кристаллической решётки. Уравнение наблюдения узла системы можно записать используя выражения для функций преобразования координат. Поскольку наблюдение решётки будем осуществлять в результате проецирования, то для определения урав-

нения наблюдения можно использовать только две функции: f ₂ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и f ₃ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Введём векторную функцию наблюдения решётки z ( 2 0 , 2 , , 2 2 , 2 3 ) как набор функций преобразования координат узлов решётки:

' z, ( 20,2,,22,23 ) = f.(П,, n 2, n ), z 2 ( 22,22,2з )= f3( n,, n 2, n3 ), z (2 2,22,23 ) =

Z 3 ( 2 2 , , 2 2 , 2 3 ) = f . ( m , m , , m 3 ), z 4 ( 2 2 , , 2 2 , 2 3 ) = f , ( m , m 2 , m 3 )

, (5)

где ( n , n ₂ , n ₃ ),( m , m ₂ , m ₃ ) и т.д. – координаты узлов в системе координат решётки.

Также отметим, как было показано в работе [3], что параметры Эйлера 2j(t) могут быть рассмотрены как функции, зависящие от времени t .Таким об- разом, функции zj также являются зависящими от времени t , и существуют производные zɺ j, ɺzɺj ,ɺzɺɺj ,…

Ответ на вопрос, является ли система наблюдаемой, определяется с помощью якобиана:

дФ д2

где Ф T = ( z T , Z T , Z T ,... ) .

Если ранг матрицы I равен числу наблюдаемых параметров у , то система будет являться наблюдаемой.

• 2.    Определение наблюдаемости по координатам двух узлов

Рассмотрим случай наблюдения только двух узлов ( n , , n 2 , n ₃ ) и ( m , , m 2 , m ₃ ) на проекции. Запишем в явном виде якобиан I , используя выражения, полученные в [3]:

2 2 ₀ n ₂ + 2 2 , n ₃ - 2 2 3 n ,

2 2 ₀ n ₃ - 2 2 , n ₂ + 2 2 2 n ,

2 2 ₀ m ₂ + 22m ₃ - 2 2 3 m ,

2 2 ₀ m ₃ - 22m ₂ + 2 2 2 m ,

2 2 ₀ n ₃ - 2 2 , n ₂ + 2 2 2 n , 2 2 3 n , - 2 2 , n ₃ - 2 2 ₀ n ₂ 2 2 ₀ m ₃ - 2 2 , m ₂ + 2 2 2 m , 2 2 3 m , - 2 2 , m ₃ - 2 2 ₀ m ₂

2 2 , n , + 2 2 2 n ₂ + 2 2 3 n ₃ 2 2 ₀ n , - 2 2 2 n ₃ + 2 2 3 n ₂ 2 2 , m , + 2 2 2 m ₂ + 2 2 3 m ₃ 2 2 ₀ m , - 2 2 2 m ₃ + 2 2 3 m ₂

2 2 2 n ₃ - 2 2 ₀ n , - 2 2 3 n ₂

2 2 , n , + 2 2 2 n ₂ + 2 2 3 n ₃

2 2 2 m ₃ - 2 2 ₀ m , - 2 2 3 m ₂

2 2 , m , + 2 2 2 m ₂ + 2 2 3 m ₃

Поскольку наблюдение двух узлов даёт потенциальную возможность определения всех параметров наблюдения, можно не использовать производные по времени. В этом случае критерием наблюдаемости является условие:

det I * 0.

Чтобы определить условия, при которых решётка будет ненаблюдаемой, необходимо решить уравнение:

det I = 0.                                       (9)

Вычислим определитель матрицы I , получим: det I = 64 ( u , + u ₂ ) ² - 64 u ₃ ( u , + u ₂ ) + , 6 u ₃ u ₃ -- ,6 ( ( m , n ₂ - m ₂ n , ) 2 + ( m , n ₃ - m ₃ n , ) ² + ( m ₂ n ₃ - m ₃ n ₂ ) ² ) где u , = ( m , n ₂ - m ₂ n , ) ( 2 0 2 2 - 2 , 2 3 ) , u ₂ = ( m , n ₃ - m ₃ n , ) ( 2 0 2 3 + 2 , 2 2 ) , u ₃ = ( m ₂ n ₃ - m ₃ n ₂ ) ( 2 ₀ ² + 2 ,² - 2 22 - 2 32 ) .

Решая уравнение (9), можно получить полный набор условий ненаблюдаемости для любой пары наблюдаемых узлов. Необходимо отметить, что в действительности использование дополнительных производных не даёт новых выражений для определения наблюдаемости решётки.

Рассмотрим на простейшем примере алгоритм определения условий ненаблюдаемости для решётки с элементарной кубической ячейкой для двух узлов с индексами ( ,,0,0 ) и ( 0Д,0 ) , параметры ячейки -: ( a = b = c , а = в = у = п /2 ) :

• 1)    Запишем уравнение (9):

det I = - ,6 a ( , - 2 2 0 2 2 + 2 2 , 2 3 ) ( , + 2 2 0 2 2 - 2 2 , 2 3 ) = 0 .

• 2)    Решаем уравнение, получаем условия, при выполнении каждого из которых решётка будет ненаблюдаема:

J , - 2 2 0 2 2 + 2 2 , 2 3 = 0,

V + 2 2 0 2 2 - 2 2 , 2 3 = 0.

• 3)    Используем выражения (3), получаем тригонометрические уравнения:

J c ₂ sin ф + c , c ₃ cos ф = c , c ₃ - i,

[ c ₂ sin ф + c , c ₃ cos ф = c , c ₃ + ,

• 4)    Решаем уравнения, получаем значения для параметров вращения, при которых решётка будет ненаблюдаемой относительно выбранной пары узлов:

• 3.    Определение наблюдаемости по координатам трёх узлов

если c₂ = 0, то cos ф = cc ^;

2                                    c ₁ c ₃

если c ₂ * 0 л , ± 2 c , c ₃ = 0 , то tan^ ф = ± ^- ;

1                / A 4. A c2±Vc2 +2clc3-, если , - 2c,c3 * 0, то tan^ф = 2 2c,c3-,3 ;

1^            rx          ,      1 c ±\Z c —2 ci ci —,

+ 2 c , c ₃ * 0, то tan^r ф = ² ₂ c , _c 3 ₊ , ³ .

Рассмотрим случай наблюдения трёх узлов ( l,,1 ₂ , 1 ₃ ) , ( n , , n ₂ , n ₃ ) и ( m , , m ₂ , m ₃ ) на проекции. Запишем в явном виде якобиан I :

( 2X1 + 2X1 - 2XL 2X1 - 2X1 + 2X1   2 XL + 2X1 + 2 X 2XL - 2X1 - 2X1 )

02     13     31      03     12     21      11     22     33      23     01     32

2 X 0 1 3 - 2\l ₂ + 2 X 2 1 1     2X 3 1 1 - 2X 1 l 3 - 2X 0 1 ₂     2X₀1 1 - 2 X 2 1 3 + 2 X 3 1 ₂     2X 1 1 1 + 2X 2 1 ₂ + 2 X 3 1 3

2X₀n ₂ + 2X 1 n 3 - 2 X 3 n 1 2 X 0 n 3 - 2 X 1 n ₂ + 2 X 2 n 1 2X 1 n 1 + 2 X 2 n ₂ + 2 X 3 n 3 2 X 2 n 3 - 2 X 0 n 1 - 2 X 3 n ₂ 2 X 0 n 3 - 2 X 1 n ₂ + 2 X 2 n 1 2 X 3 n 1 - 2 X 1 n 3 - 2 X 0 n ₂ 2 X 0 n 1 - 2 X 2 n 3 + 2 X 3 n ₂ 2 X 1 n 1 + 2 X 2 n ₂ + 2 X 3 n 3 2 X 0 m ₂ + 2 X 1 m 3 - 2 X 3 m 1 2 X 0 m 3 - 2 X 1 m ₂ + 2 X 2 m 1 2 X 1 m 1 + 2 X 2 m ₂ + 2 X 3 m 3 2 X 2 m 3 - 2 X 0 m 1 - 2 X 3 m _{2 ч} 2 X 0 m 3 - 2 X 1 m ₂ + 2 X 2 m 1 2 X 3 m 1 - 2 X 1 m 3 - 2 X 0 m ₂ 2 X 0 m 1 - 2 X 2 m 3 + 2 X 3 m ₂ 2 X 1 m 1 + 2 X 2 m ₂ + 2 X 3 m 3 ,

Если ранг матрицы I равен числу наблюдаемых параметров X j , то система будет являться наблюдаемой, т.е. должно выполняться условие:

rank I — 4.

Чтобы определить условия наблюдаемости, в силу симметрии относительно перестановки узлов достаточно рассмотреть две матрицы, например: I ₁ , полученную вычёркиванием 4-й и 6-й строки из матрицы I , и I ₂ , полученную вычёркиванием 4-й и 5-й строки из матрицы I .

Решая систему уравнений:

det 1 1 — 0, det 1 2 — 0,

можно определить полный набор условий, при котором соответствующие миноры матрицы будут равны нулю, следовательно, ранг матрицы будет меньше 4, а значит, решётка будет ненаблюдаемой.

В тех случаях, когда наблюдению доступны координаты более чем трёх узлов, после отбрасывания тех узлов, которые совпадают при применении к ним трансляции решётки, необходимо проверить выполнение условий наблюдаемости для каждой тройки узлов.

Рассмотрим на простейшем примере алгоритм определения условий ненаблюдаемости для решётки с элементарной кубической ячейкой для трёх узлов с индексами ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) и ( 0,0,1 ) :

• 1)    Запишем уравнение для I ₁ :

det 1 1 — 16 ( X ₀ ² + X 1² - X 2² - X 3² ) — 0.

• 2)    Запишем уравнение для I ₂ :

det 1 ₂ — 64 ( X ₀ X 3 + X 1 X 2 )( X ₀ X 2 - X 1 X 3 ) — 0.

3) Используем (2), получаем систему тригонометрических уравнений:

222  222

cos ф I Ci — c 2 — C 3 — 1 1 — Ci — c 2 — C 3 + 1,

( c ₃ sin ф + c 1 c ₂ - c 1 c ₂ cos ф )( c ₂ sin ф - c 1 c ₃ + c 1 c ₃ cos ф ) — 0.

4) Решаем систему уравнений, получаем:

cos ф —

( C 2 + C 3

С ] — C 2 — C 3 + 1

222 ^,

С ) — C 2 — C 3 — 1

) ( c 1² - c ₃ ² ) — 0 V ( c ₂ ² + c ₃ ²

)(C2

-

C 2² ) ^— 0.

Отсюда получаем значения параметров вращения, при которых система будет ненаблюдаемой:

cos ф — 4+ 1 , [ cos Ф = ^ ^c 2^± 1 , [ cos ф = ^{z c} 2^± [ , C i — 1                       — C 2 — 1                       — C 3 — 1

; ।                                                ;

22   22    22

c 2 i c 3      X/ .       C i c 3      X/ .         C i     c 2 — X/ .

При рассмотрении выбранной тройки узлов решётки в другом порядке мы получим те же самые условия. Таким образом, при выполнении любого из условий (12) все миноры четвёртого порядка матрицы I будут равны 0.

Заключение

В предположении о вращательном характере движения решётки относительно плоскости наблюдения получены аналитические выражения определения наблюдаемости кристаллической решётки в общем случае при наблюдении двух и более узлов на проекции. Рассмотрены частные случаи для определения условий наблюдаемости кубической ячейки при некоторых значениях индексов узлов.

Необходимо отметить, что определение условий наблюдаемости кристаллической решётки для произвольного количества узлов было выполнено относительно параметров вращения. При этом было использовано предположение о том, что параметры самой решётки, позволяющие однозначно определить декартовы координаты узла по его индексам, являются известными.

При натурных наблюдениях кристаллических решёток это предположение может быть верно лишь частично. Например, при проведении эксперимента могут быть известными только углы между базисными векторами решётки, а сами длины сторон будут неизвестными.

Предложенные алгоритмы определения наблюдаемости могут быть востребованы при расчёте параметров кристаллических решёток по наблюдениям в электронных микроскопах высокого разрешения [6]. Для оценивания параметров решётки в общем случае потребуется использовать большее число проекций, а значит, необходимо будет рассмотреть подходы к решению задачи определения наблюдаемости решётки при использовании большего числа проекций.

Работа выполнялась при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (госконтракт № 02.740.11.0841, соглашения № 8027, 8231), гранта РФФИ 12-01-00237-а, гранта Президента РФ поддержки ведущей научной школы НШ-4128.2012.9, программы фундаментальных исследований РАН-ОНИТ6, в рамках выполнения государственного задания № 8.3195.2011 Минобрнауки РФ.